（应用数学专业论文）一致突变人口过程及其相应的积分算子半群.pdf

一致突变人口过程及其相应的积分算子半群 应用数学专业硕士研究生朱亚辉 指导教师李扬荣教授 摘要 关于m a r k o v 过程理论的研究 历来有概率方法和分析方法 概率方法直观 形象 明晰 概率意义比较清楚 分析方法则有表达简洁 明快的特点 就应用而言 许多物理 学家 生物学家 化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果 而分析方法所表达的结 果更适合于将概率论与其他数学学科的成就联系起来或利用现代数学的成果 本文着力 于使用分析的方法 以算子半群的理论为工具 研究一类重要的时间连续马氏链一 致突变人口过程 一致突变人口过程是由b r o c k w e l l 等人引入的一类重要的时间连续马氏链 1 4 状态 空间e o 1 2 其g 矩阵q 蚴 j e 定义为 怡 徊甄 其中口 0 6 20 d 0 为了系统地了解一致突变人口过程 本文将给出一致突变人口矩阵q 和一致突变人 口矩阵的最小q 一函数f t 的一些基本性质如单调性 对偶性和f e u e r r e u t e r r i l e y 简称 f r r 等性质 我们得到如下结果 定理2 1 1 1 矩阵口是对偶的 2 矩阵q 是单调的 3 矩阵q 不是f r r 的 4 矩阵q 是零流出的 5 矩阵q 是正则的 定理2 1 2 1 f t 是唯一且忠实的 2 f t 是随机单调的 3 f t 不是f r r 的 4 f t 不是强单调的 5 f t 不是对偶的 6 f t 是强遍历的 y r l i 在 5 着重讨论了转移函数在k 上的性质 得出了一般的无界q 一矩阵q 在 k 上能生成一次正压缩积分半群 在yr 5 的基础上 我们将对一致突变人口矩阵 口做一些限制 证明由口导出的算子q 在k 上能生成正的一次压缩积分半群 我们 有如下的结果 定理4 1 1q k 在b a n a c h 空间k 上生成一次正的压缩积分半群t t t 曩j e 此时t t f t 定理4 1 2 设t t 如定理4 1 1 所得 则有 1 t t 是随机单调的 2 t t 不是f r r 的 3 t c t 不是强单调的 且下列极限 熙 t 2 乃 t e t 0 存在 定理4 1 3 刁丽在b a n a c h 空间1 1 上生成正的压缩半群s t t i j e 此时 s t f c t 定理4 1 4 设s t 如定理4 1 3 所得 则有 1 s t 是随机单调的 2 s t 不是f r r 的 3 s t 不是强单调的 4 s t 不是对偶的 5 s t 是强遍历的 由定理2 1 2 知 致突变人口矩阵的最小9 函数f 力是随机单调的 因此根据s i e g m u n d 定理知f t 必是某个过程的对偶 我们将在第二部分中讨论与一致突变人口过程 有关的另一类时间连续马氏链一致突变人口对偶过程 本章除了讨论一致突变人口 对偶矩阵q 2 及其最小q 一函数f 2 t 的一些基本性质外 我们还将证明一致突变人口 对偶矩阵q 2 导出的算子在f 1 或c o 空间上生成正压缩半群 我们可得到如下的结果 定理5 1 1 1 q 2 是f r r 的 2 q 2 是对偶的 3 q 2 在f 空间上是零流入的 4 q 2 在f 1 空间上是强零流入的 i i 5 q 2 在k 空间上是零流出的 6 q 2 不是单调的 定理5 1 2 1 f 2 t 是f r r 的 2 f 2 t 是对偶的 3 f 2 t 不是单调的 4 f 2 t 不是强单调的 5 f 2 t 是强遍历的 定理6 1 2 1 q 在l l 空间上生成正的压缩半群f 2 t 2 q 器在1 1 上生成正的压缩半群f 2 t 3 q 撼在c o 空间上生成正的压缩半群一砷 t 4 q 留在伽空间上生成正的压缩半群f 2 t 5 q 罂在i o o 空间上生成正的压缩积分半群 关键词 参数连续m a r k o v 链 一致突变人口过程 一致突变人口对偶过程 一次正 压缩积分半群 压缩半群 i t h eb i r t h d e a t hp r o c e s sw i t hu n i f o r mc a t a s t r o p h e s a n di t sc o r r e s p o n d i n gg e n e r a t o r so fi n t e g r a t e d s e m i g r u o p m a j o r a p p l i e dm a t h e m a t i c s t u t o r l iy a n g r o n g a u t h o r z h uy a h u i a b s t r a c t i nt h es t u d yo ft h e o r i e so fm a r k o vp r o c e s s e s t h e r et r a d i t i o n a l l ya r et w om e t h o d s t h e p r o b a b i l i s t i em e t h o da n dt h ea n a l y t i c a lm e t h o d t h ep r o b a b l em e t h o d i ss t r