江苏省淮安市淮阴中学高一数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题,每小题5分，共70分）1三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，其最小内角的弧度数为2集合a=3，2a，b=a，b，若ab=2，则a+b=3函数的定义域为4从集合a到集合b的映射f：xx2+1，若a=2，1，0，1，2，则b中至少有个元素5角的终边和角=1035的终边相同，则cos=6已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是7设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0（k，k+1），kz，则k=8点p从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达q点，则q的坐标为9函数的单调减区间是10已知关于x的x22ax+a+2=0的两个实数根是，且有123，则实数a的取值范围是11下列幂函数中：；y=x2；其中既是偶函数，又在区间（0，+）上单调递增的函数是（填相应函数的序号）12已知函数y=loga（x1）（a0，a1）的图象过定点a，若点a也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=13已知函数y=f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）10的解集是14已知函数f（x）=，若abc且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是二、解答题（共6小题，共90分）15已知tan是关于x的方程2x2x1=0的一个实根，且是第三象限角（1）求的值；（2）求cos+sin的值16设集合u=r，a=x|x1|1，b=x|x2+x20；（1）求：ab，（ua）b；（2）设集合c=x|2axa，若c（ab），求a的取值范围17计算题（1）求值：（2）求不等式的解集：33x2；18某投资公司计划投资a、b两种金融产品，根据市场调查与预测，a产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，b产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将a、b两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入a、b两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19已知，m是实常数，（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x）+f（a）0有解，求a的取值范围20已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上有最大值4和最小值1设f（x）=（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k1|）+k3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题,每小题5分，共70分）1三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，其最小内角的弧度数为【考点】余弦定理【专题】转化思想；综合法；解三角形【分析】设最小的角为，则其它的两个角为2、3，再利用三角形的内角和公式求得的值【解答】解：三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，设最小的角为，则其它的两个角为2、3再由三角形的内角和公式可得 +2+3=，可得=，故其最小内角的弧度数为，故答案为：【点评】本题主要考查三角形的内角和公式的应用，属于基础题2集合a=3，2a，b=a，b，若ab=2，则a+b=3【考点】交集及其运算【专题】转化思想；综合法；集合【分析】由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值【解答】解：集合a=3，2a，b=a，b，若ab=2，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题3函数的定义域为x|2x4【考点】对数函数的定义域【专题】计算题【分析】由即可求得函数y=+lg（4x）的定义域【解答】解：依题意得，解得2x4故函数y=+lg（4x）的定义域为x|2x4故答案为：x|2x4【点评】本题考查对数函数的定义域，考查解不等式组的能力，属于基础题4从集合a到集合b的映射f：xx2+1，若a=2，1，0，1，2，则b中至少有3个元素【考点】映射【专题】分类讨论；函数思想；函数的性质及应用【分析】根据映射的定义，分别求出a中元素对应的值，进行判断即可【解答】解：当x=1时，x2+1=1+1=2，当x=2时，x2+1=4+1=5，当x=0时，x2+1=0+1=1，故b中至少有1，2，5三个元素，故答案为：3【点评】本题主要考查映射的定义，比较基础5角的终边和角=1035的终边相同，则cos=【考点】终边相同的角【专题】计算题；集合思想；数学模型法；三角函数的求值【分析】由角的终边和角=1035的终边相同，可得cos=cos（1035+3360）=cos45，则答案可求【解答】解：角的终边和角=1035的终边相同，cos=cos（1035+3360）=cos45=故答案为：【点评】本题考查终边相同角的集合，考查了三角函数值的求法，是基础的计算题6已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是【考点】扇形面积公式【专题】计算题【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=r=2=根据扇形的面积公式可得s=故答案为：【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键7设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0（k，k+1），kz，则k=1【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】判断函数f（x）的单调性，利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论【解答】解：f（x）=2x+x，函数f（x）为增函数，f（0）=10，f（1）=0，满足f（0）f（1）0，则在（1，0）内函数f（x）存在一个零点，即x0（1，0），x0（k，k+1），k=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数零点和方程之间的关系，利用根的存在性定理进行判断是解决本题的关键8点p从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达q点，则q的坐标为【考点】任意角的概念【专题】计算题【分析】任意角的三角函数的定义，求出cos（）的值和sin（） 的值，即得q的坐标【解答】解：由题意可得q的横坐标为 cos（）=，q的纵坐标为 sin（）=sin=，故q的坐标为，故答案为：【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，是一道基础题9函数的单调减区间是2，3【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】可以看出f（x）是由y=和t=（x1）（3x）复合而成的复合函数，容易得到f（x）的定义域为1，3，而y=为增函数，从而只要找到函数t=x2+4x3在1，3上的减区间，便可得到f（x）的单调减区间【解答】解：解（x1）（3x）0得，1x3；令（x1）（3x）=t，设y=f（x），则y=为增函数；函数t=x2+4x3在1，3上的减区间便是函数f（x）的单调递减区间；f（x）的单调递减区间为2，3故答案为：2，3【点评】考查复合函数单调区间的求法，要弄清复合函数是由哪两个函数复合而成的，以及二次函数的单调区间的求法，解一元二次不等式10已知关于x的x22ax+a+2=0的两个实数根是，且有123，则实数a的取值范围是【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】构造函数f（x）=x22ax+a+2，根据根与系数之间的关系建立不等式关系即可得到结论【解答】解：设f（x）=x22ax+a+2，123，即，即，即2a，故答案为：【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据根与系数之间，转化为函数是解决本题的关键11下列幂函数中：；y=x2；其中既是偶函数，又在区间（0，+）上单调递增的函数是（填相应函数的序号）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