江西省吉安一中高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年江西省吉安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=( )a1+ib1ic1id1+i2已知集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab“的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3=( )abcd4执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )a1bcd5若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为( )abc或d或6点a，b，c，d均在同一球面上，且ab，ac，ad两两垂直，且ab=1，ac=2，ad=3，则该球的表面积为( )a7b14cd7o为平面上的定点，a、b、c是平面上不共线的三点，若，则abc是( )a以ab为底边的等腰三角形b以bc为底边的等腰三角形c以ab为斜边的直角三角形d以bc为斜边的直角三角形8将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心( )abc（）d（）9已知集合a=（x，y）|x2+y2=1，b=（x，y）|kxy2，其中x，yr，若ab，则实数k的取值范围是( )a0，b，0c，d，+）10关于函数，看下面四个结论( )f（x）是奇函数；当x2007时，恒成立；f（x）的最大值是；f（x）的最小值是其中正确结论的个数为：a1个b2个c3个d4个11某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )abcd312设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5mx42x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为( )a（，）b，5c（，3d（，5二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设a，则使函数y=xa的定义域为r且为奇函数的a的集合为_14点m（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xy+m0总成立，则m的取值范围是_15在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：x2+y2（62m）x4my+5m26m=0，直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆c截得的弦长都是定值，则直线l的方程为_16在abc中，d为bc边上一点，若abd是等边三角形，且ac=4，则adc的面积的最大值为_三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设数列an的前n项和为sn=n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1（1）求数列an，bn的通项公式（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和tn18如图所示，四边形abcd为直角梯形，abcd，abbc，abe为等边三角形，且平面abcd平面abe，ab=2cd=2bc=2，p为ce中点（1）求证：abde；（2）求三棱锥dabp的体积19吉安市教育局组织中学生篮球比赛，共有实力相当的a，b，c，d四支代表队参加比赛，比赛规则如下：第一轮：抽签分成两组，每组两队进行一场比赛，胜者进入第二轮；第二轮：两队进行决赛，胜者得冠军（1）求比赛中a、b两队在第一轮相遇的概率；（2）求整个比赛中a、b两队没有相遇的概率20如图，椭圆c1：=1（a0，b0）和圆c2：x2+y2=b2，已知圆c2将椭圆c1的长轴三等分，且圆c2的面积为，椭圆c1的下顶点为e，过坐标原点o且与坐标轴不重合的任意直线l与圆c2相交于点a、b，直线ea、eb与椭圆c1的另一个交点分别是点p、m（1）求椭圆c1的方程；（2）求epm面积最大值21已知函数；（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x22x，是否存在实数a，对x1（0，2，x2（0，2，使得f（x1）g（x2）均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22如图，a、b、c、d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且ec=ed（）证明：cdab；（）延长cd到f，延长dc到g，使得ef=eg，证明：a、b、g、f四点共圆23已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的坐标方程为=2cos（1）将曲线c的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点m的直角坐标为（5，），直线l与曲线c的交点为a，b，求|ma|mb|的值24设函数f（x）=|x+2|x2|（i）解不等式f（x）2；（）当xr，0y1时，证明：|x+2|x2|2015-2016学年江西省吉安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=( )a1+ib1ic1id1+i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数z=1+i，z2=2i，则+z2=1i+2i=1+i，故选：a【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题，2已知集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab“的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用 【专题】简易逻辑【分析】先有a=3成立判断是否能推出ab成立，反之判断“ab”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论【解答】解：当a=3时，a=1，3所以ab，即a=3能推出ab；反之当ab时，所以a=3或a=2，所以ab成立，推不出a=3故“a=3”是“ab”的充分不必要条件故选a【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件3=( )abcd【考点】两角和与差的正弦函数 【专题】计算题【分析】将原式分子第一项中的度数47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值【解答】解：=sin30=故选c【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键4执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )a1bcd【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止【解答】解：框图首先给变量i和s赋值0和1执行，i=0+1=1；判断12不成立，执行，i=1+1=2；判断22成立，算法结束，跳出循环，输出s的值为故选c【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题5若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为( )abc或d或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质 【专题】计算题【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率当m0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得最后综合答案即可【解答】解：依题意可知m=4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e=当m=4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选d【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度6点a，b，c，d均在同一球面上，且ab，ac，ad两两垂直，且ab=1，ac=2，ad=3，则该球的表面积为( )a7b14cd【考点】球内接多面体 