a i g h t f o r w a r d v i v i d a n dd i s t i n c ti ne x p r e s s i o n a sf a x t h ea p p l i c a t i o ni sc o n c e r n e d m a n ys p e c i a l i s t ss u c h 拍 p h y s i c i s t s b i o l o g i s t sa n dc h e m i s t sm f o n do ft h er e s u l t se x p r e s s e db yt h ep r o b a b l em e t h o d h o w e v e r t h er e s u l t se x p r e s s e db yt h ea n a l y t i c a lm e t h o d i sm u c he a s i e rt oc o m b i n ea c h i e v e l n e i l t o fm o d e r nm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r w et r e et h ea n a l y t i c a lm e t h o d b yu s i n gt h et h e o r yo f s e m i f o u p so fl i n e a ro p e r a t o r s w es t u d yt h eb i r t h d e a t hp r o c e s sw i t hu n i f o r mc a t a s t r o p h e s c o n s i d e rt h eb i r t h d e a t hp r o c e s s e sw i t hu n i f o r mc a t a s t r o p h e sw h i c hi sac o n t i n u o u s t i m e m a r k o vc h a i i 璩o n t h es t a t e s p a c e e o 1 2 a n d t h eq m a t r i x q 妨 i j e 蜘怡 徊 j j j 一 十 w h e r ed 0 b 0 d 0 f i r s t w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fb i r t h d e a t hm a t r i xw i t hu n i f o r l nc a t a s t r o p h e sqa n di t s m i n i m a lq f u n c t i o nf t s u c ha sm o n o t o n i c i t y d u a l i t y f r ra n d8 0o n w eg e t t h e o r e m2 1 1 1 口i sd u a l 2 qi sm o n o t o n e 3 0 j 8n o t f 腿 4 qi sz e r o e x i t 5 口i sr e g u l a r t h e o r e m2 1 2 1 f t i su n i q u ea n dh o n e s t 2 f oi ss t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e 3 f t i sn o t f 砌 4 f t i sn o ts t r o n g l ym o n o t o n e i v 5 f t i sn o td u a l 6 f t i ss t r o n g l ye r g o d i e y r l i 5 g o tt h a tt h e r ei sa o n e t o o n er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt r a n s i t i o nf u n c t i o n sa n dt h e p o s i t i v e o n c e i n t e g r a t e ds e m i g r o u p s o f c o n t r a c t i o n so n kb ys t u d i n g t h e p r o p e r t i e s o f t r a n s i t i o n f u n c t i o n so nl o o o nt h eb a s i so fyr l i 5 w ep l a c er e s t r i c t i o n so nq a n dp r o v et h a tt h e o p e r a t o r sq d e r i v e df r o mt h eb i r t h d e a t hm a t r i xw i t hu n i f o r mc a t a s t r o p h e sqg e n e r a t e sa o n c ep o s i t i v ec o n t r a c i t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u