高中数学 第一章 立体几何 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课件 新人教B版必修2.ppt

1 1 2棱柱 棱锥和棱台的结构特征 一 二 三 四 五 一 多面体及其相关概念 问题思考 1 你见过的表面是平面的几何体至少有几个面 几个顶点 几条棱 提示 最简单的是由四个平面三角形围成的几何体 有4个面 4个顶点 6条棱 一 二 三 四 五 2 填空 1 定义 由若干个平面多边形所围成的几何体叫多面体 2 相关概念 3 凸多面体 把一个多面体的任意一个面延展为平面 如果其余的各面都在这个平面的同一侧 则这样的多面体就叫做凸多面体 一 二 三 四 五 二 棱柱 问题思考 1 有人说 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 你认为这种说法对吗 提示 这种说法不对 反例如图所示 虽然这个几何体满足上述条件 但这个几何体不是棱柱 一 二 三 四 五 2 填空 1 棱柱的概念 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面围成的多面体叫做棱柱 棱柱中 两个互相平行的面叫做棱柱的底面 其余各面叫做棱柱的侧面 两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 底面与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点 棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高 2 棱柱的表示法 用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示 一 二 三 四 五 3 棱柱的分类 按底面多边形的边数分为三棱柱 四棱柱 五棱柱 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体 底面是矩形的直平行六面体是长方体 棱长都相等的长方体是正方体 一 二 三 四 五 3 做一做 下列说法正确的是 1 棱柱的各个侧面都是平行四边形 2 棱柱的两底面是全等的正多边形 3 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 4 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 a 2 3 b 1 2 4 c 1 d 1 4 解析 由棱柱的定义可知 1 正确 2 3 4 均不正确 其中 2 中两底面全等 但不一定是正多边形 3 4 均不能保证侧棱与底面垂直 答案 c 一 二 三 四 五 三 棱锥 问题思考 1 能否这样叙述棱锥的特征性质 有一个面是多边形 其余面是三角形的几何体 提示 不能 如图几何体 满足说法 但不是棱锥 一 二 三 四 五 2 填空 1 棱锥的概念 有一面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 这些面围成的多面体叫做棱锥 棱锥中有公共顶点的各三角形 叫做棱锥的侧面 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 多边形叫做棱锥的底面 顶点到底面的距离 叫做棱锥的高 2 棱锥的表示法 用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示 3 棱锥的分类 按底面多边形的边数分为三棱锥 四棱锥 五棱锥 一 二 三 四 五 4 正棱锥的概念 如果棱锥的底面是正多边形 且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上 则这个棱锥叫做正棱锥 正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形 这些等腰三角形底边上的高都相等 叫做棱锥的斜高 3 做一做 各棱长均为a的三棱锥的斜高为 一 二 三 四 五 四 棱台 问题思考 1 能否这样叙述棱台的特征性质 有两个面平行且相似 其余面为梯形的几何体 提示 不能 如图几何体 满足上述性质 但不是棱台 因此要判断一个多面体是不是棱台 首先看两个底面是否平行 其次把侧棱延长看是否相交于一点 这两条都满足的多面体才是棱台 一 二 三 四 五 2 填空 1 棱台的概念 棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面间的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面 其他各面叫做棱台的侧面 相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 两底面间的距离叫做棱台的高 2 棱台的表示法 用表示上下底面的字母来表示 3 棱台的分类 按底面多边形的边数分为三棱台 四棱台 五棱台 4 正棱台的概念 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 正棱台各侧面都是全等的等腰梯形 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高 一 二 三 四 五 3 做一做 下图所示的几何体是棱台的是 解析 选项a中的几何体的四条侧棱延长后不相交于一点 选项b和选项c中的几何体的截面不平行于底面 只有选项d中的几何体符合棱台的定义与特征 答案 d 一 二 三 四 五 五 特殊的四棱柱 问题思考 1 2 正四棱柱与长方体有何内在联系 提示 正四棱柱一定是长方体 但长方体不一定是正四棱柱 用集合语言可描述为 正四棱柱 长方体 一 二 三 四 五 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 每个面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 2 每个面都是三角形的几何体一定是棱锥 3 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4 棱台的侧棱可以与底面垂直 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 棱柱的结构特征 例1 1 下列几何体是棱柱的有 a 5个b 4个c 3个d 2个 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 2 给出下列几个结论 长方体一定是正四棱柱 正方体一定是正四棱柱 长方体一定是直棱柱 有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 其中错误的是 填序号 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 1 棱柱的结构特征有三方面 有两个面互相平行 其余各面是平行四边形 这些平行四边形面中 每相邻两个面的公共边都互相平行 当一个几何体同时满足这三方面的特征时 这个几何体才是棱柱 上述三方面的特征都符合 是棱柱 没有两个平行的面 所以不是 符合条件 是棱柱 虽然有两个面平行 但其余各面不是平行四边形 因此不是 只有三角形的面 不符合条件 所以不是 有两个平行的面 但其余各面中有的面不是平行四边形 所以 不是 因此符合条件的只有 2 侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 而底面为正多边形的直棱柱是正棱柱 对照各结论知 错误 答案 1 d 2 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟判断一个几何体是棱柱的依据及关键点 1 依据 判断几何体是否是棱柱要紧扣棱柱的定义 2 抓住三个关键点 底面 两个多边形全等且所在平面互相平行 侧面 都是平行四边形 侧棱 互相平行且相等 以上三点缺一不可 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1下面描述中 是棱柱的结构特征的有 填序号 有一对面互相平行 侧面都是四边形 每相邻两个侧面的公共边都互相平行 所有侧棱都交于一点 答案 