高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理教材梳理素材 新人教A版选修4-1.doc

一 圆周角定理庖丁巧解牛知识巧学 一、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系. 疑点突破 在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的:当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系;然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系.在角的一边不经过圆心时，又有两种情况:一是圆心在圆周角内;二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理. 方法归纳 通过对这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下的问题往往容易解决，如图2-1-2中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时aob=2c很容易证明.特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图2-1-2左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证. 联想发散 定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.图2-1-2二、圆周角定理的两个推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-3，abe=ace=ade，a=b=c. 图2-1-3 图2-1-4推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-4，acb=adb=aeb=90，ab是直径. 深化升华 圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见的一些问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会.问题探究问题1 在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？思路:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推论提供了条件.探究:在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图2-1-5中，已知，那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角c=d=e.也可以由角找弧，再由弧找角，如图2-1-6中，ad平分bac，得1=2，1对，2对，3也对，故1=2=3，如果要证dcbdab，无疑两个相等的角为此提供了条件. 图2-1-5 图2-1-6问题2 在圆中，直径所对的圆周角等于90，解决问题时应怎样利用这一条件？思路:只要在已知中给出了直径这一条件，不仅要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了.探究:如图2-1-7，以cd为直径的o交acd的两边于b、e，连结be.求证：adcosa=ab.此题必须先证ad、ab所在的abd为直角三角形，此时连结bd，可由直径所对的圆周角为90，创造所需的条件.又如图2-1-8，在o中，直径abcd，弦aecf.要证abecdf，在已知a=c,ab=cd以后,还缺少一个条件，由ab、cd为直径，想到连结be、cf，便可知e=f=90，这就为证三角形全等提供了条件. 图2-1-7 图2-1-8典题热题例1如图2-1-9，已知o中aob=2boc，求证：acb=2bac.思路分析：圆周角acb与圆心角aob对着同一条弧，图2-1-9acb=aob.同理，bac=boc，再利用已知条件可得结论.证明：acb=aob,aob=2boc,acb=boc.又bac=boc,acb=2bac. 深化升华 只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用.例2如图2-1-10，在rtabc中，bca=90，以bc为直径的o交ab于e点，d为ac的中点，连结bd交o于f点.图2-1-10求证：.思路分析：要证，虽然四条线段分别在bef与bcf中，但这两个三角形一个是钝角三角形，另一个是直角三角形，不可能相似，故只能够借助中间比.证明：连结ce，bc为o的直径，bfc=90，bec=90.又acb=90，bce=a.又bfe=bce,bfe=a.befbad.bfc=bca，cbd=cbd,cbfdbc.又ad=cd，.例3已知o中，ab=ac，d是bc延长线上一点，ad交o于e.求证：ab2=adae.图2-1-11思路分析：由欲证的乘积式写出比例式，找到应该证明的相似的三角形，利用同弧所对的圆周角相等的性质进行证明.证明：ab=ac,=ac.abd=aeb.在abe与adb中,abeadb.,即ab2=adae. 深化升华 在圆当中证明比例式或等积式时，通常利用两角相等加以说明，这当中使用最多的就是利用圆周角转移角的位置，产生相似关系.例4已知ad是abc的高，ae是abc的外接圆o的直径.求证：bae=dac.图2-1-12思路分析：连结be，由ae为直径可以得到abe=90.则在abe与adc中，又有同弧所对的圆周角c与e相等，可以证明结论.证明：连结be,ae为直径，abe=90.ad是abc的高，adc=90.adc=abe.e=c，bae=180-abe-e，dac=180-adc-c.bae=dac.例5已知abc的外接圆中，d、e分别为与的中点，弦de交ab、ac于f、g.求证：af=ag.图2-1-13思路分析：可以通过等角对等边来证明此题，即证明afe=agf，将afe、agf分别看作fbe与dgc的外角，利用已知中d、e