高中数学 第一单元 常用逻辑用语 1.3.2 命题的四种形式课件 新人教B版选修11.ppt

第一章 1 3充分条件 必要条件与命题的四种形式 1 3 2命题的四种形式 1 了解四种命题的概念 会写出所给命题的逆命题 否命题和逆否命题 2 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系 3 会利用命题的等价性解决问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一四种命题的概念 给出以下四个命题 1 当x 2时 x2 3x 2 0 2 若x2 3x 2 0 则x 2 3 若x 2 则x2 3x 2 0 4 若x2 3x 2 0 则x 2 你能说出命题 1 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗 答案 命题 1 的条件和结论与命题 2 的条件和结论恰好互换了 命题 1 的条件与结论恰好是命题 3 条件的否定和结论的否定 命题 1 的条件和结论恰好是命题 4 结论的否定和条件的否定 梳理对命题的条件和结论进行 换位 和 换质 否定 后 可以构成四种不同形式的命题 1 原命题 2 逆命题 换位 3 否命题 换质 4 逆否命题 换位 又 换质 如果p 则q 如果q 则p 如果綈p 则綈q 如果綈q 则綈p 知识点二命题的四种形式之间的关系 思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作 綈p 和 綈q 如果原命题是 如果p 则q 那么它的逆命题 否命题 逆否命题该如何表示 答案 逆命题 如果q 则p 否命题 如果綈p 则綈q 逆否命题 如果綈q 则綈p 思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系 原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系 原命题的逆命题与其否命题呢 答案 互逆 互否 互为逆否 梳理四种命题间的相互关系 如果p 则q 如果q 则p 如果綈p 则綈q 如果綈q 则綈p 知识点三四种命题的真假关系 思考1 知识点一的 思考 中四个命题的真假性是怎样的 答案 1 真命题 2 假命题 3 假命题 4 真命题 思考2 如果原命题是真命题 它的逆命题是真命题吗 它的否命题呢 它的逆否命题呢 答案 原命题为真 其逆命题不一定为真 其否命题不一定为真 其逆否命题一定是真命题 梳理 1 在原命题的逆命题 否命题 逆否命题中 一定与原命题真假性相同的是 2 两个命题互为逆命题或互为否命题时 它们的真假性 逆否命题 没有关系 题型探究 类型一四种命题及其相互关系 命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 1 若x a 则x a b 逆命题 若x a b 则x a 否命题 若x a 则x a b 逆否命题 若x a b 则x a 解答 逆命题 若a b是偶数 则a b都是偶数 否命题 a b不都是偶数 则a b不是偶数 逆否命题 若a b不是偶数 则a b不都是偶数 2 若a b都是偶数 则a b是偶数 解答 逆命题 在 abc中 若a b 则a b 否命题 在 abc中 若a b 则a b 逆否命题 在 abc中 若a b 则a b 3 在 abc中 若a b 则a b 解答 四种命题的转换方法 1 交换原命题的条件和结论 所得命题是原命题的逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 所得命题是原命题的否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得命题是原命题的逆否命题 反思与感悟 跟踪训练1命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数b 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内不是减函数c 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数d 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 答案 解析 直接根据逆否命题的定义 将其条件与结论进行否定 再互换 值得注意的是 是减函数 的否定不能写成 是增函数 而应写成不是减函数 命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题为q 命题q的逆命题为r 则r与p的逆命题的关系是a 互为逆命题b 互为否命题c 互为逆否命题d 同一命题 答案 解析 已知命题p 若x y 0 则x y互为相反数 命题p的否命题q为 若x y 0 则x y不互为相反数 命题q的逆命题r为 若x y不互为相反数 则x y 0 r是p的逆否命题 r是p的逆命题的否命题 故选b 反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法 1 利用四种命题的定义判断 2 巧用 逆 否 两字进行判断 如 逆命题 与 逆否命题 中不同有 否 一个字 是互否关系 而 逆命题 与 否命题 中不同有 逆 否 二字 其关系为逆否关系 跟踪训练2已知命题p的逆命题是 若实数a b满足a 1且b 2 则a b 4 则命题p的否命题是 答案 解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得 若实数a b满足a b 4 则a 1或b 2 类型二四种命题的真假判断 例3有以下命题 若xy 1 则x y互为倒数 的逆命题 面积相等的三角形全等 的否命题 若m 1 则x2 2x m 0有实数解 的逆否命题 若a b b 则a b 的逆否命题 其中真命题为a b c d 答案 解析 显然正确 对于 若a b b 则b a 所以原命题为假 故它的逆否命题也为假 反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性 与逆命题或否命题的真假性没有关系 逆命题与否命题也总是具有相同的真假性 跟踪训练3命题 若a b 则ac2 bc2 a b c r 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为a 0b 2c 3d 4 答案 解析 命题 若a b 则ac2 bc2 a b c r 是假命题 则其逆否命题是假命题 该命题的逆命题为 若ac2 bc2 则a b a b c r 是真命题 则其否命题是真命题 故选b 类型三等价命题的应用 例4判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 则a 1 的逆否命题的真假 解答 方法一原命题的逆否命题 已知a x为实数 若a 1 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为 判断如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 令x2 2a 1 x a2 2 0 则 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 1 所以4a 7 0 即关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为 故此命题为真命题 方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假 因为关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 所以 2a 1 2 4 a2 2 0 所以原命题为真 故其逆否命题为真 解答 先判断原命题的真假如下 因为a x为实数 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为r 且抛物线y x2 2a 1 x a2 2的开口向上 所以 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 0 所以原命题是真命题 因为互为逆否命题的两个命题同真同假 所以原命题的逆否命题为真命题 反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 即互为逆否命题的两个命题具有等价性 所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题 跟踪训练4证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 的逆否命题为 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知 结论正确 当堂训练 1 命题 若a a 则b b 的否命题是a 若a a 则b bb 若a a 则b bc 若b b 则a ad 若b b 则a a 答案 1 2 3 4 5 解析 命题 若p 则q 的否命题是 若非p 则非q 与 互为否定形式 1 2 3 4 5 原命题结论 1 x 1 的否定是 x 1或x 1 原命题条件 x2 1 的否定是 x2 1 故逆否命题是如果x 1或x 1 则x2 1 2 命题 如果x21或x1d 如果x 1或x 1 则x2 1 答案 解析 1 2 3 4 5 3 如果一个命题的否命题是真命题 那么这个命题的逆命题是a 真命题b 假命题c 不一定是真命题d 不一定是假命题 答案 解析 由否命题与逆命题互为逆否命题 可知这个命题的逆命题是真命题 4 下列命题 全等三角形的面积相等 的逆命题 正三角形的三个内角均为60 的否命题 若k 0 则方程x2 2k 1 x k 0必有两相异实数根 的逆否命题 其中真命题的个数是a 0b 1c 2d 3 1 2 3 4 5 的逆命题 面积相等的三角形是全等三角形 是假命题 的否命题 不是正三角形的三个内角不全为60 为真命题 当k0 方程有两相异实根 原命题与其逆否命题均为真命题 答案 解析 1 2 3 4 5 5 已知命题 若m 1 x m 1 则1 x 2 的逆命题为真命题 则m的取值范围是 答案 命题 若m 1 x m