基于物理的自由曲面造型技术的现状与展望.pdf

2 0 0 2年l 2月 第 2 5卷 第 l 2期 重庆大学学 报 J o u r n a l o f Ch o n g qi n g Uni v e r s i t y De c 2 0 o 2 Vo 1 25 No 1 2 文 章 编 号 1 0 0 0 5 8 2 X 2 0 0 2 1 2 0 0 0 7 0 4 基 于物理 的 自由曲面造型 技术 的现状 与展 望 成 思 源 张 湘 伟2 熊 汉 伟 1 重庆 大 学 资源及 环境 科 学 学 院 重庆 4 O O O 4 4 2 广 东工 业大 学 机 电工程 学 院 广 东 广 州 5 1 0 0 9 0 3 汕 头 大学 机 械 电 子工 程 系 广 东 汕 头 5 1 5 0 6 3 摘 要 基 于 物 理 的造 型 方 法 是 当今 曲 面造 型研 究 的 热 点之 一 并 可 望 成 为 今 后 曲 面造 型 的 实 用 工 具 基 于物 理 的造 型是 将 物 体 看成 具 有 一 定 物 理 性 质 的 形 体 即 某 种 物 理 模 型 而不 是 单 纯 的 几 何 体 根 据物理模型所依据 的物理原理和数 学表 达 大致将其 分为 两类 能量模 型和拉 格 朗 日动 态模 型 介 绍 了 两类模 型 的基本 思想 并分 别对其理论研 究 发展及 应 用情 况进行 了综述 指 出给设 计 者提 供 更 自然地 控 制 物 体 形 状 的 能 力 以 及 引进 更灵 活 的 几 何 造 型 方 法 是 基 于物 理 曲 面造 型发 展 的 方 向 关 键 词 i 基 于物 理 的造 型 自由 曲 面 造 型 计 算 机 辅 助 几何 设计 中 图分 类 号 T P 3 9 1 7 2 文 献 标 识码 A 随着 C A D C A M 技术 应 用 领域 的不 断扩 展 人们 对 曲线 曲面造 型技 术也提 出了更高 的要求 传统 的造 型方法通常是基 于纯粹 的几何 模 型 设 计人 员往 往 面 对 的是枯燥 的 不直观 的形状 几何 参数 而给定 的设 计 误差通 常是面 向形状 的 而 不是 面 向控 制点 权值 的 这 样就使修 改的结 果变得难 以捉摸 另外典型 的设计 要求一般是 同时定性 和定 量给 出 对形 状 的整 体 和局 部都具有 约束 这对 于调整 局 部形 状参 数 的方 法来 说 是很难 同时满足 的 因此 寻 找更 新更 灵 活 的造 型方 法 已成为一项非 常紧迫 的工 作 基 于物 理 的造 型方 法 就是在这种 背景 下产生的 1 9 8 7年 加 拿大 学者 T e r z o p o u l o s 等 将基 于 物理 模 型的可 变形 曲线曲面 造型 技术 引入 计算 机 图形 学 中 用来模拟 圆球压 在弹 性立 方体 上引 起 的变 形 旗 帜在 风 中飘摆 以及地 毯的飘 落 等动态 效 果 取 得 了非 常好 的效果 T e r z o p o u l o s系统 地 介绍 了基 于 L a g r a n g e方 程 的物理能量 模型 各种外 载荷 的建立 以及约束地处理 并通过有 限差分 求解偏微分方程 得到变形 的形状 这 为基 于物理 的造型方法奠定 了基 础l l J 1 9 9 1 年 MI T的 G o s s a r d等进一步发 展 了基于 物理 造型的思想 将其 引入 到 自由曲线 曲面 的设 计 中 提 出以能量模 型为 目标 函数 以各种特征 线为约束 结合 外载荷 控 制 调 整 形状 l 2 I 3 J G o s s a r d等认 为新 方 法 有 可能从根本 上解 决传统 曲面造 型手 段 落后 曲面 修改 过 程繁杂 的弊端 MI T的工作立 刻 引起 了学术界 和产 业界 的共 同重视 和积极 响应 促 使能 量 优化 思想进 一 步走 向实用 和成 熟 此 后 学术 界 对 该 方 法 进 行 了 更 深 入 地 发 掘 和 研 究 目前基 于物理的造型方法 已成 为当今 曲线 曲面造 型研究 的热点 之一 并 可望 成 为今后 曲线 曲面造 型 的 实 用 工 具 1 模 型分 类 从 总体上 说 基 于物 理 的造 型是将 物 体看成 具有 一 定物理性质 的形体 即某 种 物理 模 型而不 是单 纯 的 几何 体 所以物体可 以具有 内部物 质分布 拉伸刚度 弯 曲刚度等各 种物理属 性 同时也 可 以通过 对物 体施 加外力 改变物体 的物 理性 质等来 控 制 物体外 形 这 样 在几何设计 中 用户可 以通 过改变这些物 