江苏省宿迁市重点中学高三数学下学期期初试卷（含解析）.doc

江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）若集合a=1，0，1，b=x|0x2，则ab=2（5分）已知（1+i）z=2i，那么复数z=3（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为（结果用数值表示）4（5分）已知等比数列an中，各项都是正数，且成等差数列，则等于5（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间56.5，64.5）的人数是6（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是7（5分）已知向量，满足|=1，|=，+=（，1），则向量+与向量的夹角是8（5分）如图，正三棱锥pabc的所有棱长都为4点d，e，f分别在棱pa，pb，pc上，满足pd=pf=1，pe=2，则三棱锥pdef的体积是9（5分）在abc中，ab=3，ac=4，bc=5，o点是内心，且，则1+2=10（5分）已知锐角a，b满足tan（a+b）=2tana，则tanb的最大值为11（5分）如图，点a，f分别是椭圆（ab0）的上顶点和右焦点，直线af与椭圆交于另一点b，过中心o作直线af的平行线交椭圆于c，d两点，若=，则椭圆的离心率为12（5分）已知圆o：x2+y2=1，o为坐标原点，若正方形abcd的一边ab为圆o的一条弦，则线段oc长度的最大值是13（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是14（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是二、解答题：15（14分）设abc三个内角a、b、c所对的边分别为a，b，c已知c=，acosa=bcosb（1）求角a的大小；（2）如图，在abc的外角acd内取一点p，使得pc=2过点p分别作直线ca、cd的垂线pm、pn，垂足分别是m、n设pca=，求pm+pn的最大值及此时的取值16（14分）在正三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点，bc=bb1（1）求证：a1c平面ab1d；（2）试在棱cc1上找一点m，使mbab117（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者s在某公园a处，发现正前方b处有一立柱，测得立柱顶端o的仰角和立柱底部b的俯角均为30，已知s的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆mn绕中点o在s与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为60的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由18（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：+=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设p是椭圆c长轴上的一个动点，过点p作斜率为k的直线l交椭圆c于a、b两点（）若k=1，求oab面积的最大值；（）若pa2+pb2的值与点p的位置无关，求k的值19（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=1，证明对任意正整数n，不等式f（）1+都成立20（16分）已知数列an的首项a1=a，sn是数列an的前n项和，且满足：sn2=3n2an+sn12，an0，n2，nn*（1）若数列an是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合m，使am时，数列an是递增数列江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）若集合a=1，0，1，b=x|0x2，则ab=1考点：交集及其运算分析：根据题意，分析可得，集合b为（0，2）之间所有的实数，而a中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案解答：解：根据题意，分析可得，集合b为（0，2）之间所有的实数，而a中的元素在（0，2）之间只有1，故ab=1点评：本题考查交集的运算，解题时应认真分析集合的元素特征与集合间的关系，答案注意写成集合的形式2（5分）已知（1+i）z=2i，那么复数z=1i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：根据（1+i）z=2i，可得复数z=1i，从而得到答案解答：解：（1+i）z=2i，复数z=1i，故答案为1i点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为（结果用数值表示）考点：等可能事件的概率专题：计算题分析：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；分析可得，若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇1个奇数；求出这种情况下的取法情况数，相加可得两个数的和是奇数的种数，最后再除以总数即得答案解答：解：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇数和1个偶数；有c31c21=6种取法，符合题意的总数共c52=10种取法；这两个数的和是奇数的概率为故答案为点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4（5分）已知等比数列an中，各项都是正数，且成等差数列，则等于考点：等差数列的性质专题：计算题分析：根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