《从零学相对论》连载(19).pdf

第 3 3卷第 1期 2 0 1 4年 1月 大学物理 C0LL EGE PHYS I CS VoI 33 NO 1 J a n 2 01 4 从零学相对论 连载 梁灿彬 曹周键 1 北京师范大学 物理系 北京 1 0 0 8 7 5 2 中科 院 应用数学所 北京 1 0 0 1 9 0 第 8讲史 瓦西 时空 8 1史瓦 西真 空解 史瓦西真空解是爱因斯坦方程的第一个精确解 6 5 描述一个静态 的 球对称 的物质分布 通 常是天体 在其外部 真空区域 造成 的时空弯 曲 这一弯曲线元可用史瓦西坐标系 t r 0 表为 一 1 一 1 一 d r z r z d 0 2 s in 2 0 d o 2 8 1 1 其 中M 代表天体的质量 上式是史瓦西线元在几何 单位制的形式 相应的国际制形式要复杂一些 一f l1 一 丁2 G M 1 e d f f 1 2 G M 1 d z c r d O s i n d 8 1 1 其中 G为引力 常数 c为真空光速 式 8 1 1 比 8 1 1 简单 适宜于纯理论讨论 涉及数值计数 时 最好用 式 8 1 1 线元 8 1 1 右边各项的系统不含时间坐标 t 这 是 静 态 性 的 反 映 另 一 方 面 右 边 的 后 两 项 取 r d O s i n d 的形 式 表 明线 元 有球 对 称 性 所 以说史 瓦西 线元 是一 种静 态球 对称线 元 当径 向坐标 r 很大 时 d 和 d r 的 系数 1 2 M r 和 1 2 M r 都很接近于 1 式 8 1 1 近似成为 d s 一 d t d r r d O s i n d 8 1 2 这 无非 是平 直线 元 在 球 坐标 系 t r 0 的表 达 式 即式 2 1 1 6 可见史瓦西线元在 r 越大时越接 近于平 直 所 以是一 种渐 近平 直线 元 也 说史 瓦 西线 元 具有 渐 近平直 性 两个史瓦西线元 的差别只体现在它们的质量参 数 上 作为天体的质量 可取任何正数 极端情 况 M 0代表天体不存在 故时空应该平直 事实 的 确如此 把 M 0代入式 8 1 1 果然得到平直线 元 8 1 2 如果 时 空 的线 元 是 史 瓦西 线 元 它 就 称 为 史瓦 西时空 平直时空可看作史瓦西时空在 M 0的特 例 前面关于闵氏时空的讨论 见 3 7例 2 已经 讲过 时空是绝对的 但 每一时刻的全空间 同时 面 则是相对的 闵氏时空存在着一类特殊 的坐标 系 即惯性 坐标 系 任 选 一 个 惯 性 系 t Y 都 可 对闵氏时空做 3 1分解 每一张等 t 面 其 中 为常数 就代表 时刻的全空 间 躺在 t 上的任一 曲线的任一元段都有 d t 0 代入闵氏线元 d s 一d d d v d 便诱导出 3维欧 氏线元 d d x d y 出 可见 闵 氏时 空被 任一惯 性 系分解 所得 的空 间都 是 3维欧 氏 空间 有 3维平直几何 下面仿此讨论史瓦西时空 的 空间 几何 仿照 闵氏时空用惯性坐标系 t Y 做 3 1 分解 的做法 我们用史瓦西坐标系 t r 0 q o 对史 瓦西时空做 3 十 1 分解 以 代表等 t 面 面上各 点有 t 常数 则躺在 上的任一曲线的任一元 段都有 d t 0 代人式 8 1 1 得 一1 d f 1 一 一 11 1 1 d r r d O s in 2 0 d 8 1 3 r 上式称为由史瓦西线元在 上的诱导线元 右边第一 项系数 1 2 M r 的存在使得这个 3维线元 并不平直 除非 M 0 由黎曼 张量 的定 义可 以求得 一个 非零 的黎曼张量 不过本书并未给出这一定义 可见史瓦 西时空的任一等 t 面都是一个弯曲的3维空间 物理地 说 就是天体质量 M 的存在使天体外部的空间变得弯 曲 成为非欧空间 图 8 1 是时空图 图柱面代表天体 表面的世界面 水平平面代表等 t 面 它与圆柱面的 交集 s代表天体表面在时刻 的表现 天体表面本是个 2维球 面 只因画 时空 图时必 须压缩 掉一个 空间维 所 以2维球面才被画成 1 维圆周 s 作为静态时空 史 瓦西时空存在着一类特殊 的 观者 称为静态观者 s t a t i e o b s e r v e r 其世界上 的空 间坐标 r 0 都是常数 只有 t 沿线改变 例如 把 地球近似看作静态物质分布 忽略其 自转 则静止 于地面上高楼每一层 的每 一住户都是一个 静态观 第 1 期 梁灿彬 等 从零 学相对论 连载 6 3 图 8 1 星体外 部时空图 压缩掉一 维 t 代表时刻 的全空间 者 图 8 1的两条竖直线 A和 B就是两个静态观者 的世界线 两线与 的交点 a b 就是这两个观者在 时 刻 的表 现 设 a r b r 0 而且 口 我们来关心 a b之 间的距离 不论 t 是平直还是弯曲 两点的距离都定义为它们 之间的 类空 测地线段 的线长 可以证明 直观上 也不难相信 图 8 1中 a b之间的径向线 正是 测 地线 所 以 的线 长 Z 曲 就 是 a b之 间 的距 离 由 线 长公 式 2 2 3 得 rb 一 0 b 的距离 z J d l 8 1 4 J a 把式 8 1 3 用于 的任一元段 注意到 y线上有 常数及 常数 因而 d O 0 d 0 便得 6 的 距 离 z n l 一 1 d J a r r 一r 除 非 M 0 8 1 6 可见 a b的距离大于 a b的径向坐标差 亦称坐标距 离 r 一 r 除非 M 0 当 M 0时 z 5 r 一 r 这正是 人们熟知的欧氏情况 