江苏省南京市第三初级中学初中数学教师论文 教研篇 基于数学思想哲学三问的阶梯式课堂教学.doc

基于数学思想哲学三问的阶梯式课堂教学【预习回顾】梯形abcd中,abcd,对角线ac、bd相较于点o,问sadc=sbdc,sado=sbco吗？为什么？【数学思想提问】1.数学知识是一个载体,那么这节课我们通过一些数学知识来研究一下到底数学思想给予我们怎样的思考方式.2.数学给予我们哪些数学思想,你能结合实例来进行解释？3.类比思想：是指两种事物存在相互类似的性质与特点,例如：解不等式类比解方程,分式运算类比分数运算,下面请大家回忆一下,我们在学习的过程中还有那些类比的思想.学生1：声音和光都是沿直线传播，都有反射和折射等现象，因为声音是一种波，通过类比演绎出光也是一种波.学生2：在集市上，可以看见鸭与鹅有蹼，而鸭子可以游泳，通过类比可以得出鹅也会游泳.学生3：在不等式a2+b22ab，通过类比，可以得出不等式a3+b3+c33abc（a，b，c都大于零）.4.黄金分割点的定义.点c把线段ab分成两条线段ac和bc,如果 那么称线段ab被点c黄金分割,点c交做线段ab的黄金分割点.abc既然点能够分割线段,那么我们进行类比思想迁移：能否存在一条直线,将一个图形进行分割,我们能否自己定义一下“黄金分割线”.adcbl12【活动一：学生类比定义】“黄金分割线”的定义：类似的,若直线l把一个面积为s的图形分成两个部分,这两个部分的面积分别为s1、s2,如果 我们可以称直线l为该图形的黄金分割线.（为了论述方便,我们记为s1s2）,如图所示；提问：我们研究问题是从特殊到一般 这是一个非常重要数学思想,你能结合实例来进行解释？cbad12学生1：探索规律就是从特殊到一般的数学思想.学生2：为了比较nn+1与(n+1)n的大小，我们从特殊值开始，1221,2343,4554,5665，.得出当n2时，nn+1(n+1)n.提问：三角形,四边形,多边形,什么图形入手较为简单. 学生答：三角形【活动二：探索三角形的黄金分割线】教师提问1：你能够划出一条三角形的黄金分割线.学生较为容易得到一条三角形的黄金分割线,取线段ab上的黄金分割点d,假设adbd,连接cd,那么线段cd所在的直线就是三角形的一条黄金分割线. 书写过程：点d是线段ab的黄金分割点 1,2与abc的高相同,都记为h 线段cd所在的直线就是三角形的一条黄金分割线教师提问2：不经过三角形任何一边的黄金分割点,你能够另外画出三角形的黄金分割线吗？学生没有办法解决这个问题.教师提问3：如果我们没有一点点的思路,那么有什么样的数学思想让我们进行思考的.转化思想：也称化归,将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题,从而使问题顺利解决的数学思想.你能结合实例来进行诠释什么是转化数学思想？abab学生1：研究平行四边形的面积公式就是转化成矩形来研究.学生2：探究多边形的内角和公式就是转化为三角形的内角和的.学生3：研究蚂蚁沿着圆柱体从点a到点b的最短路径转化成侧面展开图.学生4：有理数的减法运算转化成有理数的加法运算，有理数的除法运算转化成有理数的乘法运算，cbaefcbad那么我们需要大胆的假设，假设我们已经画出了另外一条黄金分割线ef,如左图. 设左边的面积大于右边的面积,那么我们是否可以和已经知道一条黄金分割线cd,如右图,进行比较.解决问题的关键在于，你能否在两个图之间进行转化.dcbaefdcbaef1234o下面我们将两幅图重合在一起进行比较研究，为了论述方便,我们用数字给不同形状的图形标记.我们做出想法上的假设：所作出的线段ef所在的直线是abc的黄金分割线, 分析： 若我们所画线段ef所在的直线就是abc的黄金分割线 则（假设条件下得到的目标等式）： 我们已知道线段cd就是就是abc的黄金分割线的 （构建条件下得到的起始等式）dcbaefo 假设条件下得到的目标等式与构建条件下得到的起始等式之间通过比较，我们如果能将2与3的面积进行转化就好了.就是等面积转化.下面我们的问题是,如何将2与3的面积进行等面积的转化呢？我们的记忆库中有类似的经验吗？我们回到预习作业，学生恍然大悟. 问题的关键就是abcd,我们再回到前面的问题,如何做到s2=s3,我们很自然的想到能否建立同底等高,构建平行线,使得cedf.