高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法课件 新人教B版必修5.ppt

3 3一元二次不等式及其解法 一 二 三 一 一元二次不等式的概念 问题思考 1 填空 形如ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 其中a 0 的不等式叫做一元二次不等式 用文字表述为 一般地 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式不等式 叫做一元二次不等式 一 二 三 2 下列不等式中 哪些是一元二次不等式 其中a b c m为常数 1 ax2 0 2 x3 5x 6 0 3 x x2 0 4 x2 0 5 mx2 5y 0 6 ax2 bx c 0 一 二 三 提示 一 二 三 二 二次函数 一元二次方程和一元二次不等式之间的联系 问题思考 1 填空 设f x ax2 bx c a 0 一 二 三 2 如果一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为r 你能得出什么结论 如果一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为 结论又如何 提示 1 如果一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为r 一 二 三 a x x3 b x 4 x 3 c x x 4或x 3 d x 4 x 3 解析 要使函数有意义 只需x2 x 12 0 方程x2 x 12 0的解为x1 4 x2 3 函数y x2 x 12的开口向上 且与x轴有两个交点 4 0 3 0 故原不等式的解集为 x x 4或x 3 答案 c 一 二 三 三 用程序框图描述求解一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的算法过程 问题思考 填空 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 不等式x2 y2 0表示一个一元二次不等式 2 若一元二次不等式ax2 2x 1 0的解集为r 则只需满足 0 3 不等式 x 9 x 10 0与的解集是等价的 4 x2 2x ax在x 1 2 上恒成立 可等价转化为 x2 2x min ax max在x 1 2 上恒成立 来解决 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 一元二次不等式的概念 例1 x2 x 10 mx2 5x 1 0 x3 5x 0 a2 1 x2 bx c 0 m a r 其中关于x的不等式是一元二次不等式的是 请把正确的序号都填上 解析 是 不是 不一定是 因为当m 0时 它是一元一次不等式 不是 因为未知数的最高次数是3 是 尽管x2的系数含有字母 但a2 1 0 所以 与 不同 故答案为 答案 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 反思感悟1 形如ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0 的不等式 叫做一元二次不等式 2 只含一个未知数 并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量 只要明确指出这些字母所代表的量 哪一个是变量 是 未知数 哪一些是 参数 就可以 3 次数最高是2 仅限于 未知数 若还含有其他参数 则次数不受此条件限制 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 一元二次不等式的解法 例2 解不等式 1 x2 2x 3 0 2 x2 x 3 2x2 3x 2 0 思路分析 把不等式化为二次项系数为正 右边为0的形式 利用 三个二次 之间的关系求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 解 1 原不等式可化为x2 2x 3 0 2 2 4 1 3 8 0 原不等式的解集为 3 原不等式可化为2x2 3x 2 0 3 2 4 2 2 7 0 原不等式的解集为r 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 反思感悟1 解一元二次不等式的一般步骤可概括为 一看 看二次项系数a的正负 二算 计算判别式 判断相应方程根的情况并求根 三写 写出不等式的解集 2 解一元二次不等式要多结合对应二次函数的图象来分析 这样可使问题更加直观 3 对于含字母的不等式 要注意根据字母的取值情况进行分类讨论 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 变式训练1在r上定义运算 a b ab 2a b 则满足x x 2 0的实数x的取值范围为 a 0 2 b 2 1 c 2 1 d 1 2 解析 x x 2 x x 2 2x x 2 0 即x2 x 2 0 解得 2 x 1 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 已知一元二次不等式的解集求参数问题 例3 当a为何值时 关于x的不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 0的解集为r 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 反思感悟已知不等式的解集 要求确定其系数 这和解不等式的问题 已知系数求其解集 正好是互为逆向的两类问题 这类问题也可以用下面的方法求解 1 根据不等式的解集形式可考虑构造出一个同解不等式 比较已知不等式和构造的不等式的系数得出参数的范围 2 结合二次函数的图象解决 尤其对于解集为r或 等情况 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 解析 1 关于x的不等式px2 qx 2 0的解集为 1 2 方程px2 qx 2 0的两根是x1 1 x2 2 且p 0 由韦达定理 答案 1 0 2 0 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 分式不等式的解法 解析 1 由已知得a x 0 x 2 又b 0 1 2 3 a b 1 2 答案 1 a 2 1 3 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 用化归思想来解决不等式恒成立问题 典例 已知函数f x x2 ax 3 1 当x r时 f x a恒成立 求a的取值范围 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的取值范围 名师点拨 1 利用判别式求解 2 转化为求函数f x 在区间 2 2 上的最小值问题 解 1 f x a恒成立 即x2 ax 3 a 0恒成立 必须且只需 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 6 a 2 a的取值范围为 6 2 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 方法点睛1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是自变量 求谁的范围 谁就是参数 分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法 a f x 恒成立 a f x max f x 存在最大值 a f x 恒成立 a f x min f x 存在最小值 2 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 变式训练设函数f x mx2 mx 1 对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 解析 当m 1时 不等式变为2x 6 0 即x 3 不符合题意 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 当堂检测 探