po nj w eg e tag o o dr e s u l t t h e o r e m4 1 1 q kg n e r a t e so n c ep o s i t i v ec o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u pt t b t i j e o nk t h e r e f o r er t f t t h e o r e m4 1 2w ea s s u l n et t a st h e o r e m4 1 1 t h e n 1 t t i ss t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e 2 t t i sn o t f 腿 3 t t i sn o ts t r o n g l ym o n o t o n e ta n dt h el i m i t 觇 t 2 t j t w e t 0 e x i t s t h e o r e m4 1 3 q o l lg n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u ps t t j e o n f la n ds t f t t h e o r e m4 1 4w ea s s u m es t a st h e o r e m4 1 3 t h e n 1 s t i ss t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e 2 s t i sn o tf 赋 3 s t i sn o ts t r o n g l ym o n o t o n e 4 s t i sn o td u a l 5 s t i ss t r o n g l ye r g o d i e w ek n o wt h a tt h eb i r t h d c a t hp r o c e s sw i t hu n i f o r mc a t a s t r o p h e si ss t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e s ot h e r ee x i t sd u a l p r o c e s sf r o ms i e g m u n dt h e o r e m t h e nw ew i l li n t r o d u c ea n o t h e rc o n t i n u o u s t i m em a r k o vc h a i n s t h ed u a lo fb i r t h d c a t hp r o c e s sw i t hu n i f o r mc a t a s t r o p h e s w e w i l ld i s c u s 8t h ep r o p e r t i e so fd u a lb i r t h d e a t hm a t r i xw i t hu n i f o r i nc a t a s t r o p h e sq 2 a n di t s m i n i m a lq f u n c t i o nf 2 t a n dw ew i l lp r o v et h eo p e r a t o r sd e r i v e df r o md u a lm a t r i xq 2 a r eg e n e r a t o r so fp o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u p so n1 1o rc o w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m5 1 1 1 q 2 i sf 砒k 2 口 2 i sd u a l 3 口 2 i sz e r o e n t r a n c ei nm v 4 q 2 i bs t r o n g l yz e r o e n t r a n c ei nl l 5 q 2 i 8z e r o e x i t 6 q 2 n o tm o n o t o n e t h e o r e m5 1 2 1 f 2 j t i sf r e 2 f 2 t j 8d u a l 3 f 2 t i sn o ts t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e 4 f 2 t i sn o ts t r o n g l ym o n o t o n e 5 f 2 t j ss t r o n g l ye g o d i c t h e o r e m6 1 2 1 q g n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u pf 2 t o n1 1 2 q 船g n 盯a t 嘲ap o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u pf 2 t o nl l 3 q 撼g i l e r a t ap