江西省师大附中、鹰潭一中高三数学5月联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

江西师大附中 鹰潭一中重点中学联考数学（理科）试卷【试卷综析】本卷命题突出以能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，而不是简单的重现，注重知识的综合性和灵活应用，很多题目新颖，没有可借鉴的方法，有利于考查考生的潜能，这与高考的宗旨是一致的，题型全面，知识点涉及多，增加了思考量，控制计算量，要求考生抓住问题的实质，能有效的展示考生的思维水平和创造意识，本卷是一份立意较高的试卷.一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)1已知集合，则（ ）a1,2) b c0,1 d【知识点】交集、补集的定义；函数的定义域、值域的求法;点集与数集的区别.【答案解析】 d 解析 ：解：有已知条件可知：集合m与集合n均为点集, ，,则，故选d【思路点拨】本题先利用点集的定义求出集合m与集合n，再用交集、补集的定义得到结果.2复数 的共扼复数表示的点在（ ）a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限【知识点】复数;共扼算数;分母实数化.【答案解析】c解析：解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i, ,的共扼复数为，它表示的点为在第三象限.【思路点拨】本题为分式形式，先考化简，找出化简后的z的共扼复数，确定复数的坐标，可得正确结果.3阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（ ） a bc d【知识点】程序框图.【答案解析】a解析 ：解：由程序框图得：第一次运行i=1，a=4；第二次运行i=2，a=8；第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3.故选a【思路点拨】由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值.4若 ，则的展开式中常数项为（）ab cd【知识点】积分的计算；导数；二项式定理；特定项的求法.【答案解析】c解析：解：，的常数项为第r+1项，所以答案为c【思路点拨】由微积分的基本定理求出n的值，再由二项式定理求特定项的系数.5右图是函数yasin(x)(，)图像的一部分为了得到这个函数的图像，只要将ysin x(xr)的图像上所有的点（）a向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.b向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.c向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.d向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.【知识点】函数y=asin（x+）的图象变换.【答案解析】 a 解析 ：解：由图象可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+）.代入可得的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（xr）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故选a.【思路点拨】先根据函数的周期和振幅确定w和a的值，再代入特殊点可确定的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可.【典型总结】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题.根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求.三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的.6如图，已知圆，四边形 为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形abcd绕圆心m转动时，的取值范围是 （ ）a bc d【知识点】圆的方程；向量在几何中的应用；向量的运算.【答案解析】b解析：解：因为圆m：（x-3）2+（y-3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2.,所以b正确.【思路点拨】确定圆心坐标，半径，找到向量的模长，按向量的运算分解，根据向量数量积的定义求出范围.7设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）a bc d 【知识点】等差数列的求和公式; 函数的单调性的应用; 构造函数的技巧.【答案解析】a解析 ：解：构造函数f（x）=（x-1）3+2014x，则f（x）=3（x-1）2+20140，函数f（x）=（x-1）3+2014x单调递增，f（a3）=4028f（a2012）=0，a2012a3，排除b和d，已知两式相加可得（a2012-1）3+2014a2012+（a3-1）3+2014a3=4028分解因式可得（a3+a2012-2）（a2012-1）2-（a2012-1）（a3-1）+（a3-1）2+2014（a3+a2012）=4028，令a3+a2012=t，则有g（t）=（a2012-1）2-（a2012-1）（a3-1）+（a3-1）2（t-2）+2014t，（a2012-1）2-（a2012-1）（a3-1）+（a3-1）20，g（t）为增函数，又g（2）=4028，必有t=2，即a3+a2012=2，s2014=2014,故选：a【思路点拨】构造函数f（x）=（x-1）3+2014x，由函数的单调性可判a2012a3，已知两式相加分解因式，由g（t）为增函数，且g（2）=4028，可得t=2，进而由等差数列的性质和求和公式可得.8中心在原点，焦点在x轴上的双曲线c的离心率为2，直线与双曲线c交于a，b两点，线段ab中点m在第一象限，并且在抛物线上，且m到抛物线焦点的距离为p，则直线的斜率为（ ）a b c d 【知识点】圆锥曲线的定义；点差法的应用；直线与圆锥曲线相交问题.