江西乐安一中高二数学 24空间直线培优教案.doc

空间直线 基础知识平行直线相交直线 共面 空间直线的位置关系 异面直线 学习指导 1.分别在两个平面内的两条直线就是异面直线，对吗？ 不对.异面直线的定义为不同在任何一个平面内的两条直线，即不可能找到一个平面能同时包含的两条直线.如图，可举如下反例：分别在两个相交平面内的两条直线的位置关系有相交、平行和异面直线三种情形：分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系有平行和异面直线两种情形：图2-2aabb 2.如何画出两条异面直线呢？ 可用一个或两个辅助平面作衬托，以显示不在同一个平面内的特征.如图2-3 aba图2-3 3如何判定两条直线是异面直线？ 如果从立体图形上识别两条直线是否为异面直线，可根据教科书p15例3的结论判定.即：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图（2-3）.如果要证明两条直线为异面直线，常用反证法来证. 4如何求异面直线所成的角，异面直线所成的角的范围是多少？ 根据异面直线所成的角的定义，将两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角，即是异面直线所成的角.通过平移把两条不在同一个平面内的直线移到同一平面的位置上，这种把立体图形问题转化为平面图形问题的方法在立体几何的学习中十分重要.异面直线所成的角的范围是(. 5.过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条，对吗？ 答：在平面几何中，这个结论是正确的，但是在空间经过一点可以作已知直线的无数条垂线，如图（2-4）过o点ab，abc=0,ac 6.如何求异面直线的距离？ （1）确定两条异面直线的公垂线；注意两条异面直线的公垂线是这样一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交的两个属性.（2）计算公垂线在两条异面直线间线段的长度. 与两条异面直线都垂直的直线有无数条，而异面直线的公垂线有且只有一条.异面直线的距离是这两条异面直线上两点的距离的最小值. 求异面直线的距离的常用方法：（1） 定义法：先作出和证出两条异面直线的公垂线，再求出公垂线段的长度；（2） 转化为平行线面距离来求；（3） 转化为平行平面距离来求；（4） 公式法：利用异面直线上两点间距离公式；（5） 最值法：根据异面直线的距离是这两条异面直线上两点的距离的最小值，利用求函数最小值的方法来求； 由于同学们现在所学知识有限,（2）（5）四种方法随着所学知识的范围扩大，逐步向同学们介绍.例题解析例1已知：四边形abcd是空间四边形，e、f、g、h分别为ab、bc、cd、ad的中点，求证四边形efgh为平行四边形.分析：空间四边形是同学们在立体几何中接触最早的立体图形，以此为框架，可以有许多有用的结论.本题是对课本p11例1的改编题.主要运用平面几何中三角形中位线定理和公理4来证明.证明：连结ac,e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点,在abd中，bdbd，且eh=bd; 在cbd中，fgbd，且fg=bd.ehfg，且eh=fg.四边形efgh为平行四边形.解题后的点拨本题可以扩展为下面几个变式： 已知e、f、g、h分别为空间四边形abcd的边ab、bc、cd、ad中点： （1）若对角线bdac，证明四边形efgh为矩形； （2）若bd=ac，证明四边形efgh为菱形； （3）若bd=ac，bdac，证明四边形efgh为正方形. 在证明以上几个结论中，要用到本节所学的公理4和异面直线所成的角的定义，以及平面几何的一些知识. 空间四边形是四个顶点不共面的四边形，也可以看作同一平面内有一条公共边bd的两个三角形abd和cbd沿着bd翻折而成的.如图（2-6）.因此，有关空间四边形的问题常常可以借助于平面几何中有关三角形的知识获得解决.如何将空间问题转化为平面问题解决是同学们学好立体几何的关键. 例2已知：如图，c求证：b,c为异面直线.分析：证明两条直线是异面直线，往往采用反证法.反证法的步骤为：假设归谬原命题结论成立.证明：假设b,c共面于平面,b=a,c过a、c确定平面.,、为同一平面.为,b确定平面,重合与=矛盾.假设错误，原结论成立，即b,c异面.解题后的点拨 证异面问题，常用反证法设共面，推出与公理、定理或已知条件矛盾，原命题成立.