单值函数的奇点.pdf

单值函数的奇点单值函数的奇点单值函数的奇点单值函数的奇点 孤立奇点孤立奇点 若函数 f z 在某点不可导但在该点的某一去心孤立奇点孤立奇点 若函数 f z 在某点不可导 但在该点的某去心 邻域内可导 则称该点为 f z 的孤立奇点 立奇点立奇点在点在该点任邻非孤非孤立奇点立奇点 若函数 f z 在某点不可导 且在该点的任一邻 域内总有该点以外的奇点存在 则称该点为非孤立奇点 例例 4 4 1 17 70z是函数 1 f的个孤立奇点 而0z例例 4 4 1 17 7 0z 是函数 f z z 的一个孤立奇点 而0z 1 1 是函数 1 sinf z z 的一个非孤立奇点 1 设zb 是单值函数 f z的一个孤立奇点 则一定存 在环域0z bR f z在该环域内可以展开 Laurent 级数 k k k f zCzb 这时可能出现三种情况 1 级数不含负幂项 b 称为可去奇点可去奇点 2 级数展开式含有 m 项负幂项 b 称为 m 阶极点阶极点 3级数含有无穷多项负幂项b 称为本性奇点本性奇点3 级数含有无穷多项负幂项 b 称为本性奇点本性奇点 2 2 n 例 例 0z 是函数 2 0 1sin 21 n n f z zz z zn 0 21 n zn 的可去奇点 zn 是函数 1 f z 的一阶极点 的可去奇点 zn 是函数 sin f z z 的阶极点 0是函数 1 的本性奇点0z 是函数 z f ze 的本性奇点 3 判定孤立奇点的性质判定孤立奇点的性质判定孤立奇点的性质判定孤立奇点的性质 1 1 f z以孤立奇点 b 为可去奇点可去奇点的充要条件充要条件为以下 三条中的任一条 三条中的任一条 a f z在 b 点没有主部a f z在 b 点没有主部 b 极限lim zb f z 存在且有限 c f z在 b 点的某去心邻域内有界 4 2 2 f z以孤立奇点 b 为 m 阶极点阶极点的充要条件充要条件为以下 f 三条中的任一条 1 a f z在 b 点的主部为 1 k k km Czb b f z在 b 点的某去心邻域内能表示成 m f zzzb f 其中 z 在 b 点的邻域内解析且 0b c 1 g zf z 以 b 点为 m 阶零点 5 3 孤立奇点 孤立奇点 b 为函数为函数 f z 的的本性奇点本性奇点的条件是函数在的条件是函数在 b 点的极限不存在 点的极限不存在 若函数在若函数在 b 点的极限存在且有限 在点的极限存在且有限 在 b 点是函数的可去点是函数的可去 奇点 奇点 若函数在若函数在 b 点的极限为点的极限为 则 则 b 点是函数的可去点是函数的可去 极点极点 所以当 所以当 b 点为本性极点时 函数在该点的极限为点为本性极点时 函数在该点的极限为 部确定值部确定值即极限不存在即极限不存在一一部确定值部确定值 即极限不存在即极限不存在 1 例 例 0z 是函数 1 z f ze 的本性奇点 6 无穷远点的性质无穷远点的性质 前边讨论的都是奇点为有限远点的情况 现在我们讨 论z 的情况 若存在一正数若存在一正数 R 使得使得 f z 在以在以 z0为圆心 为圆心 R 为半径的为半径的 圆外每一点圆外每一点zR 包含 包含z 都是可导的 则称 都是可导的 则称在在无无 穷点的邻域内解析穷点的邻域内解析 1 如函数 1 1 f z z 当1z 时 函数处处解析 故 7 它在无穷远点解析 无穷远点的性质无穷远点的性质 前边讨论的都是奇点为有限远点的情况 现在我们讨 设函数设函数 f在在点的某无心邻域点的某无心邻域内解内解 论z 的情况 设函数设函数 fz在在 点的某无心邻域点的某无心邻域rz 内解内解 析析则称则称穷穷远远点点是该函数的个孤立奇点是该函数的个孤立奇点析析 则称则称无无穷穷远远点点是该函数的是该函数的一一个孤立奇点个孤立奇点 如函数 sin z f z当0z 时函数除无穷远点 如函数 f z z 当0z 时 函数除无穷远点 外别无奇点 即函数在0z 内解析 故无穷远点是 8 该函数的一个孤立奇点 为了研究函数在无穷远点的性质 可以做变换1tz 为了研究函数在无穷远点的性质 可以做变换1tz 把无穷远点变换到0点 1fft如函数把无穷远点变换到0z 点 1f zftt 如函数 t 在0t 的邻域t 内解析 则则 f z在无穷远点的在无穷远点的 邻域邻域1zR 解析解析 若 t 在0t 的邻域0t 内解析 即0t 是 t 的孤立奇点 则 f z在 1Rz 中解析即即z 为为 f z的孤立奇点的孤立奇点 9 1Rz 中解析 即即z 为为 f z的孤立奇点的孤立奇点 设 t 在0t 的去心邻域0t 内的 Laurent 展开 设 t 在0t 的去心邻域0t 内的 Laurent 展开 为 10 0 kk kk kk tCtCtt 则函数函数 f z 10kk 在无穷远点的在无穷远点的 Laurent 展开为展开为 在无穷远点的在无穷远点的 Laurent 展开为展开为 kkkk fCCCC 0101 kkkk kkkk kkkk f zCzCzC zC z 1 2 1 kk CCkRzR 10 例 求 sin z f在孤立奇点无穷远点的 L展开 例 求 f z z 在孤立奇点无穷远点的 Laurent 展开 解解 21 11 k k f zz 0 21 1 k k f zk 2 0 1 0 21 k k zz k 11 无穷远点作为孤立奇点的分类无穷远点作为孤立奇点的分类 1 若 f z在无穷远点的 Laurent 展开式中不含正幂项 则 z 称为 f z的可去奇点可去奇点 2 若 f z在无穷远点的 Laurent 展开式中含有有限项 项 f 正幂项则z 称为 f z的 阶阶 极点极点正幂项 则z 称为 f z的 阶阶 极点极点 3 若 f z在无穷远点的 Laurent 展开式中含有无限项正幂项 12则z 称为 f z的本性奇点本性奇点 例例 无穷远点是 a 1 sinf zz 的可去极点 例例 无穷远点是 f z 的可去极点 b 1nn Pza zaza 的 n 阶奇点 b