，约分化简得到结果解答：解：成等差数列，a3=a1+2a2，q22q1=0，q=1+，q=1（舍去）=q2=3+2故答案为：3+2点评：本题考查数列的基本量的运算，本题解题的关键是根据条件得到首项和公比之间的关系，为后面在约分整理提供依据5（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间56.5，64.5）的人数是40考点：频率分布直方图专题：概率与统计分析：由频率分布直方图，得出体重值在区间56.5，64.5）的频率，从而求出对应的频数解答：解：根据频率分布直方图，得：体重值在区间56.5，64.5）的频率是：（0.03+0.05+0.050.07）2=0.40；体重值在区间56.5，64.5）的频数是：1000.40=40故答案为：40点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应从图形求出题目中所需要的数据，进行解答，是基础题6（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是4考点：循环结构专题：算法和程序框图分析：算法的功能是求满足p=+0.7的最小的正整数n+1的值，利用裂项相消法求得p，通过解不等式确定n+1的值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足p=+0.7的最小的正整数n+1的值，又p=1+=1=，0.7n，输出的n=3+1=4故答案为：4点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能和确定输出的n值是解答本题的关键7（5分）已知向量，满足|=1，|=，+=（，1），则向量+与向量的夹角是考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：根据题意，先求出|+|与|的值，再由（+）（）=|+|cos，求出夹角的值解答：解：设向量+与向量的夹角是，0，；|=1，|=，+=（，1），|+|=2，=0，|=2；又（+）（）=|+|cos，13=22cos，即cos=，=故答案为：点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的数量积的概念以及向量的运算法则，进行计算即可，是基础题8（5分）如图，正三棱锥pabc的所有棱长都为4点d，e，f分别在棱pa，pb，pc上，满足pd=pf=1，pe=2，则三棱锥pdef的体积是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：综合题；空间位置关系与距离分析：过顶点p作po底面abc，垂直为o，则点o是底面的中心在正abc中，先由重心定理求出ao的长，进而在rtpao中求出高po，底面正abc的面积易求，再根据三棱锥的体积公式v三棱锥pabc，再求出三棱锥pdef的体积解答：解：如图所示：过顶点p作po底面abc，垂足为o，则点o是底面的中心点o是底面的中心，即为abc的重心，oa=在rtpao中，由勾股定理得po=又sabc=4，v三棱锥pabc=pd=pf=1，pe=2，三棱锥pdef的体积是=故答案为：点评：理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键9（5分）在abc中，ab=3，ac=4，bc=5，o点是内心，且，则1+2=考点：相等向量与相反向量专题：计算题分析：根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果解答：解：由题意可知=，两个数字之和是，故答案为：点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的10（5分）已知锐角a，b满足tan（a+b）=2tana，则tanb的最大值为考点：两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值分析：先利用两角和的公式把tanb=tan（a+ba）展开，把tan（a+b）=2tana代入，整理后利用基本不等式求得tanb的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanb的值，即可得出结果解答：解：tanb=tan（a+ba）=a为锐角，tana02当且仅当2tana=时取“=”号，即tana=0tanbtanb最大值是故答案为：点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力11（5分）如图，点a，f分别是椭圆（ab0）的上顶点和右焦点，直线af与椭圆交于另一点b，过中心o作直线af的平行线交椭圆于c，d两点，若=，则椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质专题：综合题分析：设出ab，cd的方程，分别与椭圆方程联立，求导|cd|，|ab|，利用=，即可求得椭圆的离心率解答：解：由题意，设ab的方程为：，则cd的方程为ab的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x22a2cx=0，x=0或x=|ab|=cd的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2=a2c2，x=|cd|=故答案为点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|cd|，|ab|，属于中档题12（5分）已知圆o：x2+y2=1，o为坐标原点，若正方形abcd的一边ab为圆o的一条弦，则线段oc长度的最大值是+1考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质专题：综合题分析：设正方形边长为a，oba=，从而在obc中，计算oc的长，利用三角函数，可求oc的最大值解答：解：如图，设正方形边长为a，oba=，则cos=，0，）在obc中，a2+12acos（+）=oc2，oc2=（2cos）2+1+22cossin=4cos2+1+2sin2=2cos2+2sin2+3=2sin（2+）+3，0，），2+，），2+=时，oc2的最大值为2+3 