江西乐安一中高二数学 28两个平面垂直的判定和性质培优教案.doc

两个平面垂直的判定和性质基础知识 两个平面相交二面角二面角的平面角直二面角两个平面垂直判定与性质 学习指导 1.如何学好面面垂直的建议? 学习面面垂直时,要与学习过的线线垂直、线面垂直进行对比地学习,要注意归纳,总结它们之间的类比关系。注意掌握它们之间进行转化的思维方法,即 面面垂直 线面垂直判定线线垂直性质性质判定 2.采用定义法判定两个平面垂直的一般步骤是什么? 可分为三步:(1)作出两个相交平面所成二面角的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义得出两个平面垂直。3.解题中,如何作二个相交平面所成二面角的平面角?作二个相交平面所成二面角的平面角,要视已知条件中某个关键点的位 置而定.(1)棱上,则采用定义法,即以二面角的棱上该点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角即是二面角的平面角.(2)采用三垂线法,即过该点分别向另一个平面及棱作垂线,后者与其在另一个平面内的射影所成的角即是二面角的平面角.(3)面外,则采用垂面法,即过该点作二面角的棱的垂直的平面,其与二个相交平面交线所成的角即是二面角的平面角. 注意:在(2),(3)中也可能所得的角是二面角的平面角的邻补角。如图6-1;例题精析例1.共面的三条射线oa、ob、oc，使，求二面角b-oa-c的大小.分析此题考虑用定义法指出二面角的平面角,然后在三角形中求平面角的大小. 解如图6-2,在oa上任取一点p,在平面aob内作pqoa,交ob于q,在平面aoc内作proa交oc于r,连结qr.qpr即是二面角b-oa-c的平面角. p=a,在rtoq中poq=45 pq=a,oq=a。同理pr=a,or=a。在qor中，qor=60,oq=or=, qr=a， 在pqr中，pq=pr=a, qr=qr=,在pqr中，pq=pr=a, qr=,pq2+pr2=qr2,qpr=90 即二面角b-oa-c的度数为90,是直二面角 解题后的点拨作二面角的平面角可有三种方法,即定义法三垂线法垂面法,具体用哪种方法,要由已知条件确定。例2. 如图6-3,过s引三条长度相等但不共面的线段sa、sb、sc，且asb=asc=60，bac=90，求证：平面abc平面bsc.分析由条件可以得到如下结论:abc和 bsc都是等腰三角形;s在平面abc内的射影是abc的外心,从而可以得到两种证法。证法1：在平面abc中,作adbc于d,且均是正三角形,ab=ac,sb=sc,bd=cd,bac是等腰直角三角形,sdbc,ad=bd.ad2+sd2=bd2+sd2=sb2=as2,adsd,即ads=90,平面abc平面bsc。证法2:作sd平面abc,垂足为d.sa=sb=sc,d是abc的外心,asb=asc=60,bac=90,abc是等腰直角三角形,d是bc的中点,即sd 平面bsc,平面abc平面bsc.解题后的点拨要证明两个平面垂直,只要证明两个平面所成的二面角是直二面角或证明一个平面经过另一个平面的垂线。 例3. 如图6-4,abcdef是边长为a的正六边形,将此六边形沿对角线ad折成二面角m-ad-n, 当此二面角的余弦值为何值时，fc与ad所成的角为45？分析此题要从确定二面角的平面角入手，易证ecad,所以翻折后即可得到二面角m-ad-n的平面角。解图6-5是折叠后的立体图形,在正六边形abcdef中,连结ec,交 ad于g,egad,cgad,egc即是二面角m-ad-n的平面角。ef/ad,efeg,efcg,ef平面ecg,efec,又efc为fc与ad所成的角, efc=45,efc是等腰直角三角形,ec=ef=a.又在rtegd中,eg2=ed2gd2=,eg=cg=,在egc中，当二面角m-ad-n的余弦值为时，fc与ad所成的角为45.巩固提高(一)选择题：1.