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】三棱锥abcd的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可【解答】解：三棱锥abcd的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=，它的外接球半径是，外接球的表面积是4（）2=14故选：b【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题7o为平面上的定点，a、b、c是平面上不共线的三点，若，则abc是( )a以ab为底边的等腰三角形b以bc为底边的等腰三角形c以ab为斜边的直角三角形d以bc为斜边的直角三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题【分析】设bc的中点为 d，由条件可得2=0，故，故abc的bc边上的中线也是高线，abc是以bc为底边的等腰三角形【解答】解：设bc的中点为 d，（22）=0，2=0，故abc的bc边上的中线也是高线 故abc是以bc为底边的等腰三角形，故选 b【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到abc的bc边上的中线也是高线，是将诶提的关键8将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心( )abc（）d（）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性 【专题】计算题【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为 =sin2x当x=时，y=sin=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心故选a【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高9已知集合a=（x，y）|x2+y2=1，b=（x，y）|kxy2，其中x，yr，若ab，则实数k的取值范围是( )a0，b，0c，d，+）【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】集合a和b均为点的集合，所以可以考虑用数形结合求解【解答】解：集合a为单位圆上的点，集合b表示恒过（0，2）点的直线一侧的区域，若ab，如下图所示：当直线kxy2=0与圆相切时，k=，故k的范围为故选c【点评】本题考查集合的关系问题，注意数形结合思想的运用10关于函数，看下面四个结论( )f（x）是奇函数；当x2007时，恒成立；f（x）的最大值是；f（x）的最小值是其中正确结论的个数为：a1个b2个c3个d4个【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意：依次分析命题：运用f（x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；取特殊值法，判定不等式是否成立；运用sin2x=进行转化，然后利用cos2x和（）|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案【解答】解：y=f（x）的定义域为xr，且f（x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论错对于结论，取特殊值当x=1000时，x2007，sin21000=0，且（）10000f（1000）=（）1000，因此结论错对于结论，f（x）=（）|x|+=1cos2x（）|x|，1cos2x1，1cos2x，（）|x|0故1cos2x（）|x|，即结论错对于结论，cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，所以f（x）=1cos2x（）|x|在x=0时可取得最小值，即结论是正确的故选：a【点评】本题涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，此题考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断11某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )abcd3【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面aed平面bcde，四棱锥abcde的高为1，四边形bcde是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面aed平面bcde，四棱锥abcde的高为1，四边形bcde是边长为1的正方形，则saed=，sabc=sade=，sacd=，故选：b【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力12设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5mx42x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为( )a（，）b，5c（，3d（，5【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论【解答】解：f（x）=x5mx42x2，f（x）=x4mx34x，f（x）=x3mx24f（x）=x5mx42x2在区间（1，3）上为“凹函数”，f（x）0x3mx240，x（1，3），在（1，3）上单调递增，在（1，3）上满足：14=3m3故答案为：c【点评】本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设a，则使函数y=xa的定义域为r且为奇函数的a的集合为1，3【考点】幂函数图象及其与指数的关系 【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】分别验证a=1，1，3知当a=1或a=3时，函数y=xa的定义域是r且为奇函数【解答】解：当a=1时，当a=1时，y=x1的定义域是x|x0，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是r且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是（0，+），不合题意；当a=3时，函数y=x的定义域是r且为奇函数故使函数y=xa的定义域为r且为奇函数的a的集合为1，3故答案为：1，3【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题14点m（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xy+m0总成立，则m的取值范围是m3【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若2xy+m0总成立my2x总成立即可，设z=y2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点c（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=30=3，m3，故答案为：m3【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转换为求目标函数的最值是解决本题的根据15在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：x2+y2（62m）x4my+5m26m=0，直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆c截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y+1=0【考点】直线与圆的位置关系 