线段oc长度的最大值是+1故答案为：+1点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建oc关于的三角函数，属于中档题13（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是（21，24）考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：函数的性质及应用分析：由题意可得log3a=log3b=c2c+8=d2d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24由此求得abcd的范围解答：解：由题意可得log3a=log3b =c2c+8=d2d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24故有 21abcd24，故答案为（21，24）点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题14（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是，+考点：函数与方程的综合运用专题：函数的性质及应用分析：通过已知条件化简求出xy的表达式，然后利用圆心与直线的距离小于等于半径，求出a的范围，利用二次函数的最值，求出xy最值即可解答：解：实数a，x，y，满足，2解得：2xy=3a26a+4，a2+2a30，a1或a3又，可得，综上令g（x）=（3a26a+4），对称轴为a=1，1，a=是g（x）最小：，a=是g（x）最大：+xy，+；故答案为：，+；点评：本题考查函数与方程的综合应用，直线与圆的位置关系，二次函数闭区间是的最值的应用，是中档题二、解答题：15（14分）设abc三个内角a、b、c所对的边分别为a，b，c已知c=，acosa=bcosb（1）求角a的大小；（2）如图，在abc的外角acd内取一点p，使得pc=2过点p分别作直线ca、cd的垂线pm、pn，垂足分别是m、n设pca=，求pm+pn的最大值及此时的取值考点：三角形中的几何计算；正弦定理专题：综合题；解三角形分析：（1）由acosa=bcosb及正弦定理可得sin2a=sin2b，即a=b或a+b=，结合c=，可求角a的大小；（2）求出pm，pn可得pm+pn=2sin+2sin （+）=3sin+cos=2sin（+），即可求pm+pn的最大值及此时的取值解答：解：（1）由acosa=bcosb及正弦定理可得sinacosa=sinbcosb，即sin2a=sin2b，又a（0，），b（0，），所以有a=b或a+b= 3分又因为c=，得a+b=，与a+b=矛盾，所以a=b，因此a= 6分（2）由题设，得在rtpmc中，pm=pcsinpcm=2sin；在rtpnc中，pn=pcsinpcn=pcsin（pcb）=2sin（+）=2sin （+），（0，）8分所以，pm+pn=2sin+2sin （+）=3sin+cos=2sin（+）12分因为（0，），所以+（，），从而有sin（+）（，1，即2sin（+）（，2于是，当+=，即=时，pm+pn取得最大值216分点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定pm+pn是关键16（14分）在正三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点，bc=bb1（1）求证：a1c平面ab1d；（2）试在棱cc1上找一点m，使mbab1考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：证明题；探究型分析：（1）证明：连接a1b，交ab1于点o，连接od因为o、d分别是a1b、bc的中点，所以a1cod 所以a1c平面ab1d （2）由题意得：四边形bcc1b1是正方形因为m为cc1的中点，d是bc的中点，所以b1bdbcm，所以bb1d=cbm，bdb1=cmb所以bmb1d 因为abc是正三角形，d是bc的中点，所以adbc因为ad平面bb1c1c且bm平面bb1c1c，所以adbm利用线面垂直的判定定理可得bm平面ab1d解答：证明：（1）连接a1b，交ab1于点o，连接odo、d分别是a1b、bc的中点，a1cod a1c平面ab1d，od平面ab1d，a1c平面ab1d （2）m为cc1的中点 证明如下：在正三棱柱abca1b1c1中，bc=bb1，四边形bcc1b1是正方形m为cc1的中点，d是bc的中点，b1bdbcm，bb1d=cbm，bdb1=cmb又，bmb1d abc是正三角形，d是bc的中点，adbc平面abc平面bb1c1c，平面abc平面bb1c1c=bc，ad平面abc，ad平面bb1c1cbm平面bb1c1c，adbm adb1d=d，bm平面ab1dab1平面ab1d，mbab1点评：证明线面平行关键是在面内找到与已知直线平行的直线即可，解决探索性找点问题一般用检验的方法先检验线段的端点与中点再证明即可，也可以利用空间向量来解决这种探索性问题17（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者s在某公园a处，发现正前方b处有一立柱，测得立柱顶端o的仰角和立柱底部b的俯角均为30，已知s的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆mn绕中点o在s与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为60的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由考点：平面向量数量积坐标表