江苏省南通市天星湖中学高二数学上学期第一次段考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南通市天星湖中学高二（上）第一次段考数学试卷一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若a（2，3），b（3，2），c（，m）三点共线，则m的值为_2过两点a（m2+2，m23），b（3m2m，2m）的直线l的倾斜角为45，则实数m的值为_3过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是_4直线l与两条直线xy7=0，y=1分别交于p、q两点，线段pq的中点为（1，1），则直线l的斜率为_5过点p（3，6）且被圆x2+y2=25截得的弦长为8的直线方程为_6直线xcos+y+2=0的倾斜角范围为_7已知点a（2，3），b（3，2），若直线l过点p（1，1）与线段ab相交，则直线l的斜率k的取值范围是_8若直线2axby+2=0（a0，b0）始终平分圆x2+y2+2x4y+1=0的圆周，则的最小值为_9点p（x，y）在直线x+y4=0上，则x2+y2的最小值是_10由直线y=x+2上的点向圆（x4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为_11若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为则直线l的倾斜角的取值范围是_12过点a（4，1）的圆c与直线xy1=0相切于点b（2，1），则圆c的方程为_13在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差，那么n的取值集合_14若实数a，b，c成等差数列，点p（3，2）在动直线ax+by+c=0上的射影为h，点q（3，3），则线段qh的最大值为_二解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知直线l经过点a（1，3），求：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程16（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（1）求圆的方程；（2）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于a，b两点，求实数a的取值范围17已知求：（）z=x+2y4的最大值；（）z=x2+y210y+25的最小值；（）z=的范围18已知两圆x2+y22x6y1=0x2+y210x12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长19（16分）已知方程x2+y22x4y+m=0（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y4=0相交于m，n两点，且（其中o为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以mn为直径的圆的方程20（16分）已知圆m的方程为x2+（y2）2=1，直线l的方程为x2y=0，点p在直线l上，过p点作圆m的切线pa，pb，切点为a，b（1）若apb=60，试求点p的坐标；（2）若p点的坐标为（2，1），过p作直线与圆m交于c，d两点，当时，求直线cd的方程；（3）求证：经过a，p，m三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标2015-2016学年江苏省南通市天星湖中学高二（上）第一次段考数学试卷一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若a（2，3），b（3，2），c（，m）三点共线，则m的值为【考点】三点共线 【专题】计算题【分析】由三点共线的性质可得 ab和 ac的斜率相等，由=，求得 m 的值【解答】解：由题意可得 kab=kac，=，m=，故答案为 【点评】本题考查三点共线的性质，当a、b、c三点共线时，ab和 ac的斜率相等2过两点a（m2+2，m23），b（3m2m，2m）的直线l的倾斜角为45，则实数m的值为m=2【考点】斜率的计算公式；直线的倾斜角 【专题】计算题【分析】由题意可得 tan45=1=，故有 m22m3=2m2+m10，由此求得实数m的值【解答】解：两点a（m2+2，m23），b（3m2m，2m）的直线l的倾斜角为45，则有 tan45=1=，m22m3=2m2+m10，即 m2+3m+2=0，且 2m2+m10，解得 m=2，故答案为2【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，注意 2m2+m10，这是解题的易错点，属于基础题3过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是x2y1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程 【分析】先求直线x2y2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程【解答】解：直线x2y2=0的斜率是，所求直线的斜率是所以所求直线方程：y=（x1），即x2y1=0故答案为：x2y1=0【点评】本题考查两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，是基础题4直线l与两条直线xy7=0，y=1分别交于p、q两点，线段pq的中点为（1，1），则直线l的斜率为【考点】直线的斜率 【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】根据中点坐标公式以及直线的斜率公式求出直线的斜率即可【解答】解：设p（x0，y0），q（a，1），pq中点为m，根据中点坐标公式得：=1，=1解得y0=3，p点在xy7=0上，解得x0=4，a=2；p点坐标为（4，3），q点坐标为（2，1）；由斜率公式k=，得：k=，故答案为：【点评】本题考查直线的斜率，着重考查中点坐标公式的应用，属于基础题5过点p（3，6）且被圆x2+y2=25截得的弦长为8的直线方程为3x4y+15=0和x=3【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离，下面求圆心到直线的距离，分两种情况，一是若直线斜率不存在，则垂直x轴x=3，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离求解【解答】解：圆心（0，0），r=5圆心到弦的距离若直线斜率不存在，则垂直x轴x=3，圆心到直线距离=|03|=3，成立若斜率存在y6=k（x3）即：kxy3k+6=0则圆心到直线距离解得综上：x3=0和3x4y+15=0故答案为：x3=0和3x4y+15=0【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了圆心距，弦半距及半径构成的直角三角形，直线的方程形式及其性质6直线xcos+y+2=0的倾斜角范围为【考点】直线的倾斜角 