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 棱锥 棱台的结构特征 例2 下列关于棱锥 棱台的说法 1 用一个平面去截棱锥 底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 2 棱台的侧面一定不会是平行四边形 3 棱锥的侧面只能是三角形 4 由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥 5 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 其中正确说法的序号是 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 1 错误 若平面不与棱锥底面平行 用这个平面去截棱锥 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台 2 正确 棱台的侧面一定是梯形 而不是平行四边形 3 正确 由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形 4 正确 由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥 5 错误 如图所示四棱锥被平面pbd截成的两部分都是棱锥 答案 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟判断棱锥 棱台的常用方法 1 举反例法 结合棱锥 棱台的定义举反例直接判断关于棱锥 棱台结构特征的某些说法不正确 2 直接法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练2判断以下说法 正确的是 a 所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥b 三棱锥的每一个面都可作为底面c 底面是正多边形 各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥d 正棱锥的所有棱长都相等解析 如图 1 的几何体所有的面都为三角形 但不是三棱锥 故a错 如图 2 中 棱ad 1 其余棱长为2 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 满足题意 但不是正三棱锥 故c错 正棱锥中 所有侧棱长都相等 故d错 而三棱锥又称四面体 每个面都是三角形 故每个面都可作为底面 故b正确 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 有关正棱锥 正棱台中的计算问题 例3 一个正四棱台的上 下底面面积分别为4 16 一侧面面积为12 求该棱台的斜高 高 侧棱长 解 如图 设o o分别为上 下底面的中心 即oo 为正四棱台的高 e f分别为b c bc的中点 则ef bc ef为斜高 由上底面面积为4 上底面为正方形 可得b c 2 同理 bc 4 因为四边形bcc b 的面积为12 所以 2 4 ef 12 所以ef 4 过b 作b h bc交bc于点h 则bh bf b e 2 1 1 b h ef 4 在rt b bh中 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练3若正四棱锥的底面积为4 侧棱长为2 则其斜高为 解析 正四棱锥的侧面为等腰三角形 如图 作pe cd于点e 则pe为斜高 e为cd的中点 由底面积为4 知底面边长为2 在rt pce中 pc 2 ce 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 立体图形的展开问题 例4 如图所示 在四面体p abc中 pa pb pc 2 apb bpc apc 30 一只蜜蜂从a点出发沿四面体的表面绕行一周 再回到a点 求蜜蜂经过的最短路程 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解 将四面体沿pa剪开 并展成如图所示的平面图形 则aa 就是所求的最短路程 因为 apa 90 pa pa 2 所以最短路程aa 为2 反思感悟解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题 一般都是将空间几何体表面按某一种方式展开 转化为求平面内两点间的线段长 这体现了数学中的转化思想 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 如图 在以o为顶点的三棱锥中 过点o的三条棱两两夹角都是30 在一条棱上取a b两点 oa 4cm ob 3cm 以a b为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周 求此绳在a b两点间的最短绳长 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解 作出三棱锥的侧面展开图 如图 a b两点间的最短绳长就是线段ab的长度 在 aob中 aob 30 3 90 oa 4cm ob 3cm 所以此绳在a b两点间的最短绳长为5cm 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 利用多面体的侧面展开图解决有关最值问题 键 这样求函数的最小值就转化为在长方体的棱bb 上找一点e 使折线aec 的长度最短 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 方法点睛1 高考中常将多面体与最值结合在一起进行考查 遇到此类问题时通常是先把多面体展成平面图形 再结合平面几何的知识解决问题 2 本题如果正面求解确实很困难 题目的巧妙之处是构造了长方体 将函数最值问题转化为有关几何中的距离的最值问题 通常是将其转化为平面图形 利用两点间线段最短来求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练如图所示 已知正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2cm 高为5cm 则一质点自点a出发 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点a1的最短路线的长为cm 解析 根据题意 利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱 然后将其展成如图所示的实线部分 则所求最短路线的长为 13 cm 故填13 答案 13 1 2 3 4 5 1 下列说法正确的是 a 棱柱的面中 至少有两个面互相平行b 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面c 棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高d 棱柱的侧面是平行四边形 但它的底面一定不是平行四边形解析 由棱柱的概念知a正确 d错误 棱柱中两个互相平行的面可能是棱柱的侧面 故b错误 斜棱柱的高不等于侧棱长 故c错误 答案 a 1 2 3 4 5 2 下列说法正确的是 a 有一个面是多边形 其余各面是三角形的几何体是棱锥b 四面体是四棱锥c 底面是正三角形 其余各面是等腰三角形的棱锥是正三棱锥d 四棱锥的侧面最多有四个直角三角形解析 有一个面是多边形 其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥 故a错 四面体是三棱锥 故b错 底面是正三角形 其余各面是等腰三角形的棱锥不一定是正三棱锥 故c错 d正确 答案 d 1 2 3 4 5 3 一个棱柱有10个顶点 所有的侧棱长的和为60cm 则每条侧棱的长为cm 解析 n棱柱有2n个顶点 因为此棱柱有10个顶点 所以此棱柱为五棱柱 又棱柱的侧棱长都相等 由五条侧棱长的和为60cm 可知每条侧棱的长为12cm 答案 12 1 2 3 4 5 4 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为a p为棱aa1的中点 q为棱bb1上任意一点 则pq qc的最小值是