示的应用专题：平面向量及应用分析：（1）摄影者眼部记为点s，作scob于c，则有csb=30，asb=60sa=，在rtsab中，由三角函数的定义可求ab；再由sc=3，cso=30，在rtsco中由三角函数的定义可求oc，进而可求ob（2）以o为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系设m（cos，sin），0，2），则n（cos，sin），由（）知s（3，），利用向量的数量积的坐标表示可求cosmsn=，1，结合余弦函数的性质可求答案解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点s，作scob于c，依题意csb=30，asb=60又sa=，故在rtsab中，可求得ba=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米（3分）由sc=3，cso=30，在rtsco中oc=sctan30=，又bc=sa=，故ob=2，即立柱的高度为2米（6分）（2）如图，以o为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系设m（cos，sin），0，2），则n（cos，sin），由（）知s（3，）（8分）故=（cos3，sin+），=（cos3，sin+），=（cos3）（cos3）+（sin）（sin）=11（10分）|=由0，2）知|11，13（12分）所以cosmsn=，1，msn60恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的 关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理18（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：+=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设p是椭圆c长轴上的一个动点，过点p作斜率为k的直线l交椭圆c于a、b两点（）若k=1，求oab面积的最大值；（）若pa2+pb2的值与点p的位置无关，求k的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题设知a=2，e=，由此能求出a=2，b=1（2）（i）由（1）得，椭圆c的方程为+y2=1设点p（m，0）（2m2），点a（x1，y1），点b（x2，y2）若k=1，则直线l的方程为y=xm联立直线l与椭圆c的方程，得x22mx+m21=0|ab|=，点o到直线l的距离d=，由此求出soab取得最大值1（）设直线l的方程为y=k（xm）将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x28mk2x+4（k2m21）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的解答：（本小题满分16分）解：（1）由题设知a=2，e=，所以c=，故b2=43=1因此，a=2，b=1（2分）（2）（i）由（1）可得，椭圆c的方程为+y2=1设点p（m，0）（2m2），点a（x1，y1），点b（x2，y2）若k=1，则直线l的方程为y=xm联立直线l与椭圆c的方程，即将y消去，化简得x22mx+m21=0解得x1=，x2=，从而有，x1+x2=，x1x2=，而y1=x1m，y2=x2m，因此，|ab|=，点o到直线l的距离d=，所以，soab=|ab|d=|m|，因此，s2oab=（ 5m2）m2（）2=1（6分）又2m2，即m20，4所以，当5m2=m2，即m2=，m=时，soab取得最大值1（8分）（）设直线l的方程为y=k（xm）将直线l与椭圆c的方程联立，即将y消去，化简得（1+4k2）x28mk2x+4（k2m21）=0，解得，x1+x2=，x1x2=（10分）所以pa2+pb2=（x1m）2+y12+（x2m）2+y22=（x12+x22）2m（x1+x2）+2m2+2= （*）（14分）因为pa2+pb2的值与点p的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有8k46k2+2=0，解得k=所以，k的值为（16分）点评：本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用19（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=1，证明对任意正整数n，不等式f（）1+都成立考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的几何意义及函数最值的意义得出f（1）=0，求得b值；（2）由函数f（x）在定义域上是单调函数，可得f（x）0或f（x）0在（1，+）上恒成立，转化为利用导数求函数的最值问题解决即可；（3）构造函数h（x）=f（x）x3，利用导数判断且单调性，得出f（x）x3取x=x=，则有f（）（kn+），即得结论成立解答：解：（1）由x+10得x1，f（x）的定义域为（1，+），对x（1，+），都有f（x）f（1），f（1）是函数f（x）的最小值，故有f（1）=0，f（x）=2x+，2+=0，解得b=4经检验，合题意；（2）f（x）=2x+=，又函数f（x）在定义域上是单调函数，f（x）0或f（x）0在（1，+）上恒成立若f（x）0，x+10，2x2+2x+b0在（1，+）上恒成立，即b2x22x=2+恒成立，由此得b；若f（x）0，x+10，2x2+2x+b0，即b（2x2+2x）恒成立，因（2x2+2x） 在（1，+）上没有最小值，不存在实数b使f（x）0恒成立综上所述，实数b的取值范围是，+）（3）当b=1时，函数f（x）=x2ln（x+1），令函数h（x）=f（x）x3=x2ln（x+1）x3，则h（x）=3x2+2x=，当x0，+）时，h（x）0所以函数h（x）在x0，+）上是单调递减又h（0）=0，当x（0，+）时