据幂函数的性质进行判断即可【解答】解：的定义域为0，+），为非奇非偶函数，不满足条件；y=x2=定义域为（，0）（0，+），f（x）=f（x），则函数是偶函数，在（0，+）上单调单调递减，不满足条件=，函数的定义域为（，+），则f（x）=f（x），则函数为偶函数，则（0，+）上单调递增，满足条件；的定义域为（，+），函数为奇函数，不满足条件；故答案为：【点评】本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键12已知函数y=loga（x1）（a0，a1）的图象过定点a，若点a也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=1【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】先利用函数y=loga（x+3）1的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f（x）=2x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f（log23）【解答】解：函数y=loga（x1）（a0，a1）的图象恒过定点a（2，0），将x=2，y=0代入y=2x+b得：22+b=0，b=4，f（x）=2x4，则f（log23）=4=1，故答案为：1【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质，考查数形结合的数学思想，属于基础题13已知函数y=f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）10的解集是【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出【解答】解：当x0时，x0，f（x）=x+2，y=f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=x2y=f（x）是定义在r上的奇函数，f（0）=0f（x）=，（1）当x0时，2（x2）10，解得0x（2）当x=0时，10，恒成立（3）当x0时，2（x+2）10，解得x综上所述：2f（x）10的解集是故答案为【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性，属于中档题14已知函数f（x）=，若abc且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是（27，81）【考点】分段函数的应用【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用abc且f（a）=f（b）=f（c），得出ab=1，3c4即可求出（ab+2）c的取值范围【解答】解：由题意，f（a）=f（b）=f（c），log3a=log3b=c+4ab=1，0c+413c4即（ab+2）c的取值范围是（27，81）故答案为：（27，81）【点评】本题考查分段函数的运用，考查学生的计算能力，正确运用分段函数是关键二、解答题（共6小题，共90分）15已知tan是关于x的方程2x2x1=0的一个实根，且是第三象限角（1）求的值；（2）求cos+sin的值【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值【分析】（1）利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，计算即可（2）利用同角三角函数的基本关系式，通过解方程求解即可【解答】解：2x2x1=0，或tan=1，又是第三象限角，（1）（2）且是第三象限角，【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力16设集合u=r，a=x|x1|1，b=x|x2+x20；（1）求：ab，（ua）b；（2）设集合c=x|2axa，若c（ab），求a的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；集合【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，（1）求出两集合的交集，找出a补集与b的并集即可；（2）根据c为a与b交集的子集，确定出a的范围即可【解答】解：由a中不等式变形得：1x11，即0x2，即a=（0，2），由b中不等式解得：2x1，即b=（2，1），（1）ab=（0，1），ua=（，02，+），则（ua）b=（，12，+）；（2）ab=（2，2），c=x|2axa，且c（ab），（i）当c=时，则有2aa，解得：a1；（ii）当c时，则有，解得：1a2，综上：a的取值范围为a2【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键17计算题（1）求值：（2）求不等式的解集：33x2；【考点】指、对数不等式的解法；有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简得答案；（2）由指数函数的性质化指数不等式为一元一次不等式求解；由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式求解【解答】解：（1）=9253（3）+2=5；（2）由33x2，得，3xlog32，则x3log32，不等式33x2的解集为（3log32，+）；由，得，则，不等式的解集为【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，考查了指数不等式和对数不等式的解法，是基础题18某投资公司计划投资a、b两种金融产品，根据市场调查与预测，a产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，b产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将a、b两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入a、b两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值【专题】应用题【分析】（1）由于a产品的利润y与投资量x成正比例，b产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设a产品投入x万元，则b产品投入10x万元，设企业利润为y万元利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数利用配方法求函数的最值【解答】解：（1）设投资为x万元，a产品的利润为f（x）万元，b产品的利润为g（x）万元由题意设f（x）=k1x，由图知，又g（4）=1.6，从而，（2）设a产品投入x万元，则b产品投入10x万元，设企业利润为y万元（0x10）令，则=当t=2时，此时x=104=6答：当a产品投入6万元，则b产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元 【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题19已知，m是实常数，（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x）+f（a）0有解，求a的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）当m=1时，结合指数函数的单调性即可写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可【解答】解：（1）当m=1时，定义域为r，即函数的值域为（1，3）（2）f（x）为非奇非偶函数当m=0时，因为f（1）f（1），所以f（x）不是偶函数；又因为f（1）f（1），所以f（x）不是奇函数；即f（x）为非奇非偶函数（3）因为f（x）是奇函数，所以f（x）=f（x）恒成立，即对xr恒成立，化简整理得，即m=1（若用特殊值计算m，须验证，否则，酌情扣分）下用定义法研究的单调性：设任意x1，x2r，且x1x2=，所以函数f（x）在r上单调递减因为f（f（x）+f（a）0有解，且函数为奇函数，所以f（f（x）f（a）=f（a）有解，又因为函数f（x）在r上单调递减，所以f（x）a有解，即fmax（x）a有解，又因为函数的值域为（1，1），所以a1，即a1【点评】本题主要考查函数值域，奇偶性以及函数单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，20已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上有最大值4和最小值1设f（x）=（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k1|）+k3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系【专题】