江苏省镇江市高三数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。1设集合u=0，1，2，3，a=x|x2x=0，则ua=2从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为3若复数为纯虚数，则m=4根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a的值为5在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么tanc=6方程lgx=sinx的解的个数为7函数f（x）=的定义域是8若函数f（x）=sin（x+）cosx（0）是偶函数，则的值等于9实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，则“ac0”是“该方程有实数根”的条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写）10若实数x、y满足x0，y0，且log2x+log2y=log2（x+2y），则2x+y的最小值为11若4x52x+60，则函数f（x）=2x2x的值域是12已知函数f（x）=，若0abc，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为13设、，且sincos（+）=sin，则tan的最小值是14函数f（x）=axxlna（0a1），若对于任意x1，1，不等式f（x）e1恒成立，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15在abc中，角a、b、c所对应的边分别是a、b、c（1）若sin（a+）=，求a的值；（2）若cosa=，sinb+sinc=2sina，试判断abc的形状，并说明理由16已知函数（1）解不等式f（x）0；（2）当x1，4时，求f（x）的值域17已知ar，函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a1，函数y=f（x）在0，a+1上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围18已知函数f（x）=sin2x2asin（x+）+2，设t=sinx+cosx，且x（，）（1）试将函数f（x）表示成关于t的函数g（t），并写出t的范围；（2）若g（t）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=0有四个不同的实数根，求a的取值范围19广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形aob和三角区域bco构成，其中c，o，a在一条直线上，acb=，记该设施平面图的面积为s（x）m2，aob=xrad，其中x（1）写出s（x）关于x的函数关系式；（2）如何设计aob，使得s（x）有最大值？20记函数f（x）=ex的图象为c，函数g（x）=kxk的图象记为l（1）若直线l是曲线c的一条切线，求实数k的值（2）当x（1，3）时，图象c恒在l上方，求实数k的取值范围（3）若图象c与l有两个不同的交点a、b，其横坐标分别是x1、x2，设x1x2，求证：x1x2x1+x22015-2016学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。1设集合u=0，1，2，3，a=x|x2x=0，则ua=2，3【考点】补集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合【分析】先化简集合a，再求a在u中的补集【解答】解：集合u=0，1，2，3，a=x|x2x=0=x|x=0或x=1=0，1，ua=2，3故答案为：2，3【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目2从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】对应思想；试验法；概率与统计【分析】用列举法求出从甲、乙、丙3人中选2人的基本本事件数以及甲被选中的基本事件数，求出对应的概率即可【解答】解：从甲、乙、丙3名候选学生中选2名，基本事件是甲乙，甲丙，乙丙共3种，其中甲被选中的基本事件是甲乙和甲丙，共2种；所求的概率为p=故答案为：【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目3若复数为纯虚数，则m=2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【专题】计算题【分析】先将ai1+i 化简为代数形式，再根据纯虚数的概念，令其实部为0，虚部不为0，求出m值【解答】解： =+i，根据纯虚数的概念得出，解得m=2故答案为：2【点评】本题考查复数的除法运算，复数的分类，纯虚数的概念属于基础题4根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a的值为105【考点】伪代码【专题】计算题；分类讨论；试验法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=9时不满足条件i7，退出循环，输出a的值为105【解答】解：模拟执行程序可得：a=1，i=3满足条件i7，a=3，i=5满足条件i7，a=15，i=7满足条件i7，a=105，i=9不满足条件i7，退出循环，输出a的值为105故答案为：105【点评】本题主要考查了循环结构的程序，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题5在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么tanc=【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cosc，结合范围c（0，），利用同角三角函数关系式即可求值【解答】解：sina：sinb：sinc=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosc=，c（0，）tanc=故答案为：【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题6方程lgx=sinx的解的个数为3【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】由函数y=lgx的单调性可知：当0x10时，lgx1；又由正弦函数的有界性可知：sinx1画出当x0时的图象即可得出答案【解答】解：要使lgx有意义，必须x0分别作出函数y=lgx，y=sinx，当x0时的图象：由函数y=lgx的单调性可知：当0x10时，lgx1；又sinx1由图象可以看出：函数y=lgx与y=sinx的图象有且仅有3个交点，故方程lgx=sinx的解的个数为3故答案为3【点评】熟练掌握对数函数和正弦函数的图象和性质是解题的关键7函数f（x）=的定义域是（0，【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】关键二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可【解答】解：由题意得：lgx0，解得：0x，故答案为：（0，【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题8若函数f（x）=sin（x+）cosx（0）是偶函数，则的值等于【考点】正弦函数的奇偶性；两角和与差的正弦函数；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用三角函数的奇偶性可得=k+，kz，再结合0，可得的值【解答】解：函数f（x）=sin（x+）cosx 