高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教B版选修22.ppt

2 2 2反证法 第二章 2 2直接证明与间接证明 学习目标1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点反证法 王戎小时候 爱和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树上结满了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘了李子一尝 原来是苦的 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎说 假如李子不苦的话 早被路人摘光了 而这树上却结满了李子 所以李子一定是苦的 思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想 答案 答案运用了反证法思想 思考2 反证法解题的实质是什么 答案 答案否定结论 导出矛盾 从而证明原结论正确 1 反证法的概念一般地 由证明p q转向证明 綈q r t t与矛盾 或与矛盾 从而判定为假 推出为真的方法 叫做反证法 2 反证法常见的几种矛盾 与假设矛盾 与 定理 公式 定义或矛盾 与矛盾 例如 导出0 1 0 0之类的矛盾 梳理 假设 某个 綈q 真命题 q 数学公理 已被证明了的结论 公认的简单事实 3 反证法证明数学命题的一般步骤 分清命题的 做出与命题相矛盾的假设 由出发 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做的不真 于是成立 从而间接地证明命题为真 条件和结论 结论 假定 假设 原结论 题型探究 类型一用反泟法证明否定性命题 证明 a b c成等比数列 b2 ac a c 从而a b c 这与已知a b c不成等差数列相矛盾 假设不成立 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明 从正面突破较困难时 可用反证法 通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题 然后用转化后的命题作为条件进行推理 推出矛盾 从而达到证题的目的 反思与感悟 跟踪训练1已知正整数 a b c满足a2 b2 c2 求证a b c不可能都是奇数 证明 证明假设a b c都是奇数 则a2 b2 c2都是奇数 左边 奇数 奇数 偶数 右边 奇数 得偶数 奇数 矛盾 假设不成立 a b c不可能都是奇数 类型二用反证法证明 至多 至少 类问题 例2a b c 0 2 求证 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 证明 证明假设 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因为a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 即3 3 矛盾 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 1 用反证法证明 至少 至多 类命题 可减少讨论情况 目标明确 否定结论时需弄清楚结论的否定是什么 避免出现错误 需仔细体会 至少有一个 至多有一个 等表达的意思 2 常用的 原结论词 与 反设词 归纳如下表 反思与感悟 证明 跟踪训练2已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 且 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和 得4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 证明 类型三用反证法证明唯一性命题 例3求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 3 3 两式相除得 1 b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2矛盾 假设不成立 从而原命题得证 反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 可先证 存在性 由于假设 唯一性 结论不成立易导出矛盾 因此可用反证法证其唯一性 证明 跟踪训练3求证 两条相交直线有且只有一个交点 证明设两直线为a b 假设结论不成立 即有两种可能 无交点 至少有两个交点 1 若直线a b无交点 那么a b或a b是异面直线 与已知矛盾 2 若直线a b至少有两个交点 设为a和b 这样同时经过点a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 所以假设不成立 两条相交直线有且只有一个交点 当堂训练 1 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步应假设a 三角形中至少有一个直角或钝角b 三角形中至少有两个直角或钝角c 三角形中没有直角或钝角d 三角形中三个角都是直角或钝角 答案 2 3 4 5 1 2 用反证法证明 在三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中a 有一个内角小于60 b 每一个内角都小于60 c 有一个内角大于60 d 每一个内角都大于60 答案 2 3 4 5 1 3 abc a bd a b或a b 答案 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设a a不垂直于cb a b都不垂直于cc a bd a与b相交 答案 证明 2 3 4 5 1 5 已知f x x2 px q 1 求证 f 1 f 3 2f 2 2 证明f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 证明 2 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 证明假设 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于不成立 则 f 1 2 f 2 f 3 2 因为 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 8 4p 2q 2 这与 f 1 2 f 2 f 3 2相矛盾 所以假设不成立 原命题成立 2 3 4 5 1 规律与方法 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面