理量来 改 变物体的形状 给用 户提供 了一种更 自然 更 符合用 户 习惯的方 式控制物体 的形状 根据物理模 型所依 据的 物 理原理和数学表达 可大致将其分 为两大类 能 量模 型和拉格 朗 日动态模型 2 各模型的研究现状 2 1 能量模型 以数 学规划或 优化 问题 为表 达形 式 以曲线 曲面 拥有 最小物理变形 能量 为 目标 运 用 各 种约 束及施 加 外 载荷 的方式控制 曲线 曲面形状 的造型方法 统称为 收稿 日期 2 0 0 2 0 9 1 0 基金 项 目 国家 自然科 学基 金 资助 项 目 5 0 1 0 5 0 1 3 作 者简 介 成 思源 1 9 7 5一 男 重 庆人 重 庆大 学博 士研 究 生 研 究方 向 计算 机辅 助几 何设 计 维普资讯 8 重庆大 学 学报 2 0 0 2隹 能 量 优 化 法 造 型 引 换 言 之 能 量 优 化 法 就 是 希 望 在 符合 几何及非几何 约柬条件及外 载荷作用情 况下寻找 具 有最小物理变形 能量的 曲线 曲面 这类 问题 也被 称 为基 于变分 的造 型方法 即是 在满 足 给定 约束 的条 件 下 寻找使 能量方程极 小化的 曲线 曲面方程 由定义可以看 出 能量优化法造 型中首先要解决 的 是确定 目标 函数 也 就是确 定物理 变形 能量的含 义 即 能量模 型 目前各种 文献 中采用 的能量模 型 大致可 以 分为两类 从物理变形能量出发和从几何性质 出发 引 物理能量模型一 般认 为曲线 曲面 中包 括 了抗弯 曲 和抗 拉抻两部分物理 变形 能量 可表示 为 E d f0 m ti I a E tre lc h 姬b e d i g d a 1 其 中 a和 卢为权 重 系数 一般 可 以认 为 这类 模 型生成 的曲线 曲面尽量 收缩 不会 有多余 的皱缬 因而具 的较 好 的 光 顺 性 引 借 鉴 弹 性 力 学 中 的 薄 板 弹 性 变 形 方 程 运 用 最 为 广泛的物理 能量模 型为 i 2 E I 口 埘 埘 2 一2 f w d u 2 E e u e l I 口 l l 埘 2u 2 a l 2 埘 u 埘 2 2 埘 2 卢 l l 埘 2 2 卢 l2 埘 乞 卢 2 2 埘 2 一2 f w d u d v 3 式中 埘为所求 的 以 2 7 3 为参 数的 曲面或 曲线 其下标 代 表偏导数 为给定 的外载荷 矢量 函数 从几何性质 出发 的能量模 型 一般 是考 虑 面积 长 度 曲率 及 曲率变化率等 方面的约束 比较常用 的是如 下 两 种 1 L o t t等 使 用 的 用 曲 率 平 方 和 表 示 的 能 量 函 数 E I k 2 d t 4 E I k k a a 5 式中 k为所求曲线的曲率 k l k 2 为所求 曲面的主曲率 2 Mo r e t o n等提 出的用 曲率变化 率表示 的能量模 型 7 E I k t d t 6 E u r f c e 川 式 中 k为所 求 曲线 的 曲率 k l k 2为 所 求 曲 面 主方 向 e e 方 向的主 曲率 能量优化法造 型采用各种约束 条件 控制 曲线 曲面 的形 状 常用的约束有 型值点 参 数曲线 切矢 法矢及 几何连 续性等 确定 了能量函数和约束 条件后 原则上 就 可以用该能量 函数作为 目标 函数 结合约束条 件 运 用 各种数学方法求解 出一张 曲面或一 条曲线 1 9 9 1 年 C e l n i k e r 等最早 以物理 能量方程为 目标 函 数 以各种特 征线 为几何约束 并结合外 载荷来 控制和 调 整曲面形状 通过定 义 曲面与 曲线 单元 构造 连续 的 曲面曲线 利用 有限元 法求 解具 有最 小 能量 的 曲面及 曲线 2 J 1 9 9 2年 C e l n i k e r等利用 求 解最 小 能量 曲面 的 方法 讨 论 了线 性 约束条件 下的 B样条 曲面的交 互设 计 与修 改 8 J 1 9 9 2年 We l c h和 Wi t k i n进一 步研究 了能 量优化法 中型值 点 参 数 曲面 法 矢等 约束 的作 用 并 采用 B样 条方法 来描述 能量 曲面模型 提 出变分 曲面 v a r i a t i o n a l s u r f a c e 造型 的概念 利用约束优化方法 求 解使 曲面能量保 持最小 的曲面 Mo r e t o n利用 能量 优 化方法 以 曲线 曲面 的 曲率 变化 为 目标 函数 求 解用 B z i e r 方法描述 的三边 四边 网格蒙 面 曲面 