例3在正方体abcda1b1c1d1中，边长为a,已知m、n、p、q、r、s是图中所在各棱的中点.（1）异面直线ab bd1和b1c1所成角的正弦值,（2）异面直线pq和rs所成角的大小,（3）异面直线ar和qc所成角的大小,（4）异面直线br和cn所成角的余弦值.分析：求异面直线所成的角，根据定义首先作出这个角，找出这个角所在的三角形，通过解三角形求出角.解：（1）b1c1bc,bd1和b1c1所成的角是bd1和bc所成的角sind1bc=.bd1和b1c1所成的角的正弦值是.d1mc1qdc（图2-9） （2）p、q、r、s分别是所在棱的中点pqa1d，rsa1b,pq和rs所成的角是a1d和a1b所成的角da1b=pq、rs所成的角为. （3）ardm （如图2-9）,ar和qc所成的角是dm和qc所成的角,由平面几何知识易知dmcq.ar和qc所在的角是90 （4）brcm,br和cn所成角是cm和cn所成的角.cn=cm,在等腰cmn中，cm=cn=a，mn=a,cosmcn=.br和cn所成的角的余弦值是.解题后的点拨 求异面直线所成的角，关键是先找出与两条异面直线平行的两相交直线所成的角.可以利用中位线的性质平移直线，再利用平面几何的知识或解三角形的知识求出角的大小.注意异面直线所成角的范围是（0，90. 正方体的棱、面对角线、体对角线之间有许多互为异面直线，棱aa1与棱bc成异面直线，所成的角为90；棱aa1与面对角线b1c成异面直线，所成的角为45；棱aa1与对角线bd1成异面直线，所成的角的正弦值为；面对角线a1b和c1d，a1b和b1c都成异面直线，所成的角分别为90，60，面对角线a1b和对角线ac1成异面直线，所成的角为90等等，同学们可细心寻找，并求它们所成的角，培养识图能力，并记住一些有用的结论.例4如图（2-11）把边长为a的正方形abcd沿着对角线bd折起，使a，c的距离等于a，（1）画出ac和bd的公垂线；（2）求ac和bd间的距离.分析：这是一道比较容易的折叠题，要找出ac和bd的公垂线，必须找到一条同垂直于ac和bd，且又与它们相交的直线.虽然将正方形沿bd折起，但abd和cbd仍为全等的等腰rt，正方形的边长和对角线bd不变，所以仍从平面图形的性质入手考虑.解：（1）分别取bd、ac的中点m、n,连结am,cm,bn,dn,mn,am、cm分别为全等的等腰rtdab，dcb的斜边上的高,am=mc，且n为ac边中点.mnac，mnac=n.adcabc,dn=bn，m为bd中点.mnbd，mnbd=m.mn为ac和bd的公垂线 （2）在amc中，ac=,am=mc=mn=.ac和bd间的距离为.解题后的点拨 由平面图形折叠成立体图形的问题，同学要明确折叠前后哪些元素变化，哪些元素没有变化.利用其平面图形的性质解题.巩固提高一选择题：1正方体六个面内的所有对角线，互成60角的对角线共有（ ） （a）12对 （b）24对 （c）48对 （d）96对2如果是异面直线，那么和都垂直的直线（ ） （a）不一定存在 （b）总共只有一条 （c）总共可能有一条，也可能有两条 （d）必然有无穷多条3正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1和a1c（ ） （a）相交且垂直 （b）相交但不垂直 （c）异面且垂直 （d）异面但不垂直4（1） ab,又a和c是异面直线，则b和c也一定是异面直线.（2） a和b共面，又b和c是异面直线，则a和c一定是异面直线.（3） a和b是异面直线，又b和c共面，则a和c一定是异面直线.（4） a和b是异面直线，又b和c不相交，则a和c一定是不相交. 以上四个命题，错误的命题个数是（ ） （a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个5空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结这个空间四边形各边中点所成的四边形是（ ）（a）梯形 （b）矩形 （c）正方形 （d）菱形6如果异面直线a与b所成角为50，p为空间一定点，则过点p与a,b所成的角都是30的直线有且仅有（ ） （a）1条 （b）2条 （c）3条（d）4条二填空题：7长方体abcda1b1c1d1中，已知bab1=b1a1c1=30，则（1）ab和a1c1所成的角是_；（2）aa1和b1c所成的角是_；（3）ab1和a1c1所成的角是_；8在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，（1）a1b和cc1的距离等于_；（2）a1c和bb1的距离等于_；（3）a1d和bc1的距离等于_.9直线a和b是异面直线，且a，ca,b,db，那么直线ab和cd的位置关系是_.10设e、f、g、h分别为空间四边形abcd的四边ab，bc，cd，da的中点，已知对角线bd=2，ac=4，则eg2+hf2的值为_.11一空间四边形的两条对角线长分别为6和8，它们所成的角为30，连结各边中点所得四边形的面积为_.