为了强调与坐标距离的区别 也常把距离 z 称为固有距离 p r o p e r d i s t a n c e 固有 距离不等于坐标距离是空间弯曲性的重要表现 物理 上 更应重视 的是 固有距离而 不是坐标距 离 注记 1 在欧 氏空间中 球面的半径 r 有两个性 质 等于球面与球心的距离 与球面积 A的关 系为A 4 盯 r 即r aC a Y 但在弯曲空间中这两个 性 质互 不 等价 若 以 r 代 表球 面与 球 心 的距 离 则 r a a T 不再成立 一种方便的做法是用球面积定 义半径 即把半径定义为 aC a 7 代价是半径不再 等于球面与球心的距离 这就是 径 向坐标距离 r 一 r 不等于固有距离 的原因 与此 类 此 在史 瓦 西 时 空 中还 应 分 清 坐标 时 间 和固有时间 A T 设 2t 是另一张等 t 面 我们来关 心静 态 观者 A B 的世 界 线 上 介 于 和 之 间 的 两条线段 分别记作 和 见 图 8 2 以 和 分别代表两段所 经历 的坐标 时间 因 和 都是 等 t 面 当然 有 A t 一 2 A t 8 1 1 7 图 8 2 静态观者世界线介 于两 个等 t 面之间的两段有不 同固有 时间 问题 在 于这 两 段 所 经 历 的 固有 时 间 r 和 是 否也相同 注意到 r 0 在每条线上都是常数 把式 8 1 1 用于每条线的任一元段得 一 一 沿线段 和 积分给 出 第 一步 用到式 3 2 1 f f 1 一 1 8 1 9 a J沿 rA f f 1 一 1 A t 8 1 9 b J 沿 rB 注意到 A t A t 及 r r 便知 A T A t 一 一 一 8 1 1 0 可见线段 和 经历 的固有时间并不相 同 在 闵 氏时空中 等 t 面 就是 同时面 但现在看到这 两 个 词汇对 史 瓦 西 时 空 有 不 同含 义 等 t 面上 各 点 的坐标时 t 相 同而 固有时 r一般不 同 如果仍称之 为 同时面 只能理解为坐标时间相同的面 既然现在提到固有时和坐标 时 我们想借此机 会 谈 一谈 相对 论 中 的时 间概 念 最 有 物 理 意 义 的 时 间就是观者的 固有 时 r 它是观者携带的标准钟 的 读数 而且也是他的生物钟的读数 是他感觉到的实 实在 在 的时 间 除了 固有 时 r之外 的任 一 常 增 函 数都可以在一定程度上被解释为该观者的时间 例 如 设 P是星体外部史瓦西时空的一点 G是一个观 者 其世界线径过 P点 一方面 作为 G的世界线的 一 点 P有一个 固有时 r 另一方 面 作为时空 中的 一 点 P点又有一个坐标时 t 史瓦西坐标系 r r 的第 0坐标 t 在 P点 的值 于是对 G线而言就有 一 元 函 数 t r 图 8 3示 明 这是 个 常 增 函数 所 以 坐标 时 t 在一 定程 度 上 也 代 表 G的 时 间 称 为 坐标 5 一 一 8 2 r d 一 l l 出 给 d 4 一 一 8 式 入 代 大学 物 理 第 3 3卷 时 间 c o o r d i n a t e t i m e 为 说 话 方 便 不 妨 想 象 观 者 G除 标 准 钟 外 还 携 带 另 一 个 钟 其 走 时 率 很 特 别 它在 G线 上的读数恰好等于该点 的坐标时 这样 的钟 称 为坐标 钟 c o o r d i n a t e c l o c k I G 增 1 y 2 图 8 3 观者世界线 G上取 P P 点 因 P 未来 光锥 向 上张开 故 P 在 P 的未来 即 r r 另一 方 面 从 等 t 线 水平线 知坐标时 t 可见 t r 是常增 函数 下面讨论 4个史瓦西坐标的取值范围 作为角 度 坐标 0 的范 围是 0 0 r r 0 q 2 r r 时间坐标 t 的取值范围可达最大 即一 2 M 数值 2 M 称 为该星体的史 瓦西半径 S c h w a r z s c h i l d r a d i u s 记作 r 即 r 2 M 但在国际制 中则应 改为 r 2 G M c 理 由可参 阅附录 A例 3 其 中 G 和 C的国际制数值为 G 6 7 1 0 c 一3 1 0 太 阳 质 量 的 国际制数 值 为 M 一2 1 0 故 G M c 1 5 k m 因而 太 阳的史 瓦西 半径 为 r s n 2GM nc 一 2x1 5 k m 3 k m 类似地 可求得地球 的 r 一8 8 1 0 m 质子 的 r 2 4 1 0一 m 径 向坐标 r 存 在 下 限 还 有 一 个 更 为 实 际 的 原 因 式 8 1 1 只是 真 空 爱 因斯 坦 方 程 的解 称 为 史瓦西真空解或史瓦西外解 只能描述天体外部 真空处 的时空弯曲 因此只当 r R 天体半径 才 有意义 常见的球对称天体半径 都远大于其史瓦 西半径 r 故常见的 比值 R r 都很大于 1 例如 这 一 比值 的量 级对 太 阳 为 l 0 对 地 球 为 1 0 这 就 是 说 对 常 见 的球 对 称 物 质 分 布 而 言 其 史 瓦 西 半 径 r 2 M深深地埋藏在物质的内部 而史瓦西真空解 对物质内部根本不适用 不是解 所以完全不必理 会 由此 可知坐 标 r 的取值 范 围是 r 第 1 期 梁灿彬 等 从零学相 对论 连载 6 5 亮地通 过 了每 一 个 实验 的检 验 大 获全 胜 然而 事情 并未 就此 结束 在 黑 洞和 中子 星 附近 的 强 引 力场 中 的实验 仍然 有 待进 行 人 们 对 广 义 相 对论 的这 一层 面的勘探 