高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 北师大版选修21(1).ppt

1 2充分条件与必要条件 1 理解并掌握充分条件 必要条件和充要条件的意义 2 能结合所学知识判断p是否为q的充分条件 必要条件和充要条件 1 充分条件与必要条件若 p 成立 则 q 一定成立 记作 p q 称p是q的充分条件 q是p的必要条件 换个角度考虑 p q 就是说 为了使q成立 具备条件p就足够了 反过来说 一旦q不成立 p一定也不成立 q成立对于p成立是必要的 说明 事实上 p是q的充分条件 就是条件p足以能保证结论q成立 这种情况下 也可以理解为 条件p成立 必须q成立 说明对p来说 q是必要的 所以q是p的必要条件 由此可见 判断充分条件或者必要条件实质上就是要判断命题 若p 则q 或者其逆命题 的真假 即判断条件p能否推出q 或者条件q能否推出p 做一做1 1 设原命题 若p 则q 为假 而逆命题为真 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件解析 原命题为假 则p不能推出q 逆命题为真 则q p 答案 b 做一做1 2 设x r 则x 2的一个必要不充分条件是 a x 1b x3d x2 p是q的必要不充分条件 即p不能推出q 且q p 显然只有选项a满足 答案 a 2 判定定理与性质定理判定定理是数学中一类重要的定理 阐述了结论成立的依据 也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件 性质定理同样是数学中一类重要的定理 阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质 性质定理给出了结论成立的必要条件 3 充要条件如果有p q又有q p 就记作p q 此时 我们称p是q的充分必要条件 简称充要条件 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 做一做2 1 函数y x2 bx c x 0 是单调函数的充要条件是 a b 0b b 0c b 0d b 0答案 a 做一做2 2 指出下列各题中p是q的什么条件 1 p x 2 0 q x 2 x 3 0 2 p 两个三角形相似 q 两个三角形全等 分析 判断p是q的充分条件 必要条件 关键看p能否推出q q能否推出p 解 1 x 2 0 x 2 x 3 0 且 x 2 x 3 0 不能推出 x 2 0 p是q的充分不必要条件 2 两个三角形相似 不能推出 两个三角形全等 两个三角形全等 两个三角形相似 p是q的必要不充分条件 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 下列各题中 p是q的什么条件 1 p a b 0 q a2 b2 0 2 p x 1 q x2 x 3 p 2ab q ac2 bc2 分析 判断p是q的什么条件 就是看由p能否推出q 由q能否推出p 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 a b 0不能推出a2 b2 0 a2 b2 0 a b 0 a b 0 p是q的必要不充分条件 2 当x 1时 x2 x 当x2 x时 x 1或x2b 因此a2b不能推出ac2 bc2 而ac2 bc2 a b p是q的必要不充分条件 反思对于充分条件 必要条件的判断 要仔细考虑问题的各种情况 切不可因粗心大意 考虑不全而造成错误 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 对于 q y x2 mx m 3有两个不同的零点 q m2 4 m 3 0 q m6 p 对于 当f x 0时 q不能推出p 对于 若 k k z 此时有cos cos 但不存在tan 与tan 对于 p a b a p a b q ub ua 答案 d反思判断p是q的充要条件 既要判断p q 也要判断q p 题型一 题型二 题型三 题型四 a m 0 n 0b mn 0c m 0 n 0d mn 0 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 a 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 已知数列 an 的前n项的和sn n 1 2 l 1 求证 l 1是 an 是等差数列的必要条件 2 试问 l 1是否为 an 是等差数列的充要条件 请说明理由 1 证明 当n 1时 a1 s1 4 l 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 an 是等差数列 2a2 a1 a3 即2 5 4 l 7 解得l 1 故l 1是 an 是等差数列的必要条件 题型一 题型二 题型三 题型四 2 解 l 1是 an 是等差数列的充要条件 理由如下 当l 1时 sn n 1 2 1 a1 s1 3 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 a1 3适合上式 an 2n 1 n n an 1 an 2 an 是公差为2 首项为3的等差数列 l 1为 an 是等差数列的充分条件 又由 1 知l 1是 an 是等差数列的必要条件 l 1是 an 是等差数列的充要条件 反思根据充要条件的定义证明充要条件时 要从充分性和必要性两个方面分别证明 首先分清哪个是条件 哪个是结论 然后确定方向 即充分性是证明 条件 结论 必要性是证明 结论 条件 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 证明 必要性 方程ax2 bx c 0有一个根为1 x 1满足方程ax2 bx c 0 a 12 b 1 c 0 即a b c 0 充分性 a b c 0 c a b 将其代入方程ax2 bx c 0中可得ax2 bx a b 0 即 x 1 ax a b 0 故方程ax2 bx c 0有一个根为1 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1 2x 1 x 0 是 x 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件故 2x 1 x 0是x 0的必要不充分条件 答案 b 12345 2设向量a 2 x 1 b x 1 4 则 x 3 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 既不充分又不必要条件d 充要条件答案 a 12345 3 设 r 则 0 是 f x cos x x r 为偶函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件解析 当 0时 f x cosx f x f x f x 为偶函数 若f x 为偶函数 则f 0 1 cos 1 k k z 故选a 答案 a 12345 4一次函数ax by 1 0的图像同时经过第一 第三 第四象限的一个必要不充分条件是 a a 1 b0 b 0d a 0 b 0解析 因为一次函数的图像经过第一 第三 第四象限 答案 b 12345 5指出下列各组命题中 p是q的什么条件 1 p a 0 且b 0 q a2 b2 0 a b r 2 p x 2 5 q x 1或x 5 3 在四边形中 p 四个角均为90 q 四边形为正方