三解答题：12在空间四边形abcd中，e、f分别是ab、bc的中点，求证：ef和ad是异面直线.13在棱长都相等的四面体abcd中，e、f分别为棱ad、bc的中点，连结af，ce，求异面直线af、ce所成角的大小.14空间四边形abcd，ab=cd，ad=bc，bd=12，d到ac中点p的距离为10，求ac和bd的距离.15求证：过两异面直线中一条直线有且仅有一个平面与另一条直线平行.16在三棱锥pabc中，ab=ac，pb=pc，e、f分别是pc和ab上的点，且pe：ec=af：fb=3：2，求证： （1）pabc； （2）设ef与pa、bc所成的角分别，求证：+90.自我反馈一选择题1c 正方体每一个面的对角线和与它相邻的面的对角线（无论相交或异面）都成60角.所以可这样计算6（个面）2（每个面的对角线）8（相邻四个面的对角线）=482d 两条异面直线的公垂线有且只有一条，而与公垂线平行的直线有无数多条.3c（图2-12） 取cc1中点e，过e作egbc1交bc于g，efa1c交a1c1于f，连结fg，计算feg=90如图（2-12）4d 四个命题均可由图（2-13,2-14）判断错误.5c 详见前例1解题后的点拨.6b. 如图215，过p点分别作a,b的平行线a,b，则a与b成角，设l是p与a,b所成角的直线，则l与a,b也成角，此时，l在a,b确定的平面内的射影是角平分线，apbopp 当0时，0条； 当时，1条； 当时，2条； 当时，3条； 当时，4条； 当=时，1条.（图2-16）二填空题：730;45;. 如图（2-16）aa1和b1c所成的角是bb1和b1c所成的角bb1c，由已知bb1=bc， bb1c=45.ab1和a1c1所成的角是dc1和a1c1所成的角a1c1d.设b1c1=a，a1c1=2a，a1d=a,c1d=2a,cosa1c1d=.（图2-17）8. 如图（2-17），异面直线a1b和cc1的公垂线为bc；与a1c和bb1都垂直的直线为bd所在直线，过a1c中点o作efbd,交bb1、dd1分别为e、f，ef为bb1和a1c的公垂线，eo=;与a1d和bc1都垂直的直线为a1b1所在直线，连结a1d和bc1中点o1o2所在直线平行于a1b1，o1o2为a1d和bc1的公垂线，o1o2=.9异面直线，反证法.1010 如图（2-18）由前例1可知， efgh为平行四边形 eg2+fh2=2（eh2+ef2）=2（12+22）=10116平方单位. 这个四边形是一个邻边分别为3和4，所夹角为30的平行四边形，则其面积为.三解答题：12证明：（反证法）如图（2-19）假设ef和ad共面于.ae,b 即bf.c.a，b，c，d与四边形abcd为空间四边形矛盾， 假设错误，原命题成立.13解：如图（2-20），连结fd，在afd中，过e作egaf，交fd于g，连结cg，ceg为异面直线af、ce所成的角.设棱长为ace=a,eg=a.在rtcfg中，fg=a,fc=a, cg=a,由余弦定理 ceg=arccos.注：此题还可平移cg，得异面直线af、ce所成角如图（2-21），连结be，过f作fgce，交be于g，连结ag，afg即为所求.14解：取bd中点q，连结aq,cq,pq,bp,如图（2-22）ab=cd，ad=bc，bd，ac为公共边,abdcbd，adcbca, 且p，q是ac，bd的中点,aq=cq，pb=pd.pqac，pqbd.垂足分别为p，q,pq为ac、bd的公垂线.pq=10，dq=，bd=6,在rtpqd中，pq=8.15证明：（1）存在性在直线b上任取一点b，过b作aa,a与b相交于b，过a,b可作一个平面，aa,a,a,a.（2）唯一性假设过b还有一平面，使b,b,=b,而a,aab,这与a,b是异面直线矛盾假设不成立过b有且仅有一个平面与a平行.16（1）取bc的中点d，连接ad，pd，则bc平面adp，ad平面a