我 国的 宋德军等则利 用二次规划 以及非线性规 划构造 了 以 B 样条和 N UR B S曲面描述的最小物理 能量 曲面 并将 其 应用到非 四边域 曲面造 型 曲线 曲面插 值及 网格 曲面 构造等方 面 加 1 1 9 9 5年 We s s e l i n k等将能 量优 化方 法应 用 于 曲线 的 交 互 设 计 首 先 构 造 几 个 变 形 操 作 通 过 将 这 些 变 形 操作转化 为直接附加于 曲线 内部能量 E 上的能量 改 变量 E 则 曲线 的总能量 E 表示 为 并 结合 各种 几 何约束条件 利用 约束 优 化方法 求 解最 小能 量 E 曲 线 来 直 接 控 制 和 改变 曲线 的 形状 1 2 采 用 类 似 于 We s s e l i n k 等的方法 我 国的朱翔进行 了 N UR B S曲面的 交互设计 和修 改的研究 刘海 峰等对 约束可变形 B样 条 曲面的交互设计进行 了研 究 1 3 1 4 2 2拉格朗 日动态 模型 能量优 化方法没 有考 虑变 形 的过 程 当对 物理 模 型引入时 间概 念后 就 得 到了 自由 曲面 的动态 物理 模 型 动态 的曲面模 型建立在拉格 朗 日动力 学之上 设 曲面模 型表示为 s 12 口 P 其 中 P 1 2 A 1 7 代 表模型 的控 制点或权值 等 几何 参数 作为模 型 的广 义 坐标 为时间的 函数 构 成 向量集 合 P 模 型 的拉格 朗 日方 程 表 示 为 d a T a T aF a U 一 定义 12 为 曲面 模 型 的质量 密度 方程 则 曲面的 动能可表示 为 1 l I p s r s d u d v 1 p r Mp 9 JJ 其 中 称 为质 量矩阵 定义 y u 为 曲面的阻尼 密 度方程 则耗散 能 F可表 示为 维普资讯 第 2 5卷 第 l 2期 成 思源 等 基 于物 理 的 自由曲面造 型技 术 的现 状 与展 望 9 F l l 7 s T s d u d v 1 p r D p 1 0 其 中 D 称 为阻尼矩阵 借鉴 弹性 力学 中 的薄 板弹性 变 形 物体 的势能 方程通常表 示为 u 等 象 象 d 吉 P rK p 1 1 式中 a和 为给定 的材料 特性参 数 并 决 定物 体抵 抗 变形的能力 其下标代 表偏 导矢 称为 刚度 矩阵 通 过对拉格 朗 日方 程代人 能 量表 达式 可推 导 出模 型 的 离散化方 程为 MP DP 1 2 这样就 可采用常用 的有 限元法或有 限差分法 来求得方 程 的数 值 解 拉格 朗 日方 程控 制 模 型 的运 动 决定 了广 义 坐标 P在 外 力 作用下 的变形 方程 8 的各 种形 式构成 了 动态拉 格 朗 日模 型 的基 础 对 方 程 8 可代 人 各 种不 同的几何 方程 如 B样条或 N UR B S曲面 方程 根 据 以 上步骤 系统地 推导出其动态模 型 另外设计者 还可对 动态模 型以能量 力 约束 的形式施加各 种设 计要求来 控制模 型几 何形状 T e r z o p o u l o s 等 在 1 9 8 8年 首 先 提 出 了基 于 L a g r a n g e 方程 的物理能量模 型 并将 其应 用 于计算 机 图形 学 的 动态模拟 中 为基 于 物 理 的几 何 造 型 奠 定 了基础 1 J 1 9 9 4年 T e r z o p o u l o s 和 Q i n H o n g 将动态拉 格朗 日模型型 应 用 于N U R B S 曲 线 曲 面 模 型 提 出 了D N UR B S D y n a mi c N U R B S 造型方法 巧 引 并 随后 将其 应用 于摆转 N U R B S和三角 N U RB S曲面造型 t 7 t s 我 国的研究人员 随后 又对 D NU R B S造型方法进 行 了适 当简化 提 出了基于物理 的准 D NU R B S造型 方法 模型 中使 NU R B S方 程 中只有控制 点随时间 的变 化而变化 相应权 值不随时间改 变 避免 了 D N U R B S 求解 时因权 因子不 当造成 的缺 陷 1 9 2 o 我国的关志东 经玲 等对基 于 B样 条 曲面 的拉格 朗 日动态模 型及 其有 限元 方法 求解 进行 了研究 并 将 其应用于 曲线 曲面光顺 N边域 曲面构 造 以及 曲 面过 渡等方 面E 2 1 针对 以往 的物理模 型 包括 D N U RB S 在 内 主要 限制于 四边形参数 域 不 利于 对复 杂 拓扑 结构 曲 面进 