江苏省淮海中学高三数学第一学期限时训练（4）.doc

江苏省淮海中学2015届高三第一学期数学限时训练（4）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置1函数f(x)cos2xsin2x的最小正周期为 2已知复数z，其中i是虚数单位，则|z| 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 名学生s0ssk2开始输出s结束ynk5（第6题图）k1kk24从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 5已知向量a(2，1)，b(0，1)若(ab)a，则实数 6右图是一个算法流程图，则输出s的值是 7已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为 8已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 9设f(x)x23xa若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为 10在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c已知ac2b，sinbsinc，则cosa 11若f(x)是r上的单调函数，则实数a的取值范围为 12记数列an的前n项和为sn若a11，sn2(a1an)(n2，nn*)，则sn 13在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：x2y26x50，点a，b在圆c上，且ab2，则|的最大值是 14已知函数f(x)x1(e1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)0的x的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知函数f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(，2)（1）求的值；（2）若f()，0，求sin(2)的值16（本小题满分14分）如图，三棱柱abca1b1c1中，m，n分别为ab，b1c1的中点（1）求证：mn平面aa1c1c；a1abcb1c1mn（第16题图）（2）若cc1cb1，cacb，平面cc1b1b平面abc，求证：ab平面cmn17（本小题满分14分）已知an是等差数列，其前n项的和为sn， bn是等比数列，且a1b12，a4b421，s4b430（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cnanbn，nn*，求数列cn的前n项和18（本小题满分16分）给定椭圆c：1(ab0)，称圆c1：x2y2a2b2为椭圆c的“伴随圆”已知椭圆c的离心率为，且经过点(0，1)（1）求实数a，b的值；（2）若过点p(0，m)(m0)的直线l与椭圆c有且只有一个公共点，且l被椭圆c的伴随圆c1所截得的弦长为2，求实数m的值19（本小题满分16分）如图（示意），公路am、an围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan2在该块土地中p处有一小型建筑，经测量，它到公路am，an的距离分别为3km，km现要过点p修建一条直线公路bc，将三条公路围成的区域abc建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定b点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积amnp（第19题图）cb20（本小题满分16分）已知函数f(x)ax3|xa|，ar（1）若a1，求函数yf(x) (x，都存在x2 10 11，) 1222n1 138 14(0，1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分15（本小题满分14分）解：（1）因为函数f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(，2)，所以f()2sin()2，即sin1 4分因为02，所以 6分（2）由（1）得，f(x)2cos2x 8分因为f()，所以cos又因为0，所以sin 10分所以sin22sincos，cos22cos21 12分从而sin(2)sin2coscos2sin 14分16（本小题满分14分）证明：（1）取a1c1的中点p，连接ap，np因为c1nnb1，c1ppa1，所以npa1b1，npa1b1 2分在三棱柱abca1b1c1中，a1b1ab，a1b1aba1abcb1c1mn（第16题图）p故npab，且npab 因为m为ab的中点，所以amab所以npam，且npam所以四边形amnp为平行四边形所以mnap 4分因为ap平面aa1c1c，mn平面aa1c1c，所以mn平面aa1c1c 6分（2）因为cacb，m为ab的中点，所以cmab 8分因为cc1cb1，n为b1c1的中点，所以cnb1c1 在三棱柱abca1b1c1中，bcb1c1，所以cnbc因为平面cc1b1b平面abc，平面cc1b1b平面abcbccn平面cc1b1b，所以cn平面abc 10分因为ab平面abc，所以cnab 12分因为cm平面cmn，cn平面cmn，cmcnc，所以ab平面cmn 14分17（本小题满分14分）解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，s486d 3分由条件a4b421，s4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nn* 7分（2）由题意知，cn(n1)2n记tnc1c2c3cn则tnc1c2c3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即tnn2n1，nn* 14分18（本小题满分16分）解：（1）记椭圆c的半焦距为c由题意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，椭圆c的方程为y21，圆c1的方程为x2y25显然直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm，即kxym0 6分因为直线l与椭圆c有且只有一个公共点，故方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得(14k2)x28kmx4m240从而(8km)24(14k2)( 4m24)0化简，得m214k2 10分因为直线l被圆x2y25所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d即 14分由，解得k22，m29 因为m0，所以m3 16分19（本小题满分16分）解：（方法一）(a)xnpyobc（第19题图1）如图1，以a为原点，ab为x轴，建立平面直角坐标系因为tan2，故直线an的方程是y2x设点p(x0，y0)因为点p到am的距离为3，故y03由p到直线an的距离为，得，解得x01或x04(舍去)，所以点p(1，3) 4分显然直线bc的斜率存在设直线bc的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xb1 6分由解得yc 8分设abc的面积为s，则sxbyc1 10分 由s 0得k或k3当2k时，s0，s单调递减；当k0时，s0，s单调递增 13分所以当k时，即ab5时，s取极小值，也为最小值15 答：当ab5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（方法二）如图1，以a为原点，ab为x轴，建立平面直角坐标系因为tan2，故直线an的方程是y2x设点p(x0，y0)因为点p到am的距离为3，故y03由p到直线an的距离为，得，解得x01或x04(舍去)，所以点p(1，3) 4分显然直线bc的斜率存在设直线bc的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xb1 6分由解得yc 8分设abc的面积为s，则sxbyc1 10分 令8k9t，则t(25，9)，从而k 因此s111 13分因为当t(25，9)时，t(34，30，当且仅当t15时，此时ab5，34t的最大值为4从而s有最小值为15答：当ab5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（方法三）amnpbc（第19题图2）ef如图2，过点p作peam，pfan，垂足为e、f，连接pa设abx，acy因为p到am，an的距离分别为3， 即pe3，pf由sabcsabpsapcx3y (3xy) 4分因为tana2，所以sina 所以sabcxy 8分由可得xy (3xy)即3x