【答案解析】c解析：解：m在抛物线y2=2px（p0）上，且m到抛物线焦点的距离为p m点的坐标为设双曲线方程为，a（x1，y1），b（x2，y2），则 两式相减，并将线段ab中点m的坐标代入，可得 【思路点拨】利用抛物线的定义，确定m的坐标，利用点差法将线段ab中点m的坐标代入，即可求得.9若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（）a b8 c d2【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用;对数运算法则的应用.【答案解析】b 解析 ：解：实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx-x2求导：y（x）=-2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=-2x，解得：x=1或x=-（舍），把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），切点到直线y=x+2的距离：=，（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8故选：b【思路点拨】由题设b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x2；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）2+（b-d）2的最小值10如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数的图像为（ ）【知识点】函数模型的应用与选择；分段函数的图像.【答案解析】a解析：解：解：由题意知，每分钟滴下cm3药液，当4h13时，x=42（13-h），即，此时0x144；当1h4时，x=429+22（4-h），即，此时144x156函数单调递减，且144x156时，递减速度变快故选：a.【思路点拨】每分钟滴下cm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13-h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4-h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系二、选做题：（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评分，本题共5分。）11（1）已知曲线c的参数方程为（t为参数），c在点处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（ ） 【知识点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化【答案解析】b解析 ：解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2， 曲线c是以（0，0）为圆心，半径等于的圆c在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=cos，y=sin，代入x+y=2，并整理得cos+sin-2=0，即sin(+)或cos()，则l的极坐标方程为sin(+)或cos()，故选：b.【思路点拨】先求出曲线c的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=cos，y=sin代换求得其极坐标方程即可.（2）若关于x的不等式在r上的解集为，则实数的取值范围是（ ） 【知识点】绝对值和的几何意义；一元二次不等式的解法.【答案解析】c 解析 ：解：|x1|x3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之和，故它的最小值为2，原不等式解集为，2. 即30，解得1a3. 故选：c【思路点拨】先用绝对值和的几何意义求出其最小值为2，再解一元二次不等式.三、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）12已知，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为_【知识点】几何概型的概率计算公式.【答案解析】解析 ：解：由图形可知，即指,即指,点落入区域的概率=正视图侧视图俯视图【思路点拨】首先确定几何度量，然后分别计算试验对应的几何度量和所求事件的几何度量，然后套用公式求解.13一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是_.【知识点】由三视图求面积、体积【答案解析】 解析 ：解：由三视图可知：几何体是三棱锥，正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，三棱锥的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，几何体的体积v= 111= 故答案为：【思路点拨】几何体是三棱锥，结合三视图判断知：三棱锥的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算14定义：对于区间,则为区间长度.若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数的取值范围是_.【知识点】一元二次不等式的应用；不等式的解集；根与系数的关系.【答案解析】或解析：解：注意到不等式左边的分子、分母关于x的二次式的系数的关系：（a2+4a-5）-（2a2+2）=-a2+4a-7设关于x的方程x2+（2a2+2）x-a2+4a-7=0，2+（a2+4a-5）x-a2+4a-7=0的两根分别为x1和x2（x1x2）、x3和x4（x3x4）注意到：x1x2=x3x4=-a2+4a-7=-（a-2）2-30（x1+x2）-（x3+x4）=（a2+4a-5）-（2a2+2）=-a2+4a-70，所以x1、x2、x3、x4的大小关系是x1x3x2x4，故原不等式的解集为（x1，x3）（x2，x4），由题意得（x3-x1）+（x4-x2）4，即a2-4a+74，解得a1或a3故答案为：a3或a1【思路点拨】分式不等式的同解关系，注意不等式系数的特点，利用根与系数的关系依题意可得.15给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：_（1）“”是“”的充要条件；（2）已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；（3）函数在区间上只有1个零点；（4）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（5）设随机变量服从正态分布n(2,9)，若p(c1)p(c1)，则c等于3；【知识点】命题的真假判断与应用【答案解析】（2）、（3） 