江苏省灌南高级中学高三数学复习 立体几何中的向量方法导学案.doc

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：立体几何中的向量方法考情分析1通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算2能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理3利用空间向量求空间距离基础知识1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1， b2，b3)，则|a|，cosa，b.设a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则dab|.2立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，a，b是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.(4)点面距的求法如图，设ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离d.题型一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是c1c、b1c1的中点求证：mn平面a1bd.【变式1】 如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e、f、g分别是线段pa、pd、cd的中点求证：pb平面efg.题型二利用空间向量证明垂直问题【变式2】 如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)aecd；(2)pd平面abe.题型三利用向量求空间距离【例3】在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sasc2，m、n分别为ab、sb的中点，如图所示，求点b到平面cmn的距离【变式3】 (2013江西模拟)如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2.(1)求点a到平面mbc的距离；(2)求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值 巩固提高1.如图，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_2.已知棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e是a1b1的中点，求直线ae与平面abc1d1所成角的正弦值_3如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd.四边形abcd中，abad，abad4，cd，cda45.(1)求证：平面pab平面pad；(2)设