江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 矩阵与变换专题检测（含解析）.doc

44矩阵与变换1求将曲线y2x绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程解由题意得旋转变换矩阵m，设p(x0，y0)为曲线y2x上任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则，即所以又因为点p在曲线y2x上，所以yx0，故(x)2y，即yx2为所求的曲线方程2在直角坐标系中，已知abc的顶点坐标为a(0,0)、b(1,1)、c(0,2)，求abc在矩阵mn作用下变换所得到的图形的面积，其中m，n.解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵n作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形；在矩阵m作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形，因此，abc在矩阵mn作用下变换所得到的图形与abc全等，从而其面积等于abc的面积，即为1.3(2013福建)已知直线l：axy1在矩阵a对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点p(x0，y0)在直线l上，且a，求点p的坐标解(1)设直线l：axy1上任意点m(x，y)在矩阵a对应的变换作用下的像是m(x，y)由，得又点m(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1，依题意得解得(2)由a，得解得y00.又点p(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点p的坐标为(1,0)4已知在二阶矩阵m对应变换的作用下，四边形abcd变成四边形abcd，其中a(1,1)，b(1,1)，c(1，1)，a(3，3)，b(1,1)，d(1，1)(1)求出矩阵m；(2)确定点d及点c的坐标解(1)设m，则有，故解得m.(2)由，知c(3,3)，由，知d(1，1)5设a，问a是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵解设a是可逆的，其逆矩阵b，那么应该有baabe，即，.由得31得(2241)y1，即0y1，这说明上面的方程组无解从而，不存在矩阵b使得baabe，所以，矩阵a不可逆6(2013江苏)已知矩阵a，b，求矩阵a1b.解设矩阵a的逆矩阵a1，则，即故a1，b0，c0，d，从而a的逆矩阵a1，所以a1b.7在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,0)，b(2,0)，c(2,1)设k为非零实数，矩阵m，n，点a、b、c在矩阵mn对应的变换下得到的点分别为a1、b1、c1，a1b1c1的面积是abc的面积的2倍，求k的值解由题设得mn.由，可知a1(0,0)，b1(0，2)，c1(k，2)计算得abc的面积是1，a1b1c1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.8给定矩阵a，b.(1)求a的特征值1，2及对应的特征向量1，2；(2)求a4b.解(1)设a的一个特征值为，由题意知0，(2)(3)0，12，23，当12时，由2，得a的属于特征值2的特征向量为1，当23时，由3，得a的属于特征值3的特征向量为2.(2)由于b2212，故a4ba4(212)2(241)(342)321812.9已知二阶矩阵m有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵m对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵m；(2)求矩阵m的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵m的作用下的直线l的方程解(1)设m，则8，故，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故m.(2)由(1)知，矩阵m的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵m的另一个特征向量是e2，则me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵m的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则，即xxy，yxy，代入直线l的方程后并化简得xy20，即xy20.10已知曲线c：y22x，在矩阵m对应的变换作用下得到曲线c1，c1在矩阵n对应的变换作用下得到曲线c2，求曲线c2的方程解设anm，则a，设p(x，y)是曲线c上任一点，在两次变换下，在曲线c2上的对应的点为p(x，y)，则，即又点p(x，y)在曲线c：y22x上，(x)22y，即yx2.11设曲线2x22xyy21在矩阵a(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求a2的逆矩阵解(1)设曲线2x22xyy21上任意点p(x，y)在矩阵a对应的变换作用下的像是p(x，y)由，得又点p(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，a，a2.所以|a2|1，(a2)1.12已知矩阵a，b.(1)求(ab)1；(2)求直线2xy50在(ab)1对应变换作用下的直线方程解(1)ab，又|ab|314