高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）课件 新人教A版必修2.ppt

1 2 1任意角的三角函数 二 第一章 1 2任意角的三角函数 学习目标1 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域 2 了解三角函数线的意义 能用三角函数线表示一个角的正弦 余弦和正切 3 能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一三角函数的定义域 梳理正弦函数y sinx的定义域是 余弦函数y cosx的定义域是 正切函数y tanx的定义域是 r r 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中 任意角 的终边与单位圆交于点p 过点p作pm x轴 过点a 1 0 作单位圆的切线 交 的终边或其反向延长线于点t 如图所示 结合三角函数的定义 你能得到sin cos tan 与mp om at的关系吗 答案sin mp cos om tan at 思考2三角函数线的方向是如何规定的 答案方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值 反之 为负值 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么 答案长度等于三角函数值的绝对值 方向表示三角函数值的正负 梳理 mp om at 思考辨析判断正误 1 正弦线mp也可写成pm 提示三角函数线是有向线段 端点字母不可颠倒 2 三角函数线都只能取非负值 提示三角函数线表示的值也可取负值 3 当角 的终边在y轴上时 余弦线变成一个点 正切线不存在 4 当角 的终边在x轴上时 正弦线 正切线都变成点 答案 提示 题型探究 类型一三角函数线 解答 解如图所示 反思与感悟 1 作正弦线 余弦线时 首先找到角的终边与单位圆的交点 然后过此交点作x轴的垂线 得到垂足 从而得到正弦线和余弦线 2 作正切线时 应从点a 1 0 引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点t 即可得到正切线at 跟踪训练1在单位圆中画出满足sin 的角 的终边 并求角 的取值集合 解答 交单位圆于p1 p2两点 则op1 op2是角 的终边 类型二利用三角函数线比较大小 解答 反思与感悟利用三角函数线比较三角函数值的大小时 一般分三步 1 角的位置要 对号入座 2 比较三角函数线的长度 3 确定有向线段的正负 跟踪训练2比较sin1155 与sin 1654 的大小 解sin1155 sin 3 360 75 sin75 sin 1654 sin 5 360 146 sin146 如图 在单位圆中 分别作出sin75 和sin146 的正弦线m1p1 m2p2 m1p1 m2p2 且符号皆正 sin1155 sin 1654 解答 类型三利用三角函数线解不等式 组 解答 命题角度1利用三角函数线解不等式 组 例3在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 故满足要求的角 的集合为 解答 故满足条件的角 的集合为 反思与感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式 应注意以下两点 1 先找到 正值 区间 即0 2 内满足条件的角 的范围 然后再加上周期 2 注意区间是开区间还是闭区间 解答 解图中阴影部分就是满足条件的角 的范围 解答 命题角度2利用三角函数线求三角函数的定义域 则不等式组的解的集合如图 阴影部分 所示 反思与感悟 1 求函数的定义域 就是求使解析式有意义的自变量的取值范围 一般通过解不等式或不等式组求得 对于三角函数的定义域问题 还要考虑三角函数自身定义域的限制 2 要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时 可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集 解答 解要使函数f x 有意义 必须使2sinx 1 0 交单位圆于点p1 p2 连接op1 op2 分别过点p1 p2作x轴的垂线 画出如图所示的两条正弦线 所以函数f x 的定义域为 所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内 包括边界 达标检测 答案 1 如图在单位圆中 角 的正弦线 正切线完全正确的是a 正弦线为pm 正切线为a t b 正弦线为mp 正切线为a t c 正弦线为mp 正切线为atd 正弦线为pm 正切线为at 1 2 3 4 5 a cos sin tan b tan sin cos c sin cos tan d cos tan sin 答案 解析 1 2 3 4 5 故cos sin tan 方法二如图所示 在单位圆中分别作出 的正弦线mp 余弦线om 正切线at 1 2 3 4 5 即cos sin tan 则om mp at 3 已知角 的正弦线是单位长度的有向线段 那么角 的终边a 在x轴上b 在y轴上c 在直线y x上d 在直线y x或y x上 答案 解析 1 2 3 4 5 解析由题意 sin 1 sin 1 则角 的终边在y轴上 故选b 4 已知角 的正弦线和余弦线是方向相反 长度相等的有向线段 则角 的终边在a 第一象限的角平分线上b 第四象限的角平分线上c 第二 四象限的角平分线上d 第一 三象限的角平分线上 答案 解析 1 2 3 4 5 解析由角 的正弦线和余弦线是方向相反 长度相等的有向线段 则 的终边在第二 四象限的角平分线上 1 2 3 4 5 解答 所以不等式的解集为 规律与方法 1 三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值 方向表示三角函数值的正负 具体地说 正弦线 正切线的方向同y轴一致 向上为正 向下为负 余弦线的方向同x轴一致 向右为正 向左为负 三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来 使得问题更形象直观 为从几何途径解决问题提供了方便 2 三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线 余弦线 正切线 同时也给出了角 的三角函数线的画法 即先找到p m t点 再画出mp om at 注意三角函数线是有