下面我们将思路从后到先在逆向整理一下,过点c任意做一条直线交线段ab与点e,过点d做直线dfce交线段ac于点f,连接ef,则et就是我们所做的黄金分割线.cbadef【活动三：探索特殊四边形的黄金分割线】提问1： 走一步,再走一步,从三角形走向四边形,探究问题方法还是从特殊走向一般,我们来研究平行四边形,你能画出平行四边形的黄金分割线吗,请说明理由.cbadefhgo学生比较容易找到abcd的黄金分割线,取线段ab的黄金分割点e,过点e做efad交cd与点d. 提问2：你能画abcd的一条黄金分割线,使他不经过abcd各边的黄金分割点吗？提示,如果你没有思路,请你想一想今天所用到的转化的数学思想.各组讨论,代表交流发言.cbadegocbadefhgo第一种转化方法：取线段ef的中点o,过点o做线段gh.则gh就是我们所做的黄金分割线.第二种转化方法同三角形的方法相似,过点f任意做一条直线交线段ab于点g,过点e做直线ehfg.交线段cd于点h,连接gh,则gh就是我们所做的黄金分割线.其实.这两种转化的思想都是一样的,对于第二种方法,我们可以得到四边形hfge是平行四边形,根据平行四边形的性质,我们可以得到点o就是hg的中点.所以就等价于第一种方法,只是第一种方法较为简洁,两种方法都是将oeg的面积转化为ofh的面积.我提问：我们为什们要研究三角形的黄金分割线呢？学生恍然大悟.第三种转化方法,将平行四边形等面积转化三角形.取线段ad的中点o,连接co,并延长co交线段ba的延长线于点e,取线段eb的黄金分割点g,设eggb,连接cg则cg就是abcd的黄金分割线.adcb【活动四：探索一般四边形的黄金分割线】思考,探索任意四边形的黄金分割线.adcboeadcboeadcb有些学生没有思路,我有提示到,任意四边形abcd的面积能否转化成平行四边形或者三角形的面积.如何将bdc进行转化,比如我们已经得到了dae,容易想到sdco=sobe,又转化为探索三角形遇到的问题,于是水到渠成的完成了探索的过程adcboef 方法：连接bd,过点c一条直线ce,使得cebd,交线段ab的延长线于点e,连接de ,取线段ae的黄金分割点f,设efaf,连接df则df就是任意四边形abcd的黄金分割线.【反思】 数学课堂首先缺失的是以一种数学思想为主线作串联，第二我们的教学往往都是基于一种施教者（教师）已经知道答案的教学，基于教师认知水平的教学设计，而非从学生的认知发展水平出发.就是如何展示学生起始思维与目标思维之间的逻辑关系、转承关系与发展过程，教与学要一步一步刻画学生的思维是如何展开的.本节课的重点与难点就是：第一，要还原学生在假设条件下得到的等式与我们可以构建已知条件下得到的等式之间需要建立什么联系，又如何一步步的达成目标的。第二，要还原为什么我们要选择从特殊到一半的数学思想，转化的数学思想，结合本案实例来解释就是为什么我们先要研究三角形，然后过渡到平行四边形，因为四边形的某些问题可以还原化归为三角形，从而使得原来的问题得到解决.第三，这些数学思想能否是学生主动的，有意识建构的.这种思维的过程性的展示是通过教师精心安排的问题串联在一起的，形成一个个阶梯辅助学生.于是自然的产生贯穿教学思路的三个主要问题.思维的起始点落在何处，是什么样的数学思想，为什么这些数学思想会引导学生解决问题，这些数学思想将怎样带领学生走向一个什么样的新领域.面对这些问题，作为课堂教学的思路的设计者，就要回答关于数学思想的三个哲学命题：一，数学思想“是什么”，这些数学思想学生能够理解吗，学生能够结合自己的经验较为清晰的解释数学思想所蕴含的内涵吗？而不是仅仅知道几个所谓的数学思想的名称，本教学案中，学生对于声音和光的类比、鸭与鹅的类比，不等式a2+b22ab 与不等式a3+b3+c33abc（a，b，c都大于零）的类比，学生对于研究平行四边形的面积公式的转化，探究多边形的内角和公式的转化，研究蚂蚁沿着圆柱体从点a到点b的最短路径的转化，都是学生较为清晰的解释数学思想所蕴含的内涵.这是数学思想之根本，否则课堂的设计就是无本之末，无源之水.二，数学思想“从何而来”，数学思想是因为我们往往面对的一无所知的新的世界，新的问题，需要我们获得新的体验，新的理解，新的思考，新的探索，感知新的征程.这些是需要积累的，是需要学生不断的去感悟的，是慢慢形成学生的解决问题的经验的，是不断的总结，修正，反思的，趋向一种“为什么”需要这些数学思想.例如上例中两个等式，通过s2与s3的转化，四边形研究有困难需要转化为三角形，是从特殊到一般的数学思想，是数学思想的哲学第二个命题.三，数学思想“因何而去”，到底数学思想给予学生怎样的思