8 圆锥曲线.doc

高三数学复习讲义 椭圆（1）8.1椭圆（1） 一考纲要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。二知识要点：定义1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（0，1）的点的轨迹图像方程性质 椭圆E：+=1（ab0）1.范围：2.对称性：3.顶点：）4.离心率：5.准线： 6.焦半径：7、参数方程三课前自测：1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为 （ ） A.8 B.16 C.25 D.322.（2004年湖北，6）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 （ ）A. B.3 C. D. 3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.4.点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_.四典型例题【例1】 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.【例2】 如下图，设E：+=1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2.求证：PF1F2的面积S=b2tan. 我们设想点P在E上由A向B运动，由于PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tan逐渐变大.因2为三角形内角，故2（0，），（0，）.这样，也逐渐变大，当P运动到B时，F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试. 【例3】 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程.【巩固练习】1.（2004年全国，7）椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|等于 （ ）A. B. C. D.42.（2005年春季北京，10）椭圆+=1的离心率是_，准线方程是_.3.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.【本课小结】【课后作业】1.（2003年昆明市模拟题）设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为 （ ）A. 1 B.2 C. D.2.已知P是椭圆1（ab0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_.3.直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.4.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.8.1椭圆（2） 一考纲要求：进一步掌握椭圆的方程，了解椭圆中的一些几何意义。二知识要点：1、椭圆中的一些几何意义：（1）|PF1|+|PF2|=2a，=e； （2）|A1F1|=|A2F2|=ac，|A1F2|=|A2F1|=a+c； （3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c； （4）|F1K1|=|F2K2|=p=， |PM2|+|PM1|=. 2、当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.三课前自测：1、2005年10月，我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功. 已知“神六”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、350公里. 设地球半径为R公里，则此时飞船轨道的离心率为_.（结果用R的式子表示）2、设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q 两 点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（ ）A0 B1 C2 D43、（2005年全国II卷文）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( ) （A）（B）6（C）（D）124、（2006年四川文）如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点，F是椭圆的一个焦点，则_四典型例题1、 椭圆的定义与方程.例1 已知P为椭圆上任意一点,F1、F2为左、右焦点，如图，1、 若PF1的中点为M，求证：|MO|=5-|PF1|；2、 若3、 求的最值2、椭圆的几何性质.例2 已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点.(1) 求的最小值,并求点P的坐标.(2) 求的最大值和最小值.例3 椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，且求椭圆离心率e的取值范围。3、直线与椭圆的位置关系例4 若椭圆与直线交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且求椭圆的方程。【巩固练习】1椭圆 1的焦距为2，则m的值为() A5 B3 C5或3 D82已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且过点 P ，则椭圆的方程为_3.设中心在原点，焦点在x轴上，且离心率为的椭圆交圆于A、B两点，若线段AB是圆的直径。（1）求AB的斜率，（2）求椭圆的方程。【本课小结】【课后作业】1、（2006年北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.2、（2006年福建文）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。3、（2006年湖北文）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。8.2双曲线（1） 一考纲要求：掌握双曲线的两种定义，标准方程，双曲线中的基本量及它们之间的基本关系。二知识要点：定义1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（1）的点的轨迹图像方程性质H：=1（a0，b0）1.范围： 2.对称性： 3.顶点： 4.渐近线： 5.离心率： 6.准线： 7.焦半径： .三课前自测：1.（2004年春季北京）双曲线=1的渐近线方程是A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x2.过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.=1 B.=1 C.=1 D.=13.如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是A.10 B. C.2 D. 4.已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_.5.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_.四典型例题【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.【例3】 如下图，在双曲线=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标. 【巩固练习】1.（2004年天津，4）设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于A.1或5 B.6 C.7 D.92.（2005年春季北京，5）“ab0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.证明直线AC经过原点O.【巩固练习】1.设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为A.0， B.0，C.0，| D.0，|2.（2004年全国，8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A.， B.2，2 C.1，1 D.4，43.（2003年春季上海）直线y=x1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_.4.在抛物线y=4x2上求一点，使该点到直线y=4x5的距离最短，该点的坐标是_.【本课小结】【课后作业】1.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a0），D=（6，7）为x轴上的给定区间.（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；（2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由. 2.正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2x上，求正方形的面积.3.给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a0，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值.4.过抛物线y2=2px（p0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求A1FB1.8.3抛物线（2） 一考纲要求：理解圆锥曲线的统一定义，涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题的基本解 法二知识要点：定义图像方程性质1.范围2. 对称性： 3.顶点：4.离心率：5.准线：6.焦半径 三课前自测：1、（2006福建文）已知直线与抛物线相切，则2、（2006全国1文）抛物线上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是A、 B、 C、 D、33、（2006山东文）已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是 、（2006四川文）直线3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（A）36. （B）48 （C）56 （D）64.四典型例题例1 已知抛物线C1：y2=4ax（a0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）.（1）求点P和Q的坐标；（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q，使|QQ|=4a，求过P和Q且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程. 例2 已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为（1）证明线段是圆的直径；（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值 例3 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。【巩固练习】1、（2006年江西理）设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若 4，则点A的坐标是（ ） A（2，2） B. (1，2) C.（1，2）D.(2，2)2、（2005年江苏）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（A） （B） （C） （D）03、（2005年辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（）（）（）（）214、（2005年全国1）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）【本课小结】【课后作业】1、（2005年上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在2、（2006年上海）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由xyOAB3、（2005年广东）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由4、（2005年江西）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.8.4直线与圆锥曲线的位置关系（） 一考纲要求：直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用二知识要点：三课前自测：1.过点（2，4）作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条2.已知双曲线C：x2=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.双曲线x2y21的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是A.（，0）B.（1，） C.（，0）（1，+）D.（，1）（1，）4.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则 OAB的重心的横坐标为_.5.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是_.四典型例题【例1】 已知直线l：y=tan（x+2）交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求的取值范围.【例2】 已知抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点.（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值.【例3】 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.【巩固练习】1.若双曲线x2y21的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为A. B. C. D.22.已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是A.（0，1） B.（0，5）C.1，5）（5，+） D.1，5）3.已知双曲线x21，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_.4.AB为抛物线y2=2px（p0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为_；若AB的倾斜角为，则|AB|=_.【本课小结】【课后作业】1.求过点（0，2）的直线被椭圆x22y22所截弦的中点的轨迹方程.2.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.3.椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.4、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。8.4直线与圆锥曲线的位置关系（2） 一考纲要求：1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=.再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.二知识要点：1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的情况.需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点.2.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）.3.涉及到圆锥曲线焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.三典型例题【例1】 （2003年福州市模拟题）已知抛物线C：y2=4（x1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合.（1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程；（2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围.【例2】 已知椭圆C：1（ab0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B.（1）若k，求椭圆C的离心率的取值范围；（2）若k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程.【例3】如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；OFxyP如，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程MHN（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程【本课小结】【课后作业】1、（2006湖南文）过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是A B. C. D. 2、（2006四川文）直线3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（A）36. （B）48 （C）56 （D）64.3、（2006四川文）已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线kx1与曲线E交于A、B两点。（）求的取值范围；（）如果且曲线E上存在点C，使求、（2006山东文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.、（2006全国II文）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。8.5轨迹问题 一考纲要求：掌握轨迹问题的基本解法二知识要点：本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法.三课前自测：1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线 D.