江西省重点中学协作体高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

江西省重点中学协作体2015届高考 数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合m=x|x24x0，n=x|mx8，若mn=x|6xn，则m+n=（）a10b12c14d162（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）|=（）ab2c3d3（5分）已知等比数列an的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）a1b3c6d94（5分）给出下列结论：命题“xr，sinx1”的否定是“xr，sinx=1”；命题“=”是“sin=”的充分不必要条件；数列an满足“an+1=3an”是“数列an为等比数列”的充分必要条件其中正确的是（）a.b.c.d5（5分）已知函数f（x）=x22x+4，数列an是公差为d的等差数列，若a1=f（d1），a3=f（d+1），则an的通项公式为（）a2n2b2n+1c2n+3dn+26（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）a2b3c4d57（5分）已知直角abc中，斜边ab=6，d为线段ab的中点，p为线段cd上任意一点，则（+）的最小值为（）abc2d28（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差s甲2、s乙2、s丙2的大小关系是（）as丙2s乙2s甲2bs甲2s丙2s乙2cs丙2s甲2s乙2ds乙2s丙2s甲29（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）abcd10（5分）已知圆x2+y2=4，点a（，0），动点m在圆上运动，o为坐标原点，则oma的最大值为（）abcd11（5分）已知点a（0，1），曲线c：y=alnx恒过定点b，p为曲线c上的动点且的最小值为2，则a=（）a2b1c2d112（5分）已知圆o1：（x2）2+y2=16和圆o2：x2+y2=r2（0r2），动圆m与圆o1、圆o2都相切，动圆圆心m的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是（）abcd二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）二项式（2）6展开式中常数项是14（5分）已知数列an满足an+1=（nn+），若a1=，则a2015=15（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为16（5分）若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17（12分）已知函数f（x）=2sinxcosxcos2x+1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角a，b，c为abc的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinc的值18（12分）如图，在三棱锥pabc中，平面apc平面abc，且pa=pb=pc=4，ab=bc=2（1）求三棱锥pabc的体积vpabc；（2）求直线ab与平面pbc所成角的正弦值19（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个18个欧洲国家中g8国家有5个（英法德意俄）亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生（1）这3人中恰有2人来自于g8国家的概率；（2）设x表示这3人来自于g8国家的人数，求x的分布列和期望20（12分）已知点f（，0），圆e：（x+）2+y2=16，点p是圆e上任意一点，线段pf的垂直平分线和半径pe相交于q（1）求动点q的轨迹方程；（2）若直线l与圆o：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点a、b当=，且满足时，求aob面积s的取值范围21（12分）已知函数f（x）=xaex（a为实常数）（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x22一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22（10分）如图，已知pa与圆o相切于点a，半径obop，ab交po于点c（1）求证：pa=pc；（2）若圆o的半径为3，po=5，求线段ac的长度一、选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为=10cos（1）求圆c的直角坐标方程；（2）设圆c与直线l交于点a、b，若点p的坐标为（2，6），求|pa|+|pb|一、选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合m=x|x24x0，n=x|mx8，若mn=x|6xn，则m+n=（）a10b12c14d16考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出m中不等式的解集确定出m，根据n及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值解答：解：由m中不等式解得：x0或x4，m=x|x0或x4，n=x|mx8，且mn=x|6xn，m=6，n=8，则m+n=6+8=14，故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）|=（）ab2c3d考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出解答：解：=1+i+=1+3i，|（1+i）|=故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题3（5分）已知等比数列an的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）a1b3c6d9考点：等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：设各项都是正数的等比数列an的公比为q，（q0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得解答：解：设各项都是正数的等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得2a3=3a1+2a2，即q22q3=0，解得q=1（舍去），或q=3，故=q2=9故选：d点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题4（5分）给出下列结论：命题“xr，sinx1”的否定是“xr，sinx=1”；命题“=”是“sin=”的充分不必要条件；数列an满足“an+1=3an”是“数列an为等比数列”的充分必要条件其中正确的是（）a.b.c.d考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用命题的否定判断的正误；充要条件判断的正误；等比数列的定义判断的正误解答：解：对于，命题“xr，sinx1”的否定是“xr，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以正确对于，命题“=”是“sin=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sin=成立则=不一定成立，所以正确；对于，数列an满足“an+1=3an”是“数列an为等比数列”的充分必要条件错误例如：数列是常数列0，则满足“an+1=3an”，数列不是等比数列，所以不正确；故选：a点评：本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，等比数列的基本知识的应用，考查基本知识的掌握情况5（5分）已知函数f（x）=x22x+4，数列an是公差为d的等差数列，若a1=f（d1），a3=f（d+1），则an的通项公式为（）a2n2b2n+1c2n+3dn+2考点：数列与函数的综合 