面角是（ ） (a)两个平面相交所成的角; (b)一个平面绕这平面的一条直线旋转成图形; (c)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形; (d)从一个平面内一条直线出发的一个半平面与这平面所组成的图形. 2.点d是二面角 - ab-的棱ab上的一点，dp在内且与ab成 45角，dp与平面成30角，则二面角 - ab-的度数是（ ） (a)30 (b)45 (c)60 (d)90 3.列命题中正确的是（ ）(a)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线， 必垂直于另一平面;(b)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线，一定 分别与另一平面垂直;(c)两个平面垂直，在其中一个平面内过一点作与它们交线垂直的直 线，必垂直于另一个平面;(d)两个平面垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直. 4.图6-6，已知二面角m- l- n的平面角为，（0,）,abbc，bccd，ab在平面n内，bc在l上，cd在平面m内，若ab=bc=cd=，则ad的长为（ ）。（a）（b）（c）（d） 5.图6-7，在正方形sg1g2g3中，e，f分别是g1g2及g2g3的中点，d是ef的中点，现在沿se，sf从ef把这个正方形折起，使点g1，g2，g3重合，重合后的点记为g，那下列结论成立的是（ ） （a）sd平面efg (b) sg平面efgeg2g1fdsg3图 6-7mabndlc图 6-6 （c）gf平面sef (d) gd平面sef 6.二面角的平面角为,a,b若ab=ac=bd=l,则cd等于( ) (a) (b) (c)3 (d) (二)填空题:7.方体abcd abcd，则二面角b ac d平面角的余弦值等于 .8.60的二面角 l 的面 内一点a到面的距离为，a在上的射影为a,则a到面的距离为 ，异面直线aa，l间的距离为 .9. ，是有公共棱a的三个半平面，若二面角 a 为直二面角，在与之间，二面角 a 为30，则上不在棱a 上的点到a的距离与到的距离之比 .10.正三角形abc中，adbc于d，沿ad折成二面角b ad c后，bc=ab，这时二面角b ad c的大小为 .11.有一倾斜度为的山坡,如果在斜坡所在平面上有一条与斜坡底线成的直路上,前进100那么升高了 . (二)解答题:12.方体abcd abcd中，为面abcd的中心。求平面oad与对角面acca所成二面角的正切值.13.图6-8，p是abc所在平面外一点，papb，pbpc，pcpa，d是ab边上任一点. (1)求证：平面pdc平面pab. (2)当pa=a，pb=b，pc=c,d在怎样的位置时，pdc的面积为最小？最小面积是多少？14.直角梯形abcd中，adbc，a=90，ad=ab=1，bc=2，将abd沿bd折叠，与平面bcd成120二面角. (1)求a和c的距离。 (2)求ac与bd成角的正切值.pabcd图6-8 15.已知abcd为矩形,以cd为直径的半圆平面abcd,e为半圆面上一点(异于c,d),求证:oe是异面直线ad,be的公垂线.16.在二面角中 ,直角三角形abc在面m内,斜边ab在棱l上,两直角边ac,bc与面n所成角分别为,二面角的大小为求证: 自我反馈abdpmp 图6-9 (一)选择题:1. c. 符合二面角的定义2. b. 如图6-9，过p作于点，在内作pmab于点m，连结pm，则由三垂线逆定理可知pmab，所以pmp 即为 ab 的平面角。mdp=45，pdp=30pp=pd，pm=pdsinpmp=,pmp=453.c.a错,如图6-10（甲）；b错，如图6-10（乙）；c对，根据面面垂直的性质定理；d错，这样的两条直线可能平行、异面或相交。4.a.教材p44例3得.5.b.因为折起后sggf，sgge，而gf与ge相交于g，所以sg平面efg.abl 图6-10(甲)abdl 图 6-10（乙）6.c.cd的长度是异面直线ac和bd上两点间的距离,ab是它们的公垂线段,由公式得,（二）填空题:abcdabcde图 6-11 7.