o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u pf 2 t o nc o 4 q 2 g n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u pf 2 t o nc o 5 q 2 9 n 目a t o n c ep o s i t i v ec o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m l g r o u p o nl k e y w o r d s c o n t i n u o u s t i m em a r k o vc h a i n s t h eb i r t h d e a t hp r o c e s sw i t hu n i f o r i nc a t a s t r o p h e s d u a lo ft h eb i r t h d e a t hp r o c e s sw i t hu n i f o r l nc a t a s t r o p h e s p o s t i v ec o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u p p o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u p 独创性声明 学位论文题目 二麴塞变厶里过猩丞甚担廑煦毯金簋i 主登 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果 文中己加 了特别标注 对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师 朋友 同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢 学位论文作者 攀毒珑 签字日期 如夕年仁月河日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留 使用学位论文的规 定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允 许论文被查阅和借阅 本人授权西南大学研究生院 筹 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩 印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 本论文 口不保密 口保密期限至年月止 学位论文作者签名 哮雹考夸 签字日i i 扣 年争月妨i i 导师签名 方扔孳 签字i ii i 内7 年牛月 i i 第1 章引言和预备知识 1 1 引言 有界线性算子半群理论是2 0 世纪4 0 年代产生和发展起来的 作为泛函分析的 个分 支越来越被人们重视 算子半群理论在解决抽象发展方程的c a u c h y 问题及在对m a r k o v 过程的系统研究中都成为基本的数学工具 h i n e 和y o s i d a1 9 4 8 年发现生成定理以来 有界线性算子半群理论已得到迅速的发展 它是一个对许多分析领域有大量应用的广泛 的数学课题 自目前 它是一个对近年来 在分布参数系统 现代控制理论 滤波和信息 处理 偏微分方程及随机过程等各个领域都得到广泛的应用 我国的数学家应用有界线 性算子半群理论在人口问题 弹性振动问题及中子迁移理论等具有实际问题背景的研究 中取得了一批出色的成果 m a r k o v 过程最初由俄国数学家m a r k o v 所研究 至今已发展成为概率论中最富理论 意义和应用价值的重要分支 它与泛函分析 微分方程 微分几何 理论物理等学科密切 相关 用到这些学科中的许多结果 反过来 它又在方法上 解释上丰富了这些学科 从 应用方面来看 许多具体的m a r k o v 过程如布朗运动 p o i s s o n 过程 扩散过程都来源于 物理等自然科学和工程技术 因而m a r k o v 过程的一般理论在这些学科及后来兴起的诸如 系统论 自组织理论 数理经济学等中得到广泛的应用 关于m a r k o v 过程的研究 历来有概率方法和分析方法 许多物理学家 生物学家 化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果 而分析方法所表达的结果更适用于将概率 论与其它数学学科的成就联系起来或者利用现代数学的成果 例如i t 6 建立的随机微分方 程理论 角谷静夫 d o o b 等人发现的布朗运动与狄利克雷问题的联系 后来h u n t 等人 研究的相当一般的m a r k o v 过程与位势理论的关系以及新近十几年发展起来的m a l l i a v i n 分析都是这方面的例证 随着有界线性算子半群理论的产生和发展 数学家开始用有界 线性算子半群理论研究m a r k o v 链 并且取得了用概率方法无法得到的广泛结论 例如 f e l l e r 和r e u t e r 在参数连续m a r k o v 链中引入的泛函分析半群方法得到的丰富结果 以及 最近l i y r 建立的m a r k o v 积分算子半群理论都是这方面的例证 本文着力于使用分析的方法 以有界线性算子半群理论为工具 