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：根据f（x）求出a1、a3，再利用等差数列的定义求出d与a1的值，即得通项公式an解答：解：f（x）=x22x+4，a1=f（d1）=（d1）22（d1）+4=d24d+7，a3=f（d+1）=（d+1）22（d+1）+4=d2+3；a3a1=4d4，即2d=4d4，解得d=2；a1=3，an=3+2（n1）=2n+1故选：b点评：本题考查了根据函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础题目6（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）a2b3c4d5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点d（2，2）的斜率，由图象知ad的斜率最小，由得，即a（1，2），此时ad的斜率k=，则z=1+k=14=3，即z=的最小值为3，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键7（5分）已知直角abc中，斜边ab=6，d为线段ab的中点，p为线段cd上任意一点，则（+）的最小值为（）abc2d2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据图形判断设|pc|=3x，e则|pd|=x，与的夹角为，0x3，运用数量积的运算得出函数式子（+）=2x（3x），再利用基本不等式求解即可解答：解：直角abc中，斜边ab=6，d为线段ab的中点，|cd|=3，+=2，p为线段cd上任意一点，设|pc|=3x，则|pd|=x，与的夹角为，0x3，（+）=2x（3x），x（3x），2x（3x）2=故选：a点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题8（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差s甲2、s乙2、s丙2的大小关系是（）as丙2s乙2s甲2bs甲2s丙2s乙2cs丙2s甲2s乙2ds乙2s丙2s甲2考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论解答：解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2s乙2s丙2，故选：c点评：本题主要考查了频率分布条形图，以及平均数、方差和标准差，属于基础题9（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）abcd考点：程序框图 专题：函数的性质及应用；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，由y=x3是奇函数可求阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而得解解答：解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面积之比，因为y=x3是奇函数，所以面积之比为：故选：d点评：本题主要考查了程序框图和函数的性质及应用，属于基本知识的考查10（5分）已知圆x2+y2=4，点a（，0），动点m在圆上运动，o为坐标原点，则oma的最大值为（）abcd考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：计算题；直线与圆分析：设|ma|=x，则可求得|om|，|ao|的值，进而利用余弦定理得到cosoma的表达式，利用均值不等式求得cosoma的最小值，进而求得oma的最大值解答：解：设|ma|=x，则|om|=2，|ao|=由余弦定理可知cosoma=（x+）2=（当且仅当x=1时等号成立）oma故选：c点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值考查了学生综合分析问题和解决问题的能力11（5分）已知点a（0，1），曲线c：y=alnx恒过定点b，p为曲线c上的动点且的最小值为2，则a=（）a2b1c2d1考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：运用对数函数的图象特点可得b（1，0），设p（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=xalnx（0，+）+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断解答：解：曲线c：y=alnx恒过点b，则令x=1，可得y=0，即b（1，0），又点a（0，1），设p（x，alnx），则=f（x）=xalnx+1，由于f（x）=xalnx+1在（0，+）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点f（x）=1=，a0，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a0，x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+）是增函数，有最小值为f（a）=2，即aalna+1=2，解得a=1；故选d点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a12（5分）已知圆o1：（x2）2+y2=16和圆o2：x2+y2=r2（0r2），动圆m与圆o1、圆o2都相切，动圆圆心m的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分别求出e1、e2（e1e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值解答：解：当动圆m与圆o1、o2都相内切时，|mo2|+|mo1|=4r=2a，e1=当动圆m与圆o1相内切而与o2相外切时，|mo1|+|mo2|=4+r=2a，e2=e1+2e2=+=，令12r=t（10t12），e1+2e2=22=故选：a点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）二项式（2）6展开式中常数项是160考点：二项式定理 专题：计算题分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可解答：解：因为=208（1）=160所以展开式中常数项是160故答案为：160点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力14（5分）已知数列an满足an+1=（nn+），若a1=，则a2015=2考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过求出数列的前几项，找出其周期即可解答：解：an+1=（nn+）、a1=，a2=3，a3=2，a4=，a5=，a6=3，数列an满足：an=an+4，2015=5034+3，a2015=a3=2，故答案为：2点评：本题考查求数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题15（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为8考点：球的体积和表面积；球内接多面体 专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图判断几何体的形状，根据他的几何性质得出ad面bdc，dc=1，ad=1，becd与e，de=，be=，利用三角形判断得出三角形bdc外接圆的半径r=1，根据球的几何性质得出：r2=r2+d2，求解r即得出面积解答：解：根据三视图得出几何体为三棱锥，ad面bdc，dc=1，ad=1，becd与e，de=，be=，bed=60，bd=1，在三角形bdc中，bd=dc=1，bdc=120，根据余弦定理得出：bc=，利用正弦定理得出：=2r三角形bdc外接圆的半径r=1，三棱锥的外接球的半径r，d=ad=1，利用球的几何性质得出：r2=r2+d2，r=，它的外接球的表面积为4（）2=8，故答案为：8点评：本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题16（5分）若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6考点：集合的相等 