江苏省常州市武进区横山桥高级中学高中数学《第45课时 逆矩阵、特征向量与特征值》教学案 新人教A版必修3(1).doc

江苏省常州市武进区横山桥高级中学2013-2014学年高中数学第45课时 逆矩阵、特征向量与特征值教学案 新人教a版必修3基础训练1矩阵的逆矩阵是_2点p(2,3)经矩阵a对应的变换作用下得到点p，点p再经过矩阵a1对应的变换作用下得到点p，则点p的坐标是_3矩阵的特征值是_4若a，b，则(ab)1_.重点讲解1矩阵的逆矩阵(1)一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得i，则称变换可逆并且称是的逆变换(2)设a是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵b，使得baabe，则称矩阵a_，或称矩阵a是_，并且称b是a的_(3)(性质1)设a是一个二阶矩阵，如果a是可逆的，则a的逆矩阵是_a的逆矩阵记为_(4)(性质2)设a，b是二阶矩阵，如果a，b都可逆，则ab也可逆，且(ab)1_.(5)已知a，b，c为二阶矩阵，且abac，若矩阵a_，则bc.(6)对于二阶可逆矩阵a(adbc0)，它的逆矩阵为a1.2二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个_(或多项式)，记为det(a)adbc.若将方程组中行列式记为d，记为dx，记为dy，则当d0时，方程组的解为3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得a，那么称为a的一个_，称为a的一个属于特征值的一个_(2)特征多项式设是二阶矩阵a的一个特征值，它的一个特征向量为，则a_，即也即(*)定义：设a是一个二阶矩阵，r，我们把行列式f()_称为a的特征多项式(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果是二阶矩阵a的特征值，则一定是二阶矩阵a的特征多项式的一个根，即f()0，此时，将代入二元一次方程组 (*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为a的属于的一个_典题拓展例1已知矩阵a，b，求(ab)1.例2已知二阶矩阵m有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵m对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵m；(2)求矩阵m的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵m的作用下的直线l的方程变式： 矩阵m，向量x，求m4x.例3 在军事密码学中，密码发送的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵x表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记，且以密码先后顺序按列组成矩阵)，在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵a，得到bax，则b即为传送出去的密码，接收方收到密码后，只需左乘a的逆矩阵a1，即可得到发送出去的明码xa1b.不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让a1，b2，z26.现已知发送方传出的密码为7,13,39,67，双方约定的可逆矩阵为，试破解发送的密码变式：现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a1，b2，z26，双方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67,30,31,8，密码按列组成矩阵，此组密码所发信息为_巩固迁移1设可逆矩阵a的逆矩阵a1，则a，b，c的值分别为_，_，_.2矩阵a的逆矩阵a1_.3已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作_(填“顺”或“逆”)时针旋转_的旋转变换4矩阵m的特征值与特征向量分别为_5设a，则a6_ ；若a，则a_.6利用逆矩阵知识解方程组7设m是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换(1)求矩阵m的特征值及相应的特征向量 (2)求逆矩阵m1以及椭圆1在m1的作用下的新曲线的方程8