高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算课件 苏教版选修21.ppt

第3章3 2空间向量的应用 3 2 3空间的角的计算 1 理解直线与平面所成角的概念 2 能够利用向量方法解决线线 线面 面面的夹角问题 3 掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一两条异面直线所成的角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点o 作直线a a b b 则a 与b 所成的锐角 或直角 叫做a与b所成的角 2 范围 两条异面直线所成角 的取值范围是 3 向量求法 设直线a b的方向向量分别为a b 其夹角为 则a b所成角的余弦值为cos cos 1 定义 直线和平面所成的角 是指直线与它在这个平面内的射影所成的角 2 范围 直线和平面所成角 的取值范围是0 3 向量求法 设直线l的方向向量为a 平面的法向量为u 直线与平面所成的角为 a与u的夹角为 则有 知识点二直线与平面所成的角 知识点三二面角 1 二面角的取值范围 0 2 二面角的向量求法 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 垂足分别为a c 如图 则二面角的大小就是向量与的夹角 设n1 n2是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与向量n2的夹角 或其补角 就是二面角的平面角的大小 返回 例1如图 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 点d是bc的中点 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值 题型探究重点突破 题型一两条异面直线所成角的向量求法 解析答案 反思与感悟 解以a为坐标原点 分别以ab ac aa1为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 反思与感悟 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 2 0 d 1 1 0 a1 0 0 4 c1 0 2 4 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系 利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便 要注意角的范围 反思与感悟 跟踪训练1如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 点e是棱ab上的动点 若异面直线ad1与ec所成角为60 试确定此时动点e的位置 解析答案 解以da所在直线为x轴 以dc所在直线为y轴 以dd1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 设e 1 t 0 0 t 2 所以t 1 所以点e的位置是ab的中点 题型二直线与平面所成角的向量求法 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 解建立如图所示的空间直角坐标系 设平面amc1的法向量为n x y z 反思与感悟 设bc1与平面amc1所成的角为 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量 一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系 反思与感悟 跟踪训练2如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 解析答案 1 证明mn 平面pab 又ad bc 故tn綊am 四边形amnt为平行四边形 于是mn at 因为at 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 解析答案 2 求直线an与平面pmn所成角的正弦值 2 解取bc的中点e 连接ae 由ab ac得ae bc 设n x y z 为平面pmn的法向量 则 例3如图 在三棱台abc def中 平面bcfe 平面abc acb 90 be ef fc 1 bc 2 ac 3 1 求证 bf 平面acfd 题型三二面角的向量求法 解析答案 1 证明延长ad be cf相交于一点k 如图所示 因为平面bcfe 平面abc 且ac bc 所以 ac 平面bck 因此bf ac 又因为ef bc be ef fc 1 bc 2 所以 bck为等边三角形 且f为ck的中点 则bf ck 且ck ac c 所以bf 平面acfd 反思与感悟 解析答案 2 求二面角b ad f的平面角的余弦值 反思与感悟 2 解如图 延长ad be cf相交于一点k 则 bck为等边三角形 取bc的中点o 则ko bc 又平面bcfe 平面abc 所以ko 平面abc 以点o为原点 分别以射线ob ok的方向为x z的正方向 建立空间直角坐标系o xyz 反思与感悟 设平面ack的法向量为m x1 y1 z1 平面abk的法向量为n x2 y2 z2 反思与感悟 设n1 n2分别是平面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 就是两个平面所成角的大小 如图 反思与感悟 用坐标法的解题步骤如下 1 建系 依据几何条件建立适当的空间直角坐标系 2 求法向量 在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1 n2 3 计算 求n1与n2所成锐角 cos 4 定值 若二面角为锐角 则为 若二面角为钝角 则为 跟踪训练3在如图所示的圆台中 ac是下底面圆o的直径 ef是上底面圆o 的直径 fb是圆台的一条母线 解析答案 返回 1 已知g h分别为ec fb的中点 求证 gh 平面abc 解析答案 1 证明设fc中点为i 连接gi hi 在 cef中 因为点g是ce的中点 所以gi ef 又ef ob 所以gi ob 在 cfb中 因为h是fb的中点 所以hi bc 又hi gi i 所以平面ghi 平面abc 因为gh 平面ghi 所以gh 平面abc 解析答案 2 连接oo 则oo 平面abc 又ab bc 且ac是圆o的直径 所以bo ac 以o为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 返回 设m x y z 是平面bcf的一个法向量 返回 因为平面abc的一个法向量n 0 0 1 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 则直线l与平面 所成的角为 解析答案 30 1 2 3 4 5 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 二面角的大小为45 或135 45 或135 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 解析建立如图所示的空间直角坐标系 即ab1与c1b所成角的大小为90 答案90 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1所成角的余弦值为 解析设正方体的棱长为1 建系如图 则d 0 0 0 b 1 1 0 b1 1 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知da dc 4 dd1 3 则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为 解析答案 解析如图 建立空间直角坐标系