专题：计算题；集合分析：利用集合的相等关系，结合a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，即可得出结论解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17（12分）已知函数f（x）=2sinxcosxcos2x+1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角a，b，c为abc的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinc的值考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinc解答：解：由题意可得f（x）=2sinxcosxcos2x+1=2sin（2x）（1）令2k2x2k+所以增区间为：k，k+，kz（6分）（2）由f（+）=得sina=；（7分）f（）=得cosb=，sinb=；（8分）由于sina=sinb=，则abcosa=（10分）所以sinc=sin（a+b）=（12分）点评：本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式18（12分）如图，在三棱锥pabc中，平面apc平面abc，且pa=pb=pc=4，ab=bc=2（1）求三棱锥pabc的体积vpabc；（2）求直线ab与平面pbc所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取ac中点o，连结po，bo，证明op平面abc，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥pabc的体积vpabc；（2）建立如图所示的空间直角坐标系求出平面pbc的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线ab与平面pbc所成角的正弦值解答：解：（1）取ac中点o，连结po，bo，pa=pc，ab=bc，opac，obac，又平面apc平面abc，op平面abc（2分），opob，op2+ob2=pb2，即16oc2+4oc2=16，得oc=，则oa=，ob=，op=，ac=2，（4分）sabc=2vpabc=（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系得o（0，0，0），a（0，0），b（，0，0），c（0，0），p（0，0，），（8分）=（），=（，0，），设平面pbc的法向量=（x，y，z）则，取z=1，得=（，1）（10分）=（），直线ab与平面pbc所成角的正弦值为（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键19（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个18个欧洲国家中g8国家有5个（英法德意俄）亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生（1）这3人中恰有2人来自于g8国家的概率；（2）设x表示这3人来自于g8国家的人数，求x的分布列和期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）直接利用古典概型的概率求解这3人中恰有2人来自于g8国家的概率；（2）设x表示这3人来自于g8国家的人数，求出概率得到分布列，然后求解x的期望解答：解：（1）这3人中恰有2人来自于g8国家的概率：p=（5分）（2）x可能的取值为0、1、2、3 p（x=0）=，p（x=1）= p（x=2）= p（x=3）=x0123p（10分）ex=0+1+2+3=（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力20（12分）已知点f（，0），圆e：（x+）2+y2=16，点p是圆e上任意一点，线段pf的垂直平分线和半径pe相交于q（1）求动点q的轨迹方程；（2）若直线l与圆o：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点a、b当=，且满足时，求aob面积s的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程 专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）连接qf，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得q的轨迹方程；（2）设直线l的方程为x=my+n（mr），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得aob的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围解答：解：（1）连接qf，|qe|+|qf|=|qe|+|qp|=|pe|=4|ef|=2，动点q的轨迹是以e（，0）、f（，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即动点q的轨迹方程为：+y2=1；（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x=my+n（mr）直线l即xmyn=0与圆o：x2+y2=1相切，=1得n2=m2+1又点a，b的坐标满足：，消去x整理得（m2+4）y2+2mny+n24=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，又|ab|=|y1y2|，点o到直线l的距离d=1，saob=d|ab|=|y1y2|=|n|y1y2|=2=2，=x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2=，令t=1+m2，则=，即有t3，6saob=2=2=2=t+6，t+612，saob，1，saob的取值范围为，1点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题21（12分）已知函数f（x）=xaex（a为实常数）（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x22考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点 专题：导数的综合应用分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论（2）由题意可求出0a；则a=的两个不同根为x1，x2，作出y=的图象，利用数形结合证明解答：解：（1）函数的导数f（x）=1aex，f（x）在x=0的切线与x轴平行，f（0）=0，即f（0）=1a=0，解得a=1（2）由f（x）=xaex=0得a=，设g（x）=，则g（x）=，由g（x）0得x1，由g（x）0得x1，即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=，则要使f（x）有两个零点x1、x2，则满足0a，则x1=aex1，x2=aex2；g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；又当x（，0时，g（x）0，故不妨设x1（0，1），x2（1，+）；对于任意a1，a2（0，），设a1a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0m11m2，0n11n2，g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；又g（m1）g（n1），g（m2）g（n2）；m1n1，m2n2；故随着a的减小而增大，令=t，x1=aex1，x2=aex2，可化为x2x1=lnt；t1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x1+x22点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22（10分）如图，已知pa与圆o相切于点a，半径obop，ab交po于点c（1）求证：pa=pc；（2）若圆o的半径为3，po=5，求线段ac的长度考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：（1）根据弦切角定理，可得pab=acb，根据圆周角定理可得bac=90，结合bcop，根据同角的余角相等及对顶角相等可得pda=pab，即pad为等腰三角形；（2）利用切割线定理求出pa，再求出cosaop，利用余弦定理，即可得出结论解答：（1）证明：pa与圆o相切于点a，pab=adbbd为圆o的直径，bad=90adb=90bbdop，bco=90bbco=pca=pab即pac为等腰三角