河北南宫一中高三数学二轮复习 76 空间向量及运算学案.doc

第6讲空间向量及运算 1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 1种必会方法利用向量法求解立体几何问题用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：适当的选取基底a，b，c；用a，b，c表示相关向量；通过运算完成证明或计算问题2个问题点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明a、 b、c三个点共线，即证明与共线 (2)点共面问题：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明p、a、b、c四点共面，只要能证明xy，或对空间任一点o，有xy或xyz(xyz1)即可3个注意空间向量应用中的注意事项(1)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘(2)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点进行向量减法时，必须使两向量共起点(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比，可以比较容易地掌握空间向量的坐标运算问题.考点1空间向量的有关定理1.共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使 .2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得 .其中，a，b，c叫做空间的一个 推论：设o、a、b、c是不共面的四点，则对空间任一点p，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使 判断下列说法是否正确(请在括号内填“”或“ ”)(1)已知a、b、c、d是空间任意四点，则0.( )(2)若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行( )(3)若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面( )(4)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面( )(5)已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.( )如图所示，已知空间四边形abcd，f为bc的中点，e为ad的中点，若()，则_.考点2数量积及坐标运算1.两个向量的数量积ab|a|b|cosa，bab (a，b为非零向量)|a|2 ，|a|.2空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则|a|.ab ab a ab 设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 cosa，b .(1)已知向量a(8，x，x)，b(x,1,2)，其中x0.若ab，则x的值为 .(2)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是 .(3)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的锐角二面角为 .考向一例12013长春月考如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).本例中，若o为底面abcd对角线ac与bd的交点，试用a，b，c表示向量.用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来1. 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，g为a1bd的重心，设a，b，c，试用a，b, c表示，.考向二例22014抚州月考如图在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是平行四边形，e、f、g分别是a1d1、d1d、d1c1的中点(1)试用向量，表示；(2)用向量方法证明平面efg平面ab1c.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(p，a，b)共线空间四点(m，p，a，b)共面且同过点pxy对空间任一点o，t对空间任一点o，xy对空间任一点o，x(1x)对空间任一点o，xy(1xy)2. 如图，在三棱柱abca1b1c1中，d为bc边上的中点，求证：a1b平面ac1d.考向三例3已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标空间向量数量积的应用中的主要题型(1)求夹角设向量a，b所成的角为，则cos，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题3. 如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cc1的中点(1)求af；(2)求.（实验班必做）题型技法系列12利用空间向量解立体几何问题2013长沙模拟直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d、e分别为ab、bb的中点(1)求证：cead；(2)求异面直线ce与ac所成角的余弦值 破题技巧利用空间向量解决立体几何方