江西省宜市宜中学高中数学 归纳推理导学案 文 新人教A版选修12(1).doc

江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 归纳推理导学案 文 新人教a版选修1-2 年 月 日星期 第 节 级高中 班 学号 姓名 学习目标：通过数学实例，使学生经历观察，发现，归纳的过程，理解归纳推理。学习重点：学习实例理解归纳的基本数学原理，养成对数学问题“大胆猜测，小心求证”的数学思维习惯。学习难点：相对于数学结论的归纳，数学方法的归纳更难，要求更高。培养学生运用类比推理探索问题的能力，养成运用归纳推理习惯成功从这里起步！学习过程：1、 预习导航，要点指津（约3分钟）引例1，在历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地为人类服务，人们提出过许多永动机的设计方案，但是，这些设计方案都以失败而告终，从大量的失败案例中，科学界归纳出一个结论：不可能制造出永动机，后来俄国著名科学家罗蒙偌索夫提出了能量守恒定理，从理论上说明了制造永动机是不可能的。引例2，著名的哥得巴赫通过观察 6=3+3,8=3+5,12=5+7，14=5+7,16=5+11，18=7+11,20=3+17 -30=13+17-猜想出以下结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和，这就是著名的哥得巴赫猜想。这个结论至今都没有得到证明，仍然是猜想。群策群力，泰山能移！二、自主探索，独立思考（约10分钟）在上面的两个引例的推理过程中，都有共同之处；根据一类事物中部分事物的具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理。仿照上面的归纳方法，思考下面的二个问题：例1.归纳凸多多变形的内角和公式。解析：观察三角形内角和 凸四边形内角和 凸五边形内角和 - 凸n边形内角和例2，已知数列的通项公式是，所以，所以这个数列的每一项都是1吗？答，显然，时，例3，设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4) 2，f(8)，f(16) 9观察上述结果，可推测一般的结论为_解析 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n).在上面的两个引例的推理过程中，都有共同之处；根据一类事物中部分事物的具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理，那么根据以上三个例题，你能总结出归纳推理的特点吗？特点1，归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，由归纳得出的结论超越了前提所包含的范围。特点2，归纳推理若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的想象，因而结论具有猜测的性质。特点3，归纳的前提是特殊情况，所以归纳推理是立足于观察，经验和实验的基础上的三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）解难答疑，明辨是非！例4，如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(a)根据上面思考，总结的归纳法的一般规律，大家一起来归纳下面两个问题例5，在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数，棱数，面数满足的关系列出常见的凸多面体 分析，考察一些多面体，将这些多面体的面数（f），棱数（e），顶点数（v）列出，得到下表多面体面数（f)棱数（e）顶点数（v）三棱锥464四棱锥585五棱锥6106三棱柱596五棱柱71710立方体6128八面体8126十二面体123020 从这些事实中，可以归纳出v-e+f=2例6，如果面积是一定的，什么样的平面图形的周长最小，试猜测结论。解析：考虑单位面积的正三角形，正四边形，正六边形，正八边形，他们的周长分别记做可得下表4.5643.723.64归纳上述结果，可以发现；面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小。于是猜测，图形面积一定，园的周长最小。四、展示你的收获（约8分钟）分享成果，共同进步！展示例1列表格，数各多面体的面数，棱数，顶点数和最后的结论，并用三棱台，四棱台去检验结论的真。假，展示例2的计算结果和最后结论。五、重、难、疑点评析（约5分钟）解难答疑，明辨是非！归纳出来的结论不一定是正确的，一般正确的命题我们要证明，错误的命题通过举反例来说明，例4的结论是著名的欧拉公式，例5是常规结论，限于我们现在的知识都不好证明，所以我们在学习过程中，不但要重视结论的归纳，也要重视方法的归纳。特别是数列中递推关系的归纳。例6，某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、 (3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值解析(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出f(n1)f(n)4n.因为f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.（3） 当n1时 六、达标检测（100分）（约8分钟）大显身手，胜券在握！一，选择题1.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()a(7,5) b(5,7)c(2,10) d(10,1)解析：依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n组整数对的和为n1，且有n个整数对这样前n组一共有个整数对注意到600，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nn*)，则a()a2nbn2c3n dnn解析：再续写一个不等式：x44，由此可得ann.答案：d二、填空题 5.已知数列an2n1(nn*)把数列an的各项排成如图所示的三角形数阵记s(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则s(10,6)对应于数阵中的数是_解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数列bn，则b11，bnbn12(n1)，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12(n1)(n2)11n2n1，b1010210191，s(10,6)b102(61)101.答案：101三、解答题6观察下列等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：由可看出，两角差为30，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：若30，则30，sin2cos2sin cos ，也可直接写成sin2cos2(30)sin cos(30).