是偶函数，则=k+，kz再根据0，可得=，故答案为：【点评】本题主要三角函数的奇偶性，属于基础题9实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，则“ac0”是“该方程有实数根”的充分不必要条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】方程思想；综合法；简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可【解答】解：对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，=b24ac，若“ac0”，则0，“该方程有实数根”，是充分条件，若该方程有实数根，0，则推不出ac0，不是必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查了充分必要条件，根的判别式问题，是一道基础题10若实数x、y满足x0，y0，且log2x+log2y=log2（x+2y），则2x+y的最小值为9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可【解答】解：实数x、y满足x0，y0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+=9，当且仅当x=y=3时，取得最小值故答案为：9【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用，考查计算能力11若4x52x+60，则函数f（x）=2x2x的值域是，【考点】一元二次不等式的解法；函数的值域【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】用换元法，设t=2x，求出t的取值范围，再把函数f（x）化为f（t），求f（t）的值域即可【解答】解：4x52x+60，（2x）252x+60，设t=2x，则原不等式化为t25t+60，解得2t3；又函数f（x）=2x2x=2x，f（t）=t（t2，3），f（t）=1+0，f（t）在t2，3上是增函数，f（2）f（t）f（3），即f（t）；f（x）的值域是，故答案为：，【点评】本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是综合性题目12已知函数f（x）=，若0abc，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为（1，2）【考点】分段函数的应用【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得ab=1，f（c）1；从而求得【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，0abc，满足f（a）=f（b）=f（c），log2a=log2b，即ab=1；f（c）=+，f（c）1；故1=2；故答案为：（1，2）【点评】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用13设、，且sincos（+）=sin，则tan的最小值是【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得 2tan2tan+tantan=0，再根据=18tan20，求得tan的最小值【解答】解：sincos（+）=sin=sin（+），sincos（+）=sin（+）coscos（+）sin，化简可得 tan（+）=2tan，即=2tan，2tan2tantan+tan=0，=18tan20，解得tan，（，），tan0，故答案为：【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题14函数f（x）=axxlna（0a1），若对于任意x1，1，不等式f（x）e1恒成立，则实数a的取值范围是，1）【考点】函数恒成立问题【专题】转化思想；配方法；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在1，1上的最大值即可，利用构造法进行求解【解答】解：函数的导数f（x）=axlnalna=lna（ax1），0a1，lna0，由f（x）0得lna（ax1）0，即ax10，则x0，此时函数单调递增，由f（x）0得lna（ax1）0，即ax10，则x0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，当x=1，则f（1）=alna当x=1，则f（1）=a1+lna，则f（1）f（1）=a2lna，设g（a）=a2lna，则g（a）=1+=（1）20，则g（a）在（0，1）上为增函数，则g（a）g（1）=112ln1=0，即g（a）0，则f（1）f（1）0，即f（1）f（1），即函数f（x）在x1，1上的最大值为f（1）=a1+lna，若对于任意x1，1，不等式f（x）e1恒成立，则f（1）=a1+lnae1，即+lnae1，设h（a）=+lna，则h（a）=+=（）2+，0a1，1，当h（a）h（1）=0，即h（a）=+lna在0a1上为减函数，由+lna=e1得a=则+lnae1等价为h（a）h（），即a1，故答案为：，1）【点评】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键本题的难点在于多次构造函数，多次进行进行求导，考查学生的转化和构造能力和意识二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15在abc中，角a、b、c所对应的边分别是a、b、c（1）若sin（a+）=，求a的值；（2）若cosa=，sinb+sinc=2sina，试判断abc的形状，并说明理由【考点】三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式化简已知可得cos（a+）=0，解得范围0a，即可解得a的值（2）由正弦定理可得：b