几乎从 未 进行过 伽 玛射 线 X 射 线和 引 力 波天 文学 在这 一探 索 中将起 到 决定 性 的作 用 第 8讲 未完待续 上接 4 2页 Re s a r c h a nd de v e l o pm e nt o f a F P e t a l o n c h a r a c t e r i s t i c s i nv e s t i g a t i ng a nd hi g h a c c ur a c y wa ve l e ng t h m e a s ur i ng i ns t r ume n t HOU Yu f e i LI Xu e y e Z HU He n i a n I C h a n g c h u n Yu h e n g S h i d a i O p t i c s E l e c t r o n i c s s c i e n c e t e c h n o l o g y C o L T D C h a n g c h u n J i l i n 1 3 0 0 1 2 C h i n a 2 D e p a r t me n t o f P h y s i c s Ts i n g h u a U n i v e r s i t y B e i j i n g 1 0 0 0 8 4 C h i n a Ab s t r a c t A s e t o f c o n c e n t r i c i n t e r f e r e n e e c i r c l e s i S f o r n l e d f o r d i f f us e d mo n o c h r o ma t i c l i g h t i l l u mi n a t e d a F P e t a l o n F r a c t i o n a l o r de r s a t t h e c e n t r e o f t h e i n t e r f e r e n c e fri ng e s a r e d e t e r mi n e d b y e x c e s s f r a c t i o n me t h o d Th e s p e e t r u m o f t h e l i g h t s o u r c e c o n s i s t s o f c e r t a i n a d j a c e n t w a v e l e n g t h s i n c l u d i n g o n e He l i n e o n e Ne l i n e a n d a f e w Hg l i n e s Th u s i ma g e s o f t h e r e s u l t i n g s e t s o f i n t e r f e r e n c e c i r c l e s a r e o b t a i n e d s i mu ha n e o u s l y b y a di g i t a l c a me r a a t t h e f o c a l pl a n e o f t h e i ma g i n g l e ns T he di a me t e r s a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n s a r e c o mp u t e d b y t h e c i r c u l a r r e g r e s s i o n o f e o o r di n a t e d a t a T he fra c t i o n a l o r d e r s a r e c a l c u l a t e d b y we i g h t e d r e g r e s s i o ns i n a n e w q u a s i l i ne a r mo d e l a n d t h e e x p a n d e d u n c e r t a i n t i e s a r e a s s e s s e d c o r r e s po n di n g t o d i f f e r e n t wa v e l e n g t hs I n d u c i n g t h r e e o f t h e wa v e l e ng t h s t o t h e p r o c e s s t o S o l v e t h e fra c t i o n o r d e r s b y e x c e s s fra c t i o n me t h o d t he s p a c e r d o f t h e F P e t a l o n i s c a l c u l a t e d t o b e d Ad 3 09 6 97 7 9 7 1 7 6 n I l 1 Ke y wor ds e x c e s s fra c t i o n me t h o d W e i g h t e d r e g r e s s i o n Fa b r y Pe r o t e t a l o n u n c e r t a i n t y o f me a s u r e me n t 封面说明 今年是盖尔曼 Mu r r a y G e l l Ma n n 提出夸克模型 5 0周年 本刊今年的封面即以此为题 强子 包括重子和介子 曾经被看成基本粒子 随着粒子物理学 的进展 从