江西省南昌市第二十四中学九年级数学中考数学 例题分析 发挥“模型”的解题功能.doc

江西省南昌市第二十四中学九年级数学中考数学例题分析：发挥“模型”的解题功能 dcab为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27，然后他向气球方向前进了50米，此时观测气球，测得仰角为40，若小明的眼睛离地面1.6米，小明如何计算气球的高度？（精确到0.1米）.分析；这是一个具有实际情景的数学问题，首先应把它抽象为数学问题，找到其数学模型.用点c表示气球的位置，点a、b表示小明2次观测气球的位置，点a、b、d在同一直线上，cdad，cd的长与小明的眼睛离地面的高度的和就是所求的气球的高度.（解答略，见课本）课本中有些例题就其使用价值而言，往往不亚于一些重要的定理、法则，可谓璞玉浑金，平面直角坐标系的创始人、著名的法国数学家笛卡儿曾经说过“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他相关的问题.”观察、再现例题图形的结构特征，探究、挖掘其中隐含的数学信息可以发现2个rtadc、rtbdc有一个公共的直角边cd；2个直角边ad、bd存在关系adbd=ab.这2个关系式恰是我们将未知量与已知量联系在一起布列方程的重要的相等关系.事实上许多与此相联系解直角三角形的实际应用问题，抓住上述的“双直角三角形”模型所具有的2个特征都可迎刃而解.一、判断轮船触礁与否例1、东北75cba（07徐州市）如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在a处观测灯塔c在船的北偏东75的方向.航行12分钟后到达b处，这时灯塔c恰好在船的正东方向.已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域.这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？(参考数据：1.41，1.73)分析：欲判断船不改变方向继续前进有无触礁的危险，只要求出点c到线段ab所在直线的距离与8海里比较大小，即可判断有无触礁危险.为此过c作cdab于d点,构造出“双直角三角形”模型rtacd、rtbcd.解这两个直角三角形方可获解.解：如图，过点c作cd直线ab于c.设dc=x.在rtcdb中，cbd=45，bd=x.在rt东北75cbadcad中，cad=7545=30，ac=x.ab=30=6，而adbd=ab，adbd=6，xx=6，x=.即dc=8.28.这艘船可以继续沿东北方向航行二、计算河宽例2、在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点a处观测到河对岸水边有一点 c，测得c在a北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达b处，测得c在b北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度（参考数值：tan31，sin31）分析：首先我们应在图形中找到河宽的线段，为此过点c作cdab，垂足为d，则线段cd的长度就是河的宽度，容易发现图中的2个“双直角三角形”模型，从而得到下面的解法.设cdx米，在rtbcd中，cbd45，bdcdx米在rtacd中，dac31，adabbd（20x）米，cdx米，tandac， x30答：这条河的宽度为30米三、测量底部不能直接到达物体的高度例3、某校兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识测量操场上旗杆的高度，在操场上的a处，他们利用测角仪器测得旗杆cd的顶端的仰角为23，再沿ac的方向前进20米到达b处，又测得旗杆cd的顶端的仰角为36，已知测角仪器的高度为1.2米,求旗杆cd的高度.（精确到0.1米）由同学们仿照例题画出图形并解答，答案为：21.6米.四、求调整后楼梯多占的地面长.4432dcba例4、(06十堰市)武当山风景管理区，为提高游客到某点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44改为32，已知原台阶ab的长为5米，(bc所在的地面为水平面).试求改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)分析：欲把台阶的倾角由44改为32，显然台阶应加长、所占的地面也变长，如图，ad表示加长后的台阶，则bd表示台阶加长后地面上多占的一端，观察图形，显然它具备“双直角三角形”模型的特征.在rtabc中，bc=abcos44=5cos443.597.在rtacd中，cd=5.558，bd=cdbc=5.5583.5971.96即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.练习： 1、（四川广安）如图, 海上有一灯塔p, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至a点处测得p在它的北偏东600的方向, 继续行驶20分钟后, 到达b处又测得灯塔p在它的北偏东450方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?提示：欲判断客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险，只要求出点p到线段ab所在直线的距离与3海里比较大小，即可判断有无触礁危险.为此过p作pcab于c点,构造出“双直角三角形”模型rtacp、rtbcp；由题意知:ab=9=3, pab=900600=300 ，pbc=900450=450, pcb=900 pc=bcc在rtabc中: