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复变函数试题答案与评分参考 05.1.17 一、填空题（每空格3分，共18分） 否 二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定的一个解析分支 .并且分别求出在上半虚轴的左沿和右沿，当时的值.解 （6分）令 （8分）则在上半虚轴的右沿，当时，在上半虚轴的左沿，当时， （12分）2、计算积分 ，（为常数，且）.解因，故为多值函数，取正实轴为割线且单值解析分支（4分）（如图）设，则由知 （8分）由知故 （12分）三、（36%）解答题1、求的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.解因和是支点，故和不是孤立奇点. 因此，孤立奇点为和，故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支 ，（6分）（1） 当时，是可去奇点（2） 当时，是一阶极点（3） 是一阶极点 （12分）2、在平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成平面的上半平面（不包括实轴）.解（1）若区域表示在平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线，则将区域变为平面除去正实轴的开区域（6分）（2）将变为平面的上半平面因此即为所求 （12分）3、试作一个解析函数，它把上半平面保形双射成平面的半带域， .解由多角形映射公式知由知因，故由知所以 （6分）因此于是即为所求. （12分）四、（22%）证明题1、若，则 .证法1因，故即，即（6分）因此即，同理 ， （11分）证法2 由平行四边形公式 知，而， （6分）因此，同理 ， （11分）2、若在内，解析，并且， 则证
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