研究一类重要的时 间连续马氏链 致突变人口过程及其相应的积分算子半群 1 2 文献综述 由参数连续m k o v 文献 1 可知 给定一个m a r k o v 链 存在与之相对应的转移函 数 反过来 给定 个转移函数 总能构造 个m a r k o v 链 使得此转移函数就是该m a r k o v 链相对应的转移函数 也就是说转移函数与m a r k o v 链是 对应的 因此 我们甚至可 以说转移函数就是m a r k o v 链 这表明了转移函数在m a r k o v 链理论中的重要地位 早在1 9 5 7 年 ge r e u t e r 6 就研究了与q 一函数相对应的岛半群的生成元与g 一 矩阵q 之间的关系 但ge r e u t e r 的研究限于讨论算子q 叫 和q 1 l 空间上q 一矩阵q 有极大定义域的算子 与转移函数满足前向 后向方程之间的关系 g g u p u r 7 9 中证 明了m m 1 排队模型导出算子q 在1 1 上能生成岛半群 y 亿l i 1 0 对这一结论进行 了改进 给出了生灭矩阵导出算子在f l 上能生成岛半群的条件 b z h u 1 1 给出了生灭 矩阵导出算子在c o 空间上能生成岛半群的条件 yy s h a g s 2 证明了m m 1 排队模 型导出算子q 在c o 上能生成岛半群 本文在他们的基础上将讨论一致突变人口矩阵导 出的算予虿爵在l l 空间上能生成岛半群和一致突变人口对偶矩阵q 2 的导出算子在l l 或c o 空间上生成岛半群 a n d e r s o n 1 1 得 对q 一矩阵口的任意转移函数v 0 p t 在j 1 空间上是一正的强连 续压缩半群 而若v t 是k 上正的岛半群 那么这个半群一定是k 上的一致连续半 群 这是一种平凡的情形 但要求p t 所对应的q 一矩阵口是k 上的一致有界g 一矩 阵 而实际生活中所遇到的参数连续m a r k o v 链所对应的q 一矩阵通常都不满足此性质 a n d e r s o n 1 1 认为k 空间太大了 不可能在其上得到一些有价值的结果 针对此问题 w q z h a o 1 3 在k 空间中找到了一个充分大的子空间 使得转移函数是其上的正的强连续 压缩半群 yrl i 5 1 4 充分利用近年来发展起来的积分算子半群理论 证明了转移函 数是l o o 空间上正的一次强压缩积分算子半群 我们称作m a r k o v 积分算子半群 得到了 转移函数与k 空间上正的一次强压缩积分算子半群的一一对应关系 并且着重考虑了转 移函数在k 空间上的性质 迄今为止 这是首次应用积分算子半群理论来研究参数连续 m a r k o v 链 本文着力研究一类重要的时间连续马氏链 致突变人口过程及其对偶过程 我 们以算子半群理论为工具 首先 我们系统地研究一致突变人口矩阵q 及其转移函数f t 的性质 尤其是一致突变人口矩阵q 在k 上的性质 其次 我们证明了一致突变人口 矩阵的导出算子q k 在k 空间上生成一次正压缩积分半群和导出算子刁丽在1 1 空间上 生成压缩半群 最后 我们讨论了一致突变人口对偶过程 它包括t 一致突变人口对偶 矩阵q 2 及其最小口一函数的性质 一致突变人口对偶矩阵导出算子q l i 萄石 葡丽 和q 的性质 及这些算子生成压缩半群的证明 2 1 3 预备知识 为了叙述方便 我们列出一些相关的概念及相关的结果 定义1 3 1 1 5 强连续半群 设x 是b a n a c h 空间 t c t t o 是映x 到x 内的有 界线性算子的单参数簇 如果它满足 1 t 0 j 是x 上的恒等算子 2 t s t t c s t t 对一切s t 0 成立 半群性质 3 船i l t t z z 0 x 于 切z x 成立 强连续性 则称p t t o 是强连续半群或岛类半群 简称岛半群 定义线性算子 如下 d a x e x 珊笔墨存在 且对任意的z d a 规定 a z 船巫坚 一d t t z t a t l t 邶 则称a 是半群归 t t o 的无穷小生成元 简称生成元 d a 是生成元a 的定义域 定义1 3 2 1 5 设t t 是b a n a c h 空间x 上的岛半群 如果对任意的t 0 有l i t t l i 1 则称t t 为强连续压缩半群或岛压缩半群 简称压缩半群 定义1 3 3 15 设x 是b a n a c h 空间 x 是其对偶空间 对比 x 称 f z z z x z 茹 0 z i l 2 i l 1 1 2 为z 的对偶集 注 若矿 x z x 符号 矿 z 或 矿 都表示矿在z 点的值 线性算子a 是耗散算子 如果它满足对比 d a 存在矿 f z 使得有r e a z 矿 0 引理1 3 4 1 15 线性算子a 是耗散算子当且仅当 i i a i a k 0 a 0 2 0 v z d a a 0 关于岛压缩半群的两个经典刻画一一h i l l e y c e i d a 定理和l u m e r p h i l i p s 定理 定理1 3 5 1 1 6 t t i l l e y o s i d a 定理 一个 无界 算子a 是b a n a 血空间x 上的岛压缩半 群y t 的生成元的充要条件是 a a 是稠定的闭算子 3 b o o o cp a 且预解算子r a a 满足 l i r x a 0 v 0 定理1 3 6 1 