【专题】转化思想；综合法；直线与圆【分析】先将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线m上，若对任意的实数m，直线l被圆c截得的弦长都是定值，可得直线l与圆心所在直线平行，即可得出结论【解答】解：将圆c：x2+y2（62m）x4my+5m26m=0化为标准式得（x（3m）2+（y2m）2=9圆心c（3m，2m），半径r=3，令x=3m，y=2m，消去m得2x+y6=0，圆心在直线2x+y6=0上，又直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆c截得的弦长都是定值，直线l与圆心所在直线平行，设l方程为2x+y+c=0，将（1，1）代入得c=1，直线l的方程为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16在abc中，d为bc边上一点，若abd是等边三角形，且ac=4，则adc的面积的最大值为【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定addc的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值【解答】解：在acd中，cosadc=，整理得ad2+cd2=48addc2addc，addc16，ad=cd时取等号，adc的面积s=addcsinadc=addc4，故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的应用和余弦定理的应用本题灵活运用了基本不等式的基本性质解决了三角形求最值的问题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设数列an的前n项和为sn=n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1（1）求数列an，bn的通项公式（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由已知利用递推公式an=可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn；（2）由（1）可得cn=（2n1）4n1，利用乘“公比”错位相减求和【解答】解：（1）：当n=1时，a1=s1=1；当n2时，an=snsn1=n2（n1）2=2n1，故an的通项公式为an=2n1，即an是a1=1，公差d=2的等差数列设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=2，q=故bn=b1qn1=1，即bn的通项公式为bn=（）n1；（2）cn=anbn=（2n1）（）n1，tn=c1+c2+cn即tn=1+3+5+（2n1）（）n1，tn=1+3+5+（2n3）（）n1+（2n1）（）n，两式相减得，tn=1+2（+（）n1）（2n1）（）n=3（2n1）（）ntn=6【点评】当已知条件中含有sn时，一般会用结论an=，来求通项，注意求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点18如图所示，四边形abcd为直角梯形，abcd，abbc，abe为等边三角形，且平面abcd平面abe，ab=2cd=2bc=2，p为ce中点（1）求证：abde；（2）求三棱锥dabp的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（1）取ab中点o，连结od，oe，通过证明ab平面ode，然后推出abde（2）利用等体积转化法，求解即可【解答】解：（1）证明：取ab中点o，连结od，oe，因为abe是正三角形，所以aboe因为四边形abcd是直角梯形，abcd，所以四边形obcd是平行四边形，odbc，又abbc，所以abod所以ab平面ode，所以abde（2）解：=1，p为ce中点，则p到平面abcd的距离为：=【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19吉安市教育局组织中学生篮球比赛，共有实力相当的a，b，c，d四支代表队参加比赛，比赛规则如下：第一轮：抽签分成两组，每组两队进行一场比赛，胜者进入第二轮；第二轮：两队进行决赛，胜者得冠军（1）求比赛中a、b两队在第一轮相遇的概率；（2）求整个比赛中a、b两队没有相遇的概率【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）第一轮分组情况一共有（ab，cd），（ac，bd），（ad，bc）三种，由此能求出比赛中a、b两队在第一轮相遇的概率（2）用列举法表示出所在比赛对阵情况，由此能求出整个比赛中a、b两队没有相遇的概率【解答】解：（1）第一轮：（ab，cd），（ac，bd），（ad，bc），比赛中a、b两队在第一轮相遇的概率：p1=（2）由已知得：第一轮ab cdac bdad bc第二轮ac ad bc bdab ad cb cdab ac db dc整个比赛中a、b两队没有相遇的概率：p2=【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用20如图，椭圆c1：=1（a0，b0）和圆c2：x2+y2=b2，已知圆c2将椭圆c1的长轴三等分，且圆c2的面积为，椭圆c1的下顶点为e，过坐标原点o且与坐标轴不重合的任意直线l与圆c2相交于点a、b，直线ea、eb与椭圆c1的另一个交点分别是点p、m（1）求椭圆c1的方程；（2）求epm面积最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求出椭圆方程（2）求出三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求出最值即可【解答】解：（1）依题意，b=1，则a=3b椭圆方程为（2）（）由题意知直线pe，me的斜率存在且不为0，peme，不妨设直线pe的斜率为k（k0），则pe：y=kx1由，得，或，用代替k，得，=设，则当且仅当时取等号【点评】本题考查直线与椭圆综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力21已知函数；（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x22x，是否存在实数a，对x1（0，2，x2（0，2，使得f（x1）g（x2）均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】综合题【分析】（1）先求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，可求a的值；（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（3）由题意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（2）求出的f（x）的单调区间，即可求出f（x）的最大值，进而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围【解答】解：（1）曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行f（1）=f（3）（2）函数的定义域为（0，+），=当a=0时，单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+）；当时，单调增区间为（2，），单调减区间为（0，2），（，+）；当时，单调增区间为（0，+）；当时，单调减区间为（0，），（2，+）；单调增区间为（，2）；当a0时，单调减区间为（2，+）；单调增区间为（0，2）；（3）由已知，转化为f（x）maxg（x）max由x（0，2，得到g（x）max=g（2）=0，当a时，f（x）在（0，2单调递增，此时f（x）max=f（2）=2a2+2ln2，2a2+2ln20，当时，f（x）在（0，）上递增，在（，2）上单调递减；f（x）max=f（）=22lna，则22lna0恒成立即只需即可（，22lna0）综上可知，存在实数a满足条件，a的范围（ln21，+）【点评】本题考查的重点是导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想有一定的难度请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22如图，a、b、c、d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且ec=ed（）证明：cdab；（）延长cd到f，延长dc到g，使得ef=eg，证明：a、b、g、f四点共圆【考点】圆內接多边形的性质与判定 【专题】证明题【分析】（i）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据