下面进行证明：左边sin cos(30)sin (cos cos 30sin sin 30)cos 2cos 2sin 2sin 2右边故sin2cos2(30)sin cos(30).7(2012滨州模拟)设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明解：f(0)f(1).同理f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想：当x1x21时，f(x1)f(x2).证明：设x1x21，则f(x1)f(x2).故猜想成立本课小结，归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的推理模式，它包括不完全归纳法和完全归纳法，由于完全归纳法是穷尽了被考擦对象的一切特例后才做出的结论，因而结论是可靠的，完全归纳法是一种必然性推理。但是要无一遗漏的考察所有特例，完全归纳法发现功能是不强大的，我们现在学习的不完全归纳法。由于不完全归纳法得出的结论不一定正确。所以怎么证明由不完全归纳法得出的结论是很重要的，我们更要要从学习中归纳证明方法。宜春中学数学学科选修（2-2）册第一章章节第第一课时（学生版）归纳推理导学案 编号：01编写：李迎春 审核：高二数学（理）备课组 年 月 日星期 第 节 级高中 班 学号 姓名 学习目标：通过数学实例，使学生经历观察，发现，归纳的过程，理解归纳推理。学习重点：学习实例理解归纳的基本数学原理，养成对数学问题“大胆猜测，小心求证”的数学思维习惯。学习难点：相对于数学结论的归纳，数学方法的归纳更难，要求更高。成功从这里起步！学习过程：2、 预习导航，要点指津（约3分钟）引例1，在历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地为人类服务，人们提出过许多永动机的设计方案，但是，这些设计方案都以失败而告终，从大量的失败案例中，科学界归纳出一个结论：不可能制造出永动机，后来俄国著名科学家罗蒙偌索夫提出了能量守恒定理，从理论上说明了制造永动机是不可能的。引例2，著名的哥得巴赫通过观察 6=3+3,8=3+5,12=5+7，14=5+7,16=5+11，18=7+11,20=3+17 -30=13+17-猜想出以下结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和，这就是著名的哥得巴赫猜想。这个结论至今都没有得到证明，仍然是猜想。二、自主探索，独立思考（约10分钟）群策群力，泰山能移！在上面的两个引例的推理过程中，都有共同之处；根据一类事物中部分事物的具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理。仿照上面的归纳方法，思考下面的二个问题：例1.归纳凸多多变形的内角和公式。例2，已知数列的通项公式是，所以，所以这个数列的每一项都是1吗？例3，设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4) 2，f(8)，f(16) 观察上述结果，可推测一般的结论为_在上面的两个引例的推理过程中，都有共同之处；根据一类事物中部分事物的具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理，那么根据以上三个例题，你能总结出归纳推理的特点吗？特点1，归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，由归纳得出的结论超越了前提所包含的范围。特点2，归纳推理若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的想象，因而结论具有猜测的性质。特点3，归纳的前提是特殊情况，所以归纳推理是立足于观察，经验和实验的基础上的三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）解难答疑，明辨是非！例4，如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()根据上面思考，总结的归纳法的一般规律，大家一起来归纳下面两个问题例5，在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数，棱数，面数满足的关系列出常见的凸多面体 分析，考察一些多面体，将这些多面体的面数（f），棱数（e），顶点数（v）列出，得到下表例6，如果面积是一定的，什么样的平面图形的周长最小，试猜测结论。四、展示你的收获（约8分钟）分享成果，共同进步！展示例1列表格，数各多面体的面数，棱数，顶点数和最后的结论，并用三棱台，四棱台去检验结论的真。假，展示例2的计算结果和最后结论。五、重、难、疑点评析（约5分钟）解难答疑，明辨是非！归纳出来的结论不一定是正确的，一般正确的命题我们要证明，错误的命题通过举反例来说明，例4的结论是著名的欧拉公式，例5是常规结论，限于我们现在的知识都不好证明，所以我们在学习过程中，不但要重视结论的归纳，也要重视方法的归纳。特别是数列中递推关系的归纳。例6，某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、 (3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值六、达标检测（100分）（约8分钟）大显身手，胜券在握！一，选择题1.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()a(7,5) b(5,7)c(2,10) d(10,1)2(2012汕头模拟)观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是()an(n1)(n2)(3n2)n2bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2cn(n1)(n2)(3n1)n2dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)23(2011江西高考)观察下列各式：553 125,5615 625，5778 125，则52 011的末四位数字为()a3 125 b5 625c0 625 d8 1254(2012临沂模拟)已知x0，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nn*)，则a()a2nbn2c3n dnn二、填空题 5.已知数列an2n1(nn*)把数列an的各项排成如图所示的三角形数阵记s(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则s(10,6)对应于数阵中的数是_三、解答题6观察下列等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的