s l u m e r p h i l l p s 定理 设a 是b a n a c h 空间x 上的一个稠定线性算子 1 如果a 是耗散算子且存在 个a 0 0 使得i m a o l a x 那么a 是x 上某个 压缩半群t t 的生成元 2 如果a 是x 上压缩半群t t 的生成元 那么对v 0 有i m m a x 且a 是耗散算子 另外 对v z d a 及妇 f c z 有r e 血 矿 0 定义1 3 7 1 5 n 次积分半群 b a n a c h 空间x 上的强连续有界线性算子半群 s t h o 称为由a 生成的 指数有界 n 次积分半群 如果s o 0 且存在常数u 和m 使得 p a c i i i s t l l m d 且 r 一1 z r n e r t s t d t y r v 叠 配 定义1 3 8 1 6 设n 是自然数 s t t o 是b a n a c h 空间x 中的有界线性算子簇 称 s t t 2 0 是一个n 次积分半群 如果s o 0 且 螂 s 石与 门s t r r l 跗 d r z 4 s t r n i s r d r 弘t 0 称 s t f o 是非退化的 如果s t z 0 v t 0 蕴涵z 0 称 s t e o 是指数有界的 如果存在常数m 和 使得 i s t l ls m v t 2 0 积分半群的生成元a 定义如下t d a 如l 存在 使得s t 净 翥 z s r y d r v t 0 且 a z 对于指数有界的n 次积分半群而言 上述两种定义是等价的 定义1 3 9 5 n 次积分半群p t 晓 称为是压缩的 如果 i i s t l l 翱 叽协 丽 其中a 是n 次积分半群 s t t o 的生成元 命题1 3 1 0 1 5 1p t 肋 t 是一转移函数 定义 g g 玎 五p 玎 8 幽 v i j e v t o 4 则 g t t o 是k 上的一次正的压缩积分半群 定理1 3 1 1 1 1 q 一个线性算子 生成指数有界且非退化的压缩积分半群s t 的充分必 要条件是 i o o c p a 其中c r i i 斗 一 一1 是s t 的拉普拉斯变换 即 n a 1 e x t s i t d r 其中 u 定义1 3 1 2 1 参数连续m a x k o v 链 以可数集e o i 2 一 为状态空间 定义在 概率空间 n 只p r 上的随机过程 x t t2o 称作参数连续m a r k o v 链 如果满足对 任意有限个 时间 参数0st 1 t 2 t n k l 及相应的状态 l i 2 i n t i j 当 只 x i x t n 1 n i x t 1 i 1 0 时 有 只 x i i 1 j l x t i x 一i i n i x h i x 耳 x k 1 i x t n i 此等式称为m a x k o v 性质 如果对于8 t 满足0 5 s t 及任意i j e 条件概率耳 x t j l x c s i 只依赖于t s 而与s t 无关 则称随机过程 x t t o 是齐次m a r k o v 链 此时耳仁 t j l x s 时 耳仁0 一s j l x o i 称 p o t 耳 x t j l x o i v i j 曰 t 0 为该随机过程的转移函数 m a r k o v 过程有一个重要的特点s 在已知目前的状态 现在 的条件下 它未来的演变 将来 不依赖于以往的演变 过去 这种在已知 现在 的条件下 将来 与 过去 独立的特点 称为m a r k o v 性质 简称马氏性 由参数连续m a x k o v 链理论 1 1 知道 任何一个m a r k o v 过程被它的转移函数唯一确 定 因此 对m a r k o v 过程的研究就转化为对转移函数的研究 标准转移函数的定义如下t 定义1 3 1 3 1 1 标准转移函数 设可数集e o 1 2 是状态空问 p t 协a t i j e t 芝o 称为标准的转移函数 如果它满足 1 对任意的t 0 p o t 0 且 肿 1 糍i 2 对任意的i e t 0 p i j t 1 特别地 若对v t o i e p i j t 1 则 称 p o t i j e t o 是忠实的 否则称为非忠实的 5 3 对任意的 j e p o t s m k o p k j 8 4 对任意的i e 船舶 t 1 或等价的 对任意的 j e 1 黯册 t 2 如 标准 性 本文始终假定转移函数是标准的 即满足上面的 1 到 4 同时由文献 l 1 知 标准 的转移函数存在如下形式的极限一 lim趔 二鱼 断vi j et40 t j 我们规定q 蜘 j 研 则得到铲矩阵q 及相关概念的定义 定义1 3 1 4 1 1 q 一矩阵 矩阵q q o i j e 称为q 矩阵 如果它满足z 0 s 的 v j e i j 蜘 一俄 兰俄 c o v e j 和 如果对任意的i e 啦 0 称为预解函数 如果对v i j 露及a 0 满足 1 r i i x o 2 j e 1 6 3 勺 a 一 p n p e n i a j p 0 预解方程 4 墨罕匕1 a 1 或等价地 三军k1 a 2 设p j t 是转移函数 则其相应的预解函数定义为 啊 a f 0 e p 玎 t d t v i j e a o 定义1 3 1 8 1 