行 模 拟 的不 足 Qi n Ho n g和 Ma n d a l 等 又 提 出 了 动 态 细 分 曲 面 d y n a m i c s u b d i v i s i o n s u r f a c e s 的 造 型 方 法 动态细分 方法 通 过对 细分 网格 的参 数化 得 到几何 表达 再对其 建立拉格 朗 日模 型 结合 了细分方 法对拓 扑结 构模拟 的灵 活性 与动态 曲面造型直观交互 的优点 2 3 小 结 总的 来 说 基 于 物 理 的 曲 面 造 型 具 有 以 下 优 点 一 1 模型 的行为是基 于物理定 律 的 在计 算机模 拟 过 程中 模型 以一 种 自然 的 可预测 的方 式对施加于其 上 的仿 真外力 进行变形 响 应 这样 设 计者 就 可 以设 计 并使用 各种基于作用力形式 的交互工具雕 刻 出所需要 的 模 型 形 状 2 模 型 的平衡 状 态是模 型在 外 力 和约束 条件 作 用下 的最小物理变形 能量状 态 这 使 得设 计者 可 以构 造能 量函数来 同时满 足整体 和局部 的设计要 求 3 由于物理模 型可建立在标 准 的几何模 型之 上 这样 就给设 计者 同时提供 了传统 的几何 造型和基于物 理 的 造 型 两 类 方 法 去 设 计 曲 面 形 状 由于动态模型不但 能给出 曲面在外力 和约束作用 下变化 的最终形 状 而且 能 为设计 者 提供 直 观 的形 状 变化过程 有 助于设 计者的构思和设 计 因而通常被应 用于形状设计 中 而对 于某 些 C A G D的 应用 场合 如 曲 面拟合 曲面光顺 等 设计 者 仅对 最终 的结 果感 兴趣 则 可选择计算量相对较小 的能量模型 3 未 来研 究 的展望 基于物理 的 自由曲面造型 已得到 了广 泛地研究 与 应 用 同时也有 待于进一步地发展 目前 的研 究主要呈 现 出 以下 两 种 进 展 与趋 势 1 给用户提供更 方便 自然地控 制物体 形状 的能 力 由于现在 的曲面造型系统大都建 立在 以键盘 鼠标 输入 的二维交互界面 之上 影 响了基 于物 理 造型方 法 直 观 自然优点 的发挥 最近 学者 们 提 出了 以三维 触觉 仪器为输入的几何造 型系统 并 与之将 基于物 理 的 曲面造型相结合 可给设 计 者提供 类 似 于直 接用手 施 加 力去控制物体变 形 设计物体形 状的能力 有利于进 一 步发挥基于物理 造型直 观 自然 的特点 2 扩 大基于物 理造型的应用 范 围 引进 更灵 活 的 几何 造型方 法 比如 Q i n H o n g等提 出 的动态 细分 曲面 正是将物理模型建立 在细分曲面之上 以结合其几何造 型的灵活性 J 另外也有学者 提 出了将 以复形 为基础 的非流形造型与基 于物理 的造 型相 结 合 和基 于物 理 的流形曲面等造 型方法 J 也正是基于这种思路 参 考 文 献 维普资讯 l 0 重庆大 学 学报 2 0 0 2年 1 T E R Z O P O U L O S D P L A T r J A B A R R E l a s t i c a l l y d e f o r m a b l e m o d e l s J C o m p u t e r G r a p h i c s 1 9 8 7 2 1 4 2 0 5 2 1 4 2 C E I 2 C I K E R G G 0 s s A R D D D e f o r m a b l e c u r v e a n d s u r f a c e fi n i t e e l e m e n t s f o r f r e e for m s h a p e d e s i g n J C o mp u t e r G r a p h i c s 1 9 9 1 2 5 4 2 5 7 2 6 6 3 C E I 2 q l K E R G S h a p e Wfi g h t fi n i t e e l e m e n t b a s e d f r e e fo r m s h a p e d e s i gn D M a s s a c h nse t t e s D e p t o f Me c h a n i c a l Eng i n e e r i ng M I T 1 9 9 0 4 朱 心雄 自由 曲线 曲面 造 型 技 术 M 北 京 科 学 出版 社 2 00o 5 G R E I N E R G L A U R E N T P J L E ME H A U T E A