冷中子衍射.doc

关于冷中子衍射问题的研究*王光怀+ 张丙新 郭义庆 孟祥伟 黄培库 唐厚礼 吴义恒（吉林师范大学物理学院， 吉林四平136000）（中国科学院高能物理所，北京 100049）摘 要：目前，已有大量实验对各种粒子的衍射现象进行了研究，在理论方面也有许多模型来解释这些衍射现象。在本文中，我们应用量子理论方法研究了冷中子的双缝衍射问题，所得的结果与实验符合较好。关键词： 物质波，衍射，量子理论PACC: 6112B , 03651. 引 言物体的波粒二象性是量子物理学的一个基础1。在de Broglie提出物质具有波动性假设80多年后的今天，这一假设已得到许多衍射实验的验证。比如：电子，中子，原子（如He、Na）、分子（如I2、C60、C70和C60F48）的衍射1-7 。虽然利用经典波动光学原理方法和近似得到了与实验符合较好的结果，但是物质波的干涉和衍射实际上是一种量子现象，所以要完整而正确地描述这种现象应该用量子力学的方法。在本文中，我们就用量子力学的方法研究了冷中子双缝衍射问题。描述中子波动性可用一个满足薛定谔方程的波函数来描述，而波函数绝对值的平方表示粒子在空间出现的概率密度。如果我们能得到穿过缝后的中子波函数，那么由即可得到衍射后中子在各个方向上出现的概率。我们把中子衍射过程考虑为三个区域。首先，进入缝之前，我们用平面波来描述入射中子；然后，中子进入缝中，通过求解薛定谔方程来得到缝中的波函数；最后，再通过基尔霍夫公式得到衍射波函数。由于衍射强度和波函数绝对值的平方成正比，所以我们可以得到显示屏上衍射强度。经理论推导我们给出了衍射强度与坐标之间的关系，并且得到了与实验符合较好的衍射图样。2. 缝中的中子波函数假设缝宽为a，长为b，厚为c，两缝之间的距离为d，取x轴沿缝长方向，y轴沿缝宽方向，z轴沿缝厚方向(见图1)。下面，我们通过求解薛定谔方程得到第一个缝中的中子波函数，再通过坐标变换得到第二个缝中的中子波函数。*吉林省教育厅项目(批准号: 2006016)资助的课题。+王光怀（1963-），男，汉族，副教授，从事理论物理的研究。E-mail: xjliu_82图1. 中子衍射图，其中为两缝宽，b为缝长，d为两缝之间的距离在t时刻，假设入射中子沿轴方向入射，波函数表示为： , （1）第一个单缝中的势能为 （2）含时间和不含时间的薛定谔方程分别为 , （3） , （4） 这里和分别是中子的质量和能量。在方程(4)中，波函数满足边界条件 , （5） , （6）再将波函数分离变量 , （7）利用相关的边界条件，我们可得到方程(4)的解为 (8)从而得到方程(3)的解为， (9)所以第一个单缝中的中子波函数为 (10)由入射条件和傅立叶变换，可得到系数为 (11)将(11)代入(10)得第一个缝中的中子波函数为 (12)通过坐标变换得到第二个缝中的中子波函数为 （13）3. 中子的衍射波函数下面将利用基尔霍夫公式求中子通过缝后的衍射波函数。由基尔霍夫公式可得满足：, (14)这里是在缝表面处的波函数，是缝的面积，。对于双缝衍射，（14）式写为 (15) 图2 中子单缝衍射区域结合图2，经过理论推导，我们得到中子通过第一个缝后的衍射波函数为： （16）其中，即为衍射波与yz面和xz面的角。由于我们取缝的长度远大于中子的波长，那么衍射只会在缝宽度方向(即y轴方向)上产生。如果缝屏距离和衍射角固定，则相对强度只是衍射角的函数。又由于衍射角非常小，所以可以认为（为衍射位置，即图3中的position）于是，第一个缝的衍射波函数变为(17)而第二个缝的衍射波函数为 （18） 所以通过缝后的衍射波函数为 , （19）这样在显示屏上观察到的中子衍射相对强度为。 (20)4 结果与讨论从上面的推导及其结果可以看到相对强度是坐标函数。在计算中,相关参数分别取为：中子质量，与yz面的衍射夹角，普朗克常数；方程（17）-（20）是关于m和n叠加的函数，计算中发现当，时函数达到平台区域，因此我们取，。文献4详述了冷中子双缝衍射实验。我们输入与实验条件一样的参数，双缝的宽度分别为，两缝之间的距离为，中子波长为，缝与衍射屏之间的距离。由（17）-（20）便可得到理论计算的衍射图样。图3是理论结果与实验比较图（实线为理论计算结果，圆点为实验数据，我们取缝长，缝厚，参数，）。从图3可以看到在图样中央（从到）计算结果与实验数据符合较好,衍射图样两边位置实验值比理论结果稍大。一方面需要实验进一步精确测量，另一方面，在理论研究中需要进一步考虑边缘效应的影响。5结 论综上所述，我们用一种新的量子理论方法研究了冷中子的衍射现象，得到了相对衍射强度和坐标之间的关系，并且与实验结果（文献4）进行了比较，所得理论结果与实验数据基本吻合。我们的方法具有普适性，既可以用来研究低能粒子的衍射，还可研究高能粒子的衍射。图3 冷中子双缝衍射理论结果与实验数据比较。（实线为理论计算结果，圆点为文献4中实验数据）参考文献：1 Lucia Hachermuller,Stefan Uttenthaler et al.,2003,91,090408-12 M.Tschernitz,R.Gahler,W.Mampe,B.Schillinger and A.Zeilinger,1992, Phys. Lett.A. 164,3653 Glen Gronniger,Brett Barwick , Herman Batelaan,Tim Savas,Dave Prichard and Alex Cronin,2005,Appl. Phys. Lett. 87,124104-24 A.Zeilinger,R.Gaehler,C.G.Shull and W.Treimer,1982,AIP Conf.Proc.,89 935 A.G.Klein, A.Zeilinger, 1984,Journal De Physique 45 C-3-2396 Michael S.Chapman,Christopher R,Ekstrom,Ttoy D. Hammond, et al.,1995, Phys. Rev. Lett. 74 47837 Markus Arndt,Olaf Nairz et al.,1999,Nature,401,680 Research on Double-Slit Diffraction of cool neuron*Wang Guang-huai Zhang Bing-xin Guo Yi-qing Meng Xiang-wei Huang Pei-ku TangHou-liWu Yi-heng( Institute of Physics, Jilin Normal University, Siping 136000, China)(Institute of High Energy Physics, Chinese Academy of Siences, Beijing 100039, China)AbrstractPhenomena of electron, neutron, atomic and molecular diffraction have been studied in many experiments, and these experiments have been explained by some theoretical works. We study neutron double-slit diffraction wi