江西省信丰县第二中学高中数学 1.8 最小二乘法学案 北师大版必修3.doc

学案 必修三 第一章第八节 最小二乘法 一、学习目标1掌握最小二乘法的思想 2能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程二、重点、难点重点：最小二乘法的思想难点：线性回归方程系数公式的应用三、课前预习1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？4、怎样使达到最小值？5求回归直线方程的思想方法观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？四、堂中互动【教师点拨】求线性回归方程,通常是用计算器来完成的.在有的计算器中，可通过直接按键的得出线性回归方程的系数.如果用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，线性回归方程中的系数也就很容易求出来了.（另：线性回归方程中，）例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表气温（xi）oc261813104-1杯数（yi）杯202434385064（） 试用最小二乘法求出线性回归方程。（） 如果某天的气温是3 oc，请预测可能会卖出热茶多少杯。点评：了解最小二乘法的概念，熟记求线性回归方程公式.五、即学即练1正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg左右。2已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点（ ） x0123y1357 3某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称abcde销售额（x）/千万元35679利润额（y）/百万元23345（） 画出销售额和利润额的散点图；（） 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。练案a组1、下列说法中正确的是（ ）a任何两个变量都具有相关关系 b人的知识与其年龄具有相关关系c散点图中的各点是分散的没有规律 d根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的2.对于回归方程=2.75x+9，当x=4时，y的估计值是 .3.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 b组1.变量y与x之间的回归方程（ ）a表示y与x之间的函数关系 b表示y和x之间的不确定关系c反映y和x之间真实关系的形式 d反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合2.线性回归方程=bxa必过（ ）a、(0，0)点 b、(，0)点 c、(0，)点 d、(，)点3.设一个回归方程为=31.2x，则变量x增加一个单位时( )a、y平均增加1.2个单位 b、y平均增加3个单位 c、y平均减少1.2个单位 d、y平均减少3个单位4在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间t(s)5101520304050607090120深度y(m)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。学案 必修三 第一章第八节 最小二乘法答案三、课前预习1、想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想法。2、设直线方程为y=a+bx，样本点a（xi，yi）方法一、点到直线的距离公式 方法二、显然方法二能有效地表示点a与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。3、例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度： 从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法4、先来讨论3个样本点的情况设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：整理成为关于a的一元二次函数，如下所示： 利用配方法可得从而当时，使得函数达到最小值。将代入式，整理成为关于b的一元二次函数， 同样使用配方法可以得到，当时，使得函数达到最小值。从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：其中由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。5引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数。则，于是得到各个偏差。显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。记。上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使q为最小值时的a，b的值，即 其中以上方法称为最小二乘法。四、堂中互动（） 例1 解：（1）先画出其散点图ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006164164合计7023012861910可以求得 则线性回归方程为y =57.5571.648x（2）当某天的气温是3 oc时，卖出热茶的杯数估计为：五、即学即练1 69.66 2d3解：（1）（2）数据如下表：ixiyixi2xiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得b=0.5，a=0.4线性回归方程为：练案a组1、b 2. 203.解：(1)散点图（略）(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格i1234567xi