【专题】直线与圆【分析】由于直线xcos+y+2=0的斜率为，设此直线的倾斜角为，则0，且tan，由此求出的围【解答】解：由于直线xcos+y+2=0的斜率为，由于1cos1，设此直线的倾斜角为，则0，故tan故答案为：【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题7已知点a（2，3），b（3，2），若直线l过点p（1，1）与线段ab相交，则直线l的斜率k的取值范围是k，或k2【考点】直线的斜率 【专题】直线与圆【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 kkpb 或 kkpa，用直线的斜率公式求出kpb 和kpa 的值，求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 kkpb 或 kkpa，即 k=，或 k=2，k，或k2，即直线的斜率的取值范围是k，或k2故答案为：k，或k2【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多可以移动一个点的坐标，变式出其他的题目8若直线2axby+2=0（a0，b0）始终平分圆x2+y2+2x4y+1=0的圆周，则的最小值为4【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式 【专题】直线与圆【分析】利用直线2axby+2=0（a0，b0）始终平分圆x2+y2+2x4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（1，2）在直线2axby+2=0（a0，b0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值【解答】解：由题意，圆的圆心（1，2）在直线2axby+2=0（a0，b0）上2a2b+2=0（a0，b0）a+b=1=（a+b）（）=2+2+2=4当且仅当，即a=b=时，的最小值为4故答案为：4【点评】本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9点p（x，y）在直线x+y4=0上，则x2+y2的最小值是8【考点】直线与圆的位置关系；两点间距离公式的应用 【分析】x2+y2的最小值，就是直线到原点距离的平方的最小值，求出原点到直线的距离的平方即可【解答】解：原点到直线x+y4=0的距离点p（x，y）在直线x+y4=0上，则x2+y2的最小值，就是求原点到直线的距离的平方，为：故答案为：8【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查等价转化的数学思想，是基础题10由直线y=x+2上的点向圆（x4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为【考点】直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值【解答】解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，2）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得 m=4，由勾股定理求得切线长的最小值为 =故答案为：【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小11若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为则直线l的倾斜角的取值范围是，【考点】直线与圆的位置关系；直线的倾斜角 【专题】计算题；直线与圆【分析】求出圆心为c（2，2）、半径r=3，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为时，圆心到直线的距离应小于或等于，由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线l的倾斜角的取值范围【解答】解：圆x2+y24x4y10=0化简为标准方程，可得（x2）2+（y2）2=18，圆心坐标为c（2，2），半径r=3，在圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，圆心到直线的距离应小于或等于r=，由点到直线的距离公式，得，（2a+2b）22（a2+b2），整理得，解之得22+，直线l：ax+by=0的斜率k=2，2+设直线l的倾斜角为，则tan2，2+，即tantantan由此可得直线l的倾斜角的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质，要求熟练掌握并灵活运用点到直线的距离公式，以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题12过点a（4，1）的圆c与直线xy1=0相切于点b（2，1），则圆c的方程为（x3）2+y2=2【考点】圆的标准方程 【专题】计算题；直线与圆【分析】求出直线xy1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出过点b的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心c坐标，根据|ac|=|bc|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出c坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可【解答】解：直线xy1=0的斜率为1，过点b直径所在直线方程斜率为1，b（2，1），此直线方程为y1=（x2），即x+y3=0，设圆心c坐标为（a，3a），|ac|=|bc|，即=，解得：a=3，圆心c坐标为（3，0），半径为，则圆c方程为（x3）2+y2=2故答案为：（x3）2+y2=2【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键13在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差，那么n的取值集合n=4，5，6【考点】直线与圆相交的性质；数列与解析几何的综合 【专题】计算题【分析】由题意过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，利用圆中的弦长公式求出a1，an又由于，成等差数列，得到公差d，利用公差的范围及n为正整数逼出n的取值【解答】解：圆的方程为x2+y2=5x，化成圆的标准方程为：，由此可以知道圆心：圆的半径为，利用圆的性质可以知道最短弦应为过已知定点与圆心连线垂直的弦最短由此得a1=，最长弦为过定点的圆的直径，3n16，4n7，nn+，n=4，5，6；故答案为：n=4，5，6【点评】此题重点考查了圆中求解弦的最大与最小，还考查了等差数列的任意两项间的通项公式及利用公差的范围和n的取值范围逼出n的数值14若实数a，b，c成等差数列，点p（3，2）在动直线ax+by+c=0上的射影为h，点q（3，3），则线段qh的最大值为【考点】点到直线的距离公式 