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第十五篇几何证明选讲(选修41)第1节相似三角形的判定及有关性质 【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用4相似三角形的判定与性质1,3直角三角形的射影定理21.如图所示,平行四边形abcd中,e是cd延长线上的一点,be与ad交于点f,de=cd. (1)求证:abfceb;(2)若def的面积为2,求平行四边形abcd的面积.(1)证明:因为四边形abcd是平行四边形,所以a=c,abcd.所以abf=ceb.所以abfceb.(2)解:因为四边形abcd是平行四边形,所以adbc,abcd.所以defceb,defabf.因为de=cd,所以sdefsceb=deec2=,sdefsabf=deab2=.因为sdef=2,所以sceb=18,sabf=8.所以s四边形bcdf=sceb-sdef=16.所以s平行四边形abcd=s四边形bcdf+sabf=16+8=24.2.已知rtabc中,bac=90,adbc,垂足为d,dfac,垂足为f,deab,垂足为e. 求证:(1)abac=adbc;(2)ad3=bcbecf.证明:(1)因为bac=90,adbc,所以bac=adb,又因为b=b,所以abdcba,所以abad=bcac,即abac=adbc.(2)由题ad2=bddc,所以ad4=bd2dc2=bebacfca=becfadbc,所以ad3=bcbecf.3.如图,在平行四边形abcd中,过点b作becd,垂足为e,连接ae,f为ae上一点,且bfe=c. (1)求证:abfead;(2)若bae=30,ad=3,求bf的长.(1)证明:因为abcd,所以baf=aed.又因为bfe=c,bfe+bfa=c+eda,所以bfa=ade.所以abfead.(2)解:因为bae=30,所以aeb=60,所以abae=sin 60=32,又bfad=abae,所以bf=abaead=332.4.如图所示,梯形abcd中,adbc,ef经过梯形对角线的交点o,且efad. (1)求证:oe=of;(2)求:oead+oebc的值;(3)求证:1ad+1bc=2ef.(1)证明:因为efad,adbc,所以efadbc.因为efbc,所以oebc=aeab,ofbc=dfdc.因为efadbc,所以aeab=dfdc.所以oebc=ofbc,所以oe=of.(2)解:因为oead,所以oead=beab.由(1)知oebc=aeab,所以oead+oebc=beab+aeab=be+aeab=1.(3)证明:由(2)知oead+oeb
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