e t a 1 C u r v e s and S u r f a c e s C B o s t o n A K P e t e r s 1 9 9 4 6 I Z Y I T N J P u l l l n D L M e t h od for f a i r i ng B s p h n e s u r f a c e s J C o m p u t e r A i d e d De s i gn 1 9 8 8 2 0 1 0 5 9 7 6 0 4 7 M O B E T O N H P S E Q U I N C H F u n c ti o n a l o p t i mi T a t i o n for f a i r s u r f a c e d esi gn J C o m p u t e r G rap h i c s 1 9 9 2 2 6 2 1 6 7 1 7 6 8 C E L N I K E R G WE L C H W L i n e a r c o n s t r a i n ts fo r d e f o rma b l e B s p l i n e s u r f a c e s C N e w Y o r k I n P r o c e e d i n g s o f t h e Sy mp o s i u m o n I nt e r a c t i v e 3D Graph i c s ACM 1 9 9 2 61 6 8 9 w J 口 I W WI T C K I NA V a r i a ti o n a l s u r f a c e 咖d e l i r I g J C o m p u t er G r a p h i cs 1 9 9 2 2 6 2 1 5 7 1 6 6 1 O 宋 德军 朱心雄 基 于数 学 规划 的 曲面造 型方 法 J 工程 图学学 报 1 9 9 7 1 8 2 3 7 8 8 4 1 1 宋德 军 朱 心 雄 用 能 量 优 化 方 法 构 造 N边 域 曲面 J 工 程 图学学 报 1 9 9 8 1 9 1 4 1 4 7 1 2 WE S IK W V E L T K A MP R C v e d e s i gn o f c o n s a a h l e d v I r ia 商 x l 8 l a l 嗍 J C o m p u t e r A i d e d G e o n lt i c D e s i g n 1 9 9 5 1 3 3 5 3 3 5 4 6 1 3 朱翔 胡事民 孙 家广 基 于外部 能量 约束 的 曲面形 状修 改 J 计算机辅 助设计与 图形学学报 2 o o 3 1 2 9 6 5 1 655 1 4 刘 海 峰 王 同洋 王 启 富 约 束 可 变 形 曲 面 的 交 互 设 计 J 华 中理 工 大学 学 报 2 0 0 0 2 8 3 7 9 1 5 3 T E R Z O P O U L O S D Q I N H D y l l a m i c N U R B S w i th g e o m e t r i c 1 6 1 7 1 8 1 9 2 O 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 c o n s t r a i n ts for i n t e r a c ti v e s c u l p t i n g J J ACM T r a n s a c ti o n o n G r a p hic s 1 9 9 4 1 3 2 1 0 3 1 3 5 QI N H T ER Z OP OUL OS D D NUR BS a p h y s i c s b a s e d f r a m e w o r k fo r g e o m e t r i c d e s i gn J I E E E T r a n s a c ti o ns o n V i s u a l i z a fi o n and C o mp u t e r G r a p h i c s 1 9 9 6 2 1 8 5 9 6 Q I N H T E R Z O P O U L O S D 陆 n g I ll a r N U R B S a n d t h e i r d y 阻面c g e n e ml i T a t l o n s J C o m p u t e r A i d e d G e o me t r i c D e s i gn 1 9 9 