8 一族无限维非负矩阵s t 蜘 t 称为随机单调函数 如果s t 满足 不等式 8 臼 t s i l j 0 v i j e t 0 j 女j i 定义1 3 1 9 1 9 l 一族无限维非负矩阵s t 8 玎 t 称为对偶函数 如果 s t 满足 j i 骧蚤8 i k 归o v j 印 t o 定义1 3 2 0 z o 一族无限维非负矩阵s t 8 q 0 称为f e l l e r r e u t e r r i l e y 函数 简称 f r r 如果s t 满足 当 8 巧 t 20 v j e t 0 定义1 3 2 1 2 1 1 一族无限维非负矩阵s t s q t 称为强单调函数 如果函数s t 是 单调且是f r r 的 定义1 3 2 2 1 给定一族无限维非负矩阵s t 叼 t 如果存在概率测度巧 j 曰 使得对v i j e 都有 熙 t 2 勺 则称s t 是遍历的 为s o t 的遍历极限 若s c t 还满足 t l i r a s u p j e 8 巧 一 jl o 则称函数s t 是强遍历的 定义1 3 2 3 2 2 1 一个q 一矩阵q q o 是单调的 如果q 满足不等式t 讯 q i k j i 1 k j 巧 q 是对偶的 如果q 满足不等式t jj 哦 口i l bj i 7 口是f r r 的 如果q 满足t 蜘妨 0 e 定义1 3 2 4 1 若矩阵q 1 与矩阵q 2 满足下列关系 捌一口 芏 i j e 1 t 其中口里 0 我们称矩阵口 2 是矩阵q 1 的对偶矩阵 定义1 3 2 5 1 2 1 矧一个q 一矩阵q 在k 空间或者在惑空间上是零流出的 如果它 分别满足k 0 或毪 入 o q 一矩阵q 在1 1 空间是强零流入的 如果它满足 f 1 o q 一矩阵q 在l 空间上是零流入的 如果它满足f o 其中 l o o a z z i j q z 0 1 l 毛 1 0 0 i z 0 1 j 1 l l i a j q o l l l iy o 注意 众所周知 一个q 一矩阵q 在k 空间是零流出的与在毪空间上是零流出之 间是等价的关系 因此 我们将它们统称为零流出 但q 一矩阵q 是的强零流入性与零 流入性之间不一定存在等价关系 见文献 2 0 考虑如下形式的b a n a c h 空间 z x i i e e ls u p l 日i 1 1 扛 邶i ix i i i 6 e c 0 z 甄 诞f l l i r a z i o 在l o o l l c o 空间上分别定义如下形式的范数 忙 2 船l 吼忪 差旧川 l c 0 2 罂旧i 在k 空间上定义线性算子q k 如下t jd q z f l q z z 1q f z q z v x d q l 记m t 妒n k 其中e 是l l 空间上的第 个分量为1 其余分量为0 的元 记 d l 扣 f 1i i 毛蜘l o o w e 且 i z i 蜘i s 2 0 因此 该q 矩阵是单调的 见定义1 3 2 3 3 由一致突变人口矩阵口的定义 我们有 i r a d 0 e 显然矩阵q 不是f r r 的 4 要证明一致突变人口矩阵q 是零流出的 我们只需要证明方程 j q 0 0 z 1 只有零解 因为 肚善击2n 0 南叫 蜀 i 1 一n 十 d 由文献 2 5 可得q 矩阵是零流出的 5 由定理2 1 1 4 我们有蛔 q 包0s 1 只有零解 则保守的一致突变人口矩 阵是正则的 见文献 1 定理2 1 2 的证明 1 因为一致突变人口矩阵是正则的 根据文献 l 1 知一致突变人口 矩阵的最小q 一函数f t 是忠实的 它既是前向方程的唯一解又是后向方程的唯一解 并且f t 是唯一的q 一函数 2 由文献 1 9 1 知q 一矩阵0 的最小转移函数是单调的充分必要条件是q 是零流出 的且是随机单调的 显然由定理2 1 1 的结论知一致突变人口矩阵的转移函数f t 是随 机单调的 3 根据yr l i 2 2 的定理4 3 可知 显然一致突变人口矩阵的转移函数f t 不是 f p r 的 4 根据见定义1 3 2 0 显然一致突变人口矩阵的转移函数f t 不是强单调的 5 因为一致突变人口矩阵q 是对偶的 由文献 l9 的命题2 4 知t f a t 1 t j e k ok o 即岛 血 t 是关于状态 的递减函数 因此l i m i 反 o 缸 t 的极限存在 则函数f t 的f r r 性和对偶性是等价的 由定理2 1 2 3 知f t 不是f r r 的 因此f t 不是对偶 的 6 由文献 1 的定理6 3 3 知强遍历的判断依据 f t 是强遍历的当且仅当下述不 等式 蜘巧 1 其中i o 3 0 存在 个有界非负解z z 女 k e 一般情况这种解很难得到 但对于一致突变人口矩 阵q 而言 可令知 o 否1 i 1 t 则当 2 l 时 j o 蜘巧 i 1 卜1 d 一 a i b i d n 例 一1 故z o 是满足 3 式的一个有界非负解 从而f t 是强遍历的 1 2 第3 章一致突变人口矩阵导出的算子 3 1 一致突变人口矩阵q 导出算子的性质 在k 空间上一致突变人口矩阵q 导出的算子q k 具有如下性质 定理3 1 1 1 对v a 0 盯一q z 在k 空间上是单射 2 对坝 0 m 一口k 在k 空间上是满射 3 q i 是耗散算子 4 