解析 ：解：（1）b2=ac推不出实数a、b、c成等比数列，比如a=b=c=0，反之，实数a、b、c成等比数列，则b2=ac，故“b2=ac”是“实数a、b、c成等比数列”的必要不充分条件，故（1）错；（2）已知线性回归方程当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位，故（2）正确；（3）函数在区间（-1，1）上连续，且为增函数，由f（-1）f（1）0，根据零点存在定理得，函数f（x）在区间（-1，1）上只有1个零点故（3）正确；（4）命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x2-3x+20”，故（4）错；（5）设随机变量服从正态分布n（2，9），若p（c+1）=p（c-1），则对称轴为x=2，c+1+c-1=4，故c=2，故（5）错正确命题的序号为：（2）、（3）故答案为：（2）、（3）【思路点拨】运用充分必要条件的定义和等比数列的概念，即可判断（1）；由线性回归方程的知识来判断（2）；运用零点存在定理判断（3）；由原命题与逆否命题的关系来判断（4）；根据正态分布的特点和曲线表示的意义，即可判断（5）四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的最小值和最大值； （2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值。【知识点】两角和与差公式；三角函数的最值；正余弦定理；向量的计算.【答案解析】(1)最小值是，最大值是（2）a=1,b=2解析：解：(1) 。3分，从而。则的最小值是，最大值是。6分（2），则，解得.9分向量与向量共线，由正弦定理得， 由余弦定理得，即由解得.12分【思路点拨】（1）利用诱导公式转变成相同的角，化成一个三角函数，根据定义域求出最值.（2）依据函数值求出角c，利用向量共线的条件求出a、b的关系，代入余弦公式求出值.【典型总结】三角求最值，求周期，求增减性的问题一般都把所给式子化成一个三角函数的形式，用到三角形角与边的转化一般都涉及正余弦定理.17（本题满分12分）某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况，从各班抽取了一批学生进行测试，全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试，成绩均分为a，b，c，d，e五个等级. 某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示，其中“理论部分”科目测试成绩为b的考生有10人.（1）求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为a的人数；（2）若等级a，b，c，d，e分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生 “理论部分”科目的平均分；（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【知识点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数【答案解析】（1）3人；(2)（i）2.9，（ii）1617181920的数学期望为 解析 ：解：（1）因为“理论部分”科目中成绩等级为b的考生有10人，所以该考场有人，所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为a的人数为人4分(2)（i） 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为6分（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20， ， 所以的分布列为1617181920所以 所以的数学期望为 12分【思路点拨】（1）由已知条件推导出该考场考生总人数为40人，由此能求出该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为a的人数（2）（i）由频率分布直方图能求出该考场考生“理论部分”科目的平均分（ii）由题意知两人成绩之和x的可能取值为16，17，18，19，20，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列18（本题满分12分）如图，四边形中（图1），是的中点，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求直线ae与平面adc所成角的正弦值。【知识点】二面角的定义；勾股定理；线面垂直的判定定理.直线与平面所成的角，法向量，空间坐标系.【答案解析】解析：证明：如图4，取bd中点m，连接am，me.因为ab=ad=，所以ambd， 图4 因为db=2，dc=1，bc=，满足：db2+dc2=bc2， 所以bcd是以bc为斜边的直角三角形，bddc， 因为e是bc的中点，所以me为bcd的中位线，me， mebd，me=，（2分） ame是二面角a-bd-c的平面角，=. ，且am、me是平面ame内两条相交于点m的直线，平面aem，.（4分） ，为等腰直角三角形，在ame中，由余弦定理得：， ，.（6分）图5（）如图5，以m为原点，mb所在直线为x轴，me所在直线为y轴，平行于ea的直线为z轴，建立空间直角坐标系，（7分）则由（）及已知条件可知b(1，0，0)，d，c.则（8分）设平面acd的法向量为=，则令则z=-2，（10分）记与平面所成的角为，则. （12分）【思路点拨】依据题中数据，知和都为直角三角形，连接am与me可构造出二面角，计算出ae与me垂直是关键，（2）构建空间坐标系，找出各点坐标，利用平面内的两条不平行的向量，求出法向量，利用直线和平面所成角与直线与平面法向量所成角的关系可求值.19（本题满分12分）已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，成等差数列；（1）求数列的通项公式；（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。【知识点】等差、等比数列的性质与运算；错位相减法；函数单调性；恒成立问题.【答案解析】（1） （2）解析 ：解：（1）5分（2）， 8分若对于恒成立，则，令，所以为减函数， 12分【思路点拨】（1）利用等差、等比数列的性质与运算解出公比q与的值；进而得到通项公式.（2）用错位相减法求出，再利用函数单调性，恒成立问题解得.20（本题满分13分