+c=2a，由cosa=，a（0，），解得：a=，由正弦定理可得：sinb+sinc=，由余弦定理可得：a2=b2+c2bc，由可解得：sin2a=sinbsinc=，由解得：sinb=sinc=sina=，即a=b=c=，从而得解【解答】（本题满分为14分）解：（1）sin（a+）=sina+cosa=，解得：cos（a+）=0，0a，a+，解得：a+=，即a=7分（2）sinb+sinc=2sina，由正弦定理可得：b+c=2a，cosa=，a（0，），解得：a=，由可得sinb+sinc=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc，由可解得：a2=bc，由正弦定理可得：sin2a=sinbsinc=，由解得：sinb=sinc=sina=，即a=b=c=，故abc为等边三角形14分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题16已知函数（1）解不等式f（x）0；（2）当x1，4时，求f（x）的值域【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）先根据对数的运算性质对解析式化简，再令log2x=t代入f（x）0，进而转化为关于t的二次不等式，求出t的范围再求对应的x的范围；（2）由x1，4求出t0，2，代入后进行配方，利用二次函数的性质求出f（x）的最值即可【解答】解：（1）f（x）=（log2x2）（log2x+1）令log2x=t，f（x）=g（t）=（t2）（t+1），由f（x）0，可得（t2）（t+1）0，t2或t1，log2x2 或log2x1，x4或不等式的解集是（2）x1，4，t0，2， fmax（x）=g（2）=0，f（x）的值域是【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数和二次函数性质的应用，以及换元法求函数的值域问题17已知ar，函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a1，函数y=f（x）在0，a+1上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的综合应用【分析】（1）由求导公式和法则求出f（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a1和a1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间；（2）由（1）和条件判断出f（x）在0，a+1上的单调性，确定f（x）在0，a+1上的最大值，由条件列出不等式，求出实数a的取值范围【解答】解：（1）由题意得，f（x）=x2（a+1）x+a=（x1）（xa），令f（x）=0，得x1=1，x2=a，当a=1时，f（x）=（x1）20，所以f（x）在（，+）单调递增；当a1时，当xa或x1时，f（x）0，当ax1时，f（x）0，所以f（x）在（，a），（1，+）内单调递增，在（a，1）内单调递减；当a1时，当x1或xa时，f（x）0，当1xa时f（x）0，所以f（x）在（，1），（a，+）内单调递增，在（1，a）内单调递减综上，当a1时，f（x）在（，a），（1，+）内单调递增，在（a，1）内单调递减；当a=1时，f（x）在（，+）单调递增；当a1时，f（x）在（，1），（a，+）内单调递增，在（1，a）内单调递减（2）由（1）知，当a1时，f（x）在（，1），（a，+）内单调递增，在（1，a）内单调递减，所以f（x）在0，1），（a，a+1内单调递增，在（1，a）内单调递减，则f（x）在0，a+1上的最大值是f（0）或f（a+1），因为f（x）在0，a+1上最大值是f（a+1），所以，则，化简得，解得，所以a的取值范围是（1，2）【点评】本题考查求导公式、法则，利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，是中档题18已知函数f（x）=sin2x2asin（x+）+2，设t=sinx+cosx，且x（，）（1）试将函数f（x）表示成关于t的函数g（t），并写出t的范围；（2）若g（t）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=0有四个不同的实数根，求a的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得t=sin（x+），且x（，），t（0，可求g（t）=t22at+1，t（0，（2）由题意可得a，在t（0，上恒成立，令h（t）=，可求h（t）=，由，即可利用函数的单调性解得a的取值范围（3）方程f（x）=0有四个不同的解等价于g（t）在（0，）上有两个不相等的实根，问题转化为g（t）=t22at+1在（0，上有两个不相等的实根的条件为：，从而解得a的范围【解答】解：（1）t=sinx+cosx=sin（x+），且x（，），x+（0，），t=sin（x+）（0，sin2x=2sinxcosx=（sinx+cosx）2（sin2x+cos2x）=t21，g（t）=sin2x2asin（x+）+2=t212at+2=t22at+1，t（0，（2）g（t）=t22at+10恒成立，t（0，a，在t（0，上恒成立令h（t）=，则h（t）=，由，可得h（t）在（0，1单调递减，在1，上单调递增，所以h（t）min=h（1）=1，所以：ah（t）min=h（1）=1时，在t（0，上g（t）0恒成立（3）方程f（x）=0有四个不同的解等价于g（t）在（0，）上有两个不相等的实根，问题转化为g（t）=t22at+1在（0，上有两个不相等的实根的条件为：，解得：，可得：1a故若方程f（x）=0有四个不同的实数根，a（1，）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了导数的概念及应用，根的存在性及根的个数判断，综合性强，属于中档题19广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形aob和三角区域bco构成，其中c，o，a在一条直线上，acb=，记该设施平面图的面积为s（x）m2，aob=xrad，其中x（1）写出s（x）关于x的函数关系式；（2）如何设计aob，使得s（x）有最大值？【考点】弧度制的应用【专题】函数思想；三角函数的图像与性质【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式；（2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可【解答】解：（1）扇形aob的半径为2m，aob=xrad，s扇形=x22=2x，过点b作边ac的垂线，垂足为d，如图所示：则bod=x，bd=2sin（x）=2sinx，od=2cos（x）=2cosx，acb=，cd=bd=2sinx，sboc=cobd=（2sinx2cosx）2sinx=2sin2x2sinxcosx=