7 1 4 4 3 2 5 3 4 7 Q I N H I E R z 0 P 0 U L D S D D y a c N U R B S s w u n g s u r f a c e s f o r p h y s i c s b a s e d s h a p e d e s i gn J C o m p u t e r Aid e d Desi gn 1 9 9 5 2 7 2 l 1 1 1 2 7 李永 林 王 启 付 钟 毅 芳 等 基 于 物 理 的 准 D N U R B S 造 型方 法 J 计 算机 仿 真 1 9 9 8 1 5 2 4 6 5 0 李 德信 应 锦 春 准 D N U R B S摆 转 曲 面 在 曲 面 造 型 中 的应 用 J 机 电工 程 1 9 9 9 1 6 3 1 3 GUAN ZH I D ONG J I N L I NG N I NG T AO e t a 1 S t u d y an d a pp fic afi o n o f p hy s i c s b a s e d d e f o rm abl e c ur v es an d s u r f a c e s J C o mp u t e r G rap hi c s 1 9 9 7 2 1 3 3 0 5 3 1 3 Q I N H MA N D A L C V E MU R I B C D r a c Co t m u l l C l a r k s u b d i v i s i o n s u r f ace s J J I E E E T r a n s a c t i o as o n V i s u a l i z a fi o n and C o m p u t e r G rap h i c s 1 9 9 8 4 3 2 1 5 2 2 9 M A N D A L C Q I N H V E MU R I B C A n o v e l F E M b a s e d d y c f r a m e w o r k f o r s u b d i v i s i o n s u I o e s J C o m put er Aid e d D e s i gn 2 0 0 O 3 2 4 7 9 4 9 7 D A C H 皿F Q I N H K A U F M A N A A n o v e l h a p fi c s b a s od i n t e r f ac e an d s c ul p t i ng s y s t e m for p hy s i es b a s e d g e o me t r i c d e s i gn J C o mp u t e r Aid e d D esi gn 2 0 0 1 3 3 5 4 0 3 4 2 0 武 仲科 齐 建 昌 戴 国忠 以 复形 为基 础 的非 流 形 造 型 与 基 于物 理 的造 型 相结 合 的 物体 表示 J 中 国图像 图形 学 报 1 9 9 8 3 1 2 1 0 2 8 1 0 3 1 成 思源 熊汉 伟 张 湘伟 基 于流 形上 物理造 型 的 曲面 设 计 方法 J 重 庆 大学 学 报 英 文版 2 0 0 2 1 1 7 O一7 3 o f Ph y s i c s Ba s e d Fr e e f o r m Su r f a c e M o d e l i ng CHE NG Si y u a n ZH ANG Xi a n g 鹏 2 XI ONG Ha n we P 1 C o l l e g e o f R e s o u r c e s a n d E n v i r o n m e n t a l S c i e n c e C h o n g q i n g u n i v e r s i t y C h o n g q i n g 4 0 0 0 4 4 C h i n a 2 F a c u ky o f El e c t rome c h a n i c a l En g i n e e rin g Gu an g d o n g Un i v e r s i t y o f Te c h n do g y Gu an g z h o u 5 1 0 0 9 0 C hi n a 3 Me c h a t r o n i c E n gi n e e r D e p a r t me n t S h ant o u U n i v e r s i t y S h ant o u 5 1 5 0