【专题】数形结合；转化法；直线与圆【分析】由a，b，c成等差数列，得出直线ax+by+c=0过定点；再根据点p在直线ax+by+c=0上的射影得出pha=90，即h在以pa为直径的圆上，画出图形，结合图形求出线段qh的最大值【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c，即a2b+c=0，直线ax+by+c=0恒过a（1，2）；又点p（3，2）在动直线ax+by+c=0上的射影为h，pha=90，h在以pa为直径的圆上，如图所示；且此圆的圆心b的坐标为（，），即b（1，0），半径r=|pa|=2；又q（3，3），|bq|=5，|qh|max=5+2，即线段qh的最大值为5+2故答案为：5+2【点评】本题考查了等差数列的性质与直线直线和圆的应用问题，解题时利用等差数列的性质得到直线过定点是突破点，是综合性题目二解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知直线l经过点a（1，3），求：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程【考点】直线的截距式方程 【专题】综合题；方程思想；转化法；直线与圆【分析】（1）当直线过原点时，方程为 y=3x，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（1，3）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程，（2）设直线方程为：，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程【解答】解：（1）若直线l的截距为0，则直线方程为y=3x；若直线l的截距不为零，则可设直线方程为：x+y=k，由题设有1+3=k，所以直线方程为：x+y4=0 综上，所求直线的方程为3xy=0或x+y4=0（2）设直线方程为：，而面积，又由得等号当且仅当成立，即当a=2，b=6时，面积最小为12所求直线方程为3x+y6=0【点评】本题考查了直线的截距式方程，利用基本不等式求最值，考查了分类讨论的数学思想方法等知识，是基础题16（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（1）求圆的方程；（2）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于a，b两点，求实数a的取值范围【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】（1）设圆心为m（m，0），mz，根据圆与直线4x+3y29=0相切，可得 =5，求得m的值，可得所求的圆的方程（2）把直线axy+5=0（a0）代入圆的方程可得 （a2+1）x2+2（5a1）x+1=0再由0，求得a的范围【解答】解：（1）设圆心为m（m，0），mz，根据圆与直线4x+3y29=0相切，可得 =5，即|4m29|=25，再根据m为整数求得m=1故所求的圆的方程为 （x1）2+y2=25（2）把直线axy+5=0（a0）代入圆的方程可得 （a2+1）x2+2（5a1）x+1=0由于直线axy+5=0和圆相交于a，b两点，可得=4（5a1）24（a2+1）0，即 12a25a0，求得a或a0，故a的范围为（，0）（，+）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，一元二次不等式的解法，属于中档题17已知求：（）z=x+2y4的最大值；（）z=x2+y210y+25的最小值；（）z=的范围【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】（）作出不等式组对应的平面区域利用z=x+2y4的几何意义，即可求最大值；（）z=x2+y210y+25的几何意义为两点间的距离的平方；（）z=的几何意义为两点之间斜率的取值范围【解答】解：（）作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标a（1，3）、b（3，1）、c（7，9）易知可行域内各点均在直线x+2y4=0的上方，故x+2y40，将点c（7，9）代入z得最大值为21（红线部分）（）z=x2+y210y+25=x2+（y5）2表示可行域内任一点（x，y）到定点m（0，5）的距离的平方，过m作直线ac的垂线，易知垂足n在线段ac上，故z的最小值是|mn|2=（绿线部分）（）z=的几何意义表示为区域内的动点p（x，y）与定点d（1，）连线斜率的2倍由图象可知db的斜率最大为k=，da的斜率最小为k=，即，即，（蓝色线部分）即z的取值范围是【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键要求熟练掌握常见目标函数的几何意义18已知两圆x2+y22x6y1=0x2+y210x12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定 【专题】直线与圆【分析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值（2）由两圆的圆心距d=5 等于两圆的半径之差为|，求得m的值（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长【解答】解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x1）2+（y3）2=11、（x5）2+（y6）2=61m，两圆的圆心距d=5，两圆的半径之和为+，由两圆的半径之和为+=5，可得 m=25+10（2）由两圆的圆心距d=5 等于两圆的半径之差为|，即|=5，可得 =5 （舍去），或 =5，解得m=2510（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x1）2+（y3）2=11、（x5）2+（y6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y23=0第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d=2，可得弦长为 2=2【点评】本题主要考查两个圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题19（16分）已知方程x2+y22x4y+m=0（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y4=0相交于m，n两点，且（其中o为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以mn为直径的圆的方程【考点】直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件 【专题】计算题；综合题；转化思想【分析】（1）将x2+y22x4y+m=0转化为：（x1）2+（y2）2=5m，由方程表示圆，则有5m0（2）先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有=（16）245（8+m）0，又，得出x1x2+y1y2=0，由韦达定理求解（3）线段的中点为圆心，圆心到端点的距离为半径，从而求得结论【解答】解：（1）x2+y22x4y+m=0即（x1）2+（y2）2=5m若此方程表示圆，则5m0m5（2）x=