如图6-11 ，过b作beac于e，连结de，则deacdeb为所求二面角的平面角。de=be=在bde中，bd=cosbed=。8.，1.如图 6-12，作abl于b连结ab，则abl，为二面角 l 的平面角，=60,a=，=1，ab=2，作acab，则ac即为a到的距离。 c=, b即为异面直线a与l的距离，b=1.9. 1设p点是上不在棱a上的点，作pa，pb，pca，垂足依次为a，b，c，易知pacb是平面图形，且acp，pcb，acb都是二面角的平面角.d1=pcsin30，d2=pcsin60,10. bdad，dcad，bdc是二面角b ad c的平面角，易证bd=dc=bc=ab，bdc=60.11.如图,在中, （三）解答题:12.图 6-13，连ac，bd相交于o，则bdac，bdaa，bd平面acca. 作oeao于e，连结de，则oe为de 在平面acc上的射影，由三垂线定理得deaooed为所求二面角的平面角.设正方体棱长为a，则od=,oe=,在rtoed中，tanoed=,平面oad与对角面acc所成二面角的正切值为. 13.1）pcpa，pcpb，pa与pb是相交直线, pc平面pab，又pc平面pdc, 平面pdc平面abc. （2）由（1）得pc平面pab，pd平面pab, pcpd, =, 当pdab时，pd最小，pd=, （）最小值=.14. 如图 6-14，（1） 作aebd于e，在平面bcd内作egbd，作cgbd，eg，cg交于g, 则aeg为二面角 a bd c的平面角。aeg=120，而ae=,在aeg中， ,又bdae，bdeg,bd平面aeg，又cgbd,cg平面aeg, cgag. 在rtagc中，,（2） cgbd acg为ac与bd所成的角 在rtagc中，tanacg=15.平面abcd，平面dec平面abcd，平面dec. 又,cd为直径, ,de面bce, ,de是异面直线ad,be的公垂线.16.如图,作平面n于,作于d,连结cd,则是二面角的平面角,又 在直角三角形中,在abc中,走向高考1.(1993年全国高考题）如图6-15 abcd是正方形，e是ab的中点，如将dae和cbe分别沿虚线de和ce折起，使ae与be重合，记a与b重合后的点为p，则面pcd与面ecd所成的二面角为 度.2.(1996年全国高考题)如图6-16，正方形abcd所在平面与正方形abef所在平面成60的二面角，则异面直线ad与bf所成角的余弦值是 .3.(1997年全国高考题)如图6-17，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是bb1、cd的中点.（）证明add1f；（）求ae与d1f成的角； （）证明面aed面a1fd1解答：1 翻折后如图6-18取dc的中点f，连pf，ef，由pd=pc，ed=ec，可知efcd，pfcd，故pfe为所求二面角的平面角。pepd，pepc，pe平面pcd，pepf.设正方形边长为a，在rtpef中，sinpfe=，pef=302 连结cf，ce，由已知cbf就是异面直线ad和bf所成的角，cbe就是面abcd与面abef所成二面角的平面角。cbe=60.设正方形边长为a，在等边cbe中，ce=a,abbc，abeb,ab平面bce，abec,abef,efec，在rtaef中，af=,在cbe中，coscbf=,ad与bf所成角的余弦值为.3（）ac1是正方体,ad面dc1,又d1f面dc1,add1f.（）取ab中点g，连结a1g，fg。因为f是cd的中点，所以gf、ad平行且相等，又a1d1、ad平行且相等，所以gf、ad平行且相等，故gfd1a1是平行四边形，a1gd1f。设a1g与ae相交于点h，则aha1是ae与d1f所成的角。因为e是bb1的中点，所以rta1agrtabe，ga1a=gah，从而aha1=90，即直线ae与d1