直角坐标与极坐标的区别与转换.doc

【爱文库】核心用户上传直角坐标直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。在平面内画两条 直角坐标 直角坐标互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。 坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。极坐标极坐标系1. 圆 2. 直线 3. 玫瑰线 4. 阿基米德螺线 5. 圆锥曲线 6. 其他曲线polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度以及从Ox到OP的角度来确定，有序数对（，）就称为P点的极坐标，记为P（，）；称为P点的极径，称为P点的极角。当限制0，02时，平面上除极点以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（，）是一个点的极坐标 ，那么（，+2n），（，+（2n+1），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为=r 等速螺线的极坐标方程为=a 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化：在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标 和 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值 x=cos y=sin 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和 y两坐标如何计算出极坐标下的坐标 =arctany/x ( x不等于0) 在 x= 0的情况下：若 y为正数 = 90 (/2 radians)；若 y为负，则 = 270 (3/2 radians). 极坐标的方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?) = r()，则曲线关于极点（0/180）对称，如果r(?) = r()，则曲线关于极点（90/270）对称，如果r(-) = r()，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转。 圆方程为r() = 1的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, ) 半径为 a 的圆的方程为r2-2rr0cos(-)+r02=a2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r()=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。 直线经过极点的射线由如下方程表示= ,其中为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有 = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点（r0, ）处的直线与射线 = 垂直，其方程为 r()=r0sec(-) 玫瑰线一条方程为 r() = 2 sin 4的玫瑰线。 极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下： r()=a cos k r()=a sin k OR如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。 阿基米德螺线方程 r() = for 0 0，另一条 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90/270得到其镜像，就是另一条螺线。 圆锥曲线椭圆，展示了半正焦弦 圆锥曲线方程如下：r=L/(1-e cos) 其中l表示半正焦弦，e表示离心率。 如果e 1，则表示双曲线。 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。 其他曲线由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡尔形式）简单得多。比如lemniscates, en:lima?ons, anden:cardioids。什么是极坐标表示法，它与平常用的直角坐标有什么关系，如何在二者之间转化在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对 (,)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。如果是直角坐标化极坐标,就把X=COS