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学号 姓名 密封线04-05-3东 南 大 学 考 试 卷一. 填空题(本题共5小题，每小题4分，满分2 0分)1曲面在点处的法线方程是.2. 幂级数的收敛域为.3. 交换积分次序: .4. 设曲线为圆周,则曲线积分.5. 当 1 , 3 时,向量场为有势场.二. 单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分1 6分)1. 在下列级数中，收敛的级数是 C （A）（B）（C）（D）2设区域由直线和围成，是位于第一象限的部分，则B （A）（B）（C）（D）3设为上半球面，则曲面积分的值为 D （A） （B） （C） （D）4二元函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的 B (A) 充分而非必要条件 （B）必要而非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1设是由方程所确定的隐函数，其中可微，求 .解：令,则, ,2确定的值，使曲线积分在平面上与路径无关。当起点为，终点为时，求此曲线积分的值。解：由条件得 , 即 , 3将函数展成的幂级数。解： (1分)而 4设（1）试将在上展成正弦级数；（2）记此正弦级数的和函数为，求和。解：(1) 将作奇延拓,再作周期延拓. , , (2), (1分) 5将函数分别在圆环域内展成罗朗级数。解：(1) (2)四(本题满分7分) 计算复积分解： 在内有奇点:(二级极点), (一级极点) (1分)原式 是可去奇点,留数为0,故原积分=0. 五(本题满分8分) 求幂级数的收敛域与和函数。解：收敛域为,设则 六(本题满分8分) 讨论级数的敛散性。若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解： 因此绝对值级数发散. 又为Leibniz型级数,故收敛.而单调减少,且, 所以收敛.由收敛级数性质知原级数收敛. 故原级数条件收敛.七(本题满分6分) 设级数在上收敛，其和函数为，证明级数收敛。解：由于级数收敛,所以,因而有界.设 , 则 .当
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