q k 是闭算子 在1 1 空间上一致突变人口矩阵q 导出的算子刁i 具有如下性质t 定理3 1 2 1 q o t 在f l 空间上是稠定线性算子 2 q o 是耗散算子 q o t 是能闭算子 刁丽是耗散算子 3 对v 0 x 1 一一q o h 在z 1 空间上是单射 4 对v a 0 h i 一萄丽在z 1 空间上是满射 在伽空间上一致突变人口矩阵q 导出的算子q k 具有如下性质 定理3 1 3 1 q 在匈空间上是稠定的 2 q 是耗散算子 3 q c o 在咖空间上是能闭的线性算子 4 对枞 0 m q c 0 在c o 空间上是单射 3 2 证明 定理3 1 1 的证明 1 因为一致突变人口矩阵q 是零流出的 所以有 f z l i h i q 净 o o 当 d q c k 时 由 a j q k 净 m q x 0 可推出z 0 即对v 0 而言 盯一q k 在k 上是单射 2 因为西 a a i je 刀 是一致突变人口矩阵的转移函数f 0 相应的预解函 数 螂 f e 枷础 d r v i j e 抄0 而f t 满足后向方程 见定理2 1 2 1 则西 a 也满足后向方程 即 j q 圣 a i 故对每个z z 有 m q 西 a 扣 z 记y 圣 a z 易知v z 故q x y 一 l 从而y d q 1 且 j q 阳 z 故对任意的 0 x i q 是满射 1 3 3 由定理3 1 1 的 1 和 2 知 x x q k 一1 存在且 盯一q l 一1 圣 则 i i a q l 一1 i i l i i 西 1 zl l 一2 s u pi e 4 i j 1 巧 s 邶u p i 暑上8 删l sz o o c 1 t d ti i 圳k i i i i k 这就说明了i i 协一q f 睑a f0 其中 d q t 且 0 由引理1 3 4 知q 在 空间k 上是耗散算子 4 由定理3 1 1 3 知0n q k 1 z 忆s l izi i t 即 一q l 1 是有界线性算 子 由闭图象定理知n q k 1 是闭算予 则a q k 是闭算子 那么q 是闭算子 定理3 1 2 的证明t 1 由q o l 的定义 显然它是稠定线性算子 2 为证q 讲 是耗散的 由引理1 3 4 我们只需要证明0z a j q o t i i t a0 队 事实上 设z x o l x n 0 m x m q x o z l 0 口 一口 一da d b d d d d d d d o a b a n 2 b 2 d d d 0 0 a 2 b n 3 b 3 d d 0 0 0 一 口 3 6 口 4 b 4 d nn 协 a z o d z i 一陋 0 1 6 1 x i l n n i b i d x i d 一 一 n n b x n 0 i lk i l 则对比 m 我们有 i i 盯一q o t nn ln f a z o d 张i l 一陋 0 1 b x i l o 口 i b i d z i d 瓢i li 1k i 1 nnn l nn o n i 知l d i 瓢i a a i b i d l q i 一芝 n 0 1 6 i 甄一l i 一 d i z 1t 1i 1i 1 七 t 1 nnn nn 划z 忆 口 i b i d i 扣 曲 旧i d iz i 一 d i 瓢i i oi 0女 1 1k i l a 0zl i i 1 4 d a 0 0 0 i d o b d a b o 0 i l d d a a 2 b 2 d a 2 b 0 i 2 l 二 二 二 1 一d 3 b 3 8a a 3 b i a 4 b t 4 d i l d d d d a f 仁焉 a z o a z l 叫卜蹈钆 h y 吡 o 删知j a j q 净i i c l l a i q x l k o i 一1 s 锄u p 刊荟计 叶西 d z i o 0 删撕i 0 1 i d 善i a 口 l o b i o d z i o 一 a i o b c t o l i k o i o 1 d iz t i n n i o b i o a i i 一 a l o b i l k o 2 lz0 c 0 o l o b i o d iz o i i o d l l 一 口 i o b i a 0z 所以q k 是耗散算子 3 因为q c 是稠定算子 从而由文献 1 5 的定理4 5 知 q q 是一能闭算子 4 因为q c o 是耗散算子 所以对v a 0 a j q c d 在c o 上是单射 1 6 第4 章一致突变人口矩阵导出的算子与半群 4 1 一致突变人口矩阵口导出算子生成半群的刻划 本节内容包括两个方面t 首先 我们将证明一致突变人i i 矩阵导出的算子q k 在k 空间上生成一次正压缩积分半群t t 并得出该积分半群的性质 其次 我们证明一致突 变人i 1 矩阵的导出算子刁面在z l 空间上生成正压缩半群s t 并得出该压缩半群的性质 我们有如下结果 定理4 1 1q k 在b a n a c h 空间k 上生成一次正的压缩积分半群t t t i j f 此时f t f t 定理4 1 2 设t t 如定理4 1 1 所得 则有 1 t t 是随机单调的 2 t t 不是f i l r 的 3 t 0 不是强单调的 且下列极限 规 t 5 t a t 巧 e t 0