大学物理第三版 主编赵近芳 第三单元.pdf

习题三 3 1 惯性系S 相对惯性系S以速度u运动 当它们的坐标原点O与O 重合时 t t 0 发 出一光波 此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何 用直角坐标系写出各自观 测的波阵面的方程 解 由于时间和空间都是均匀的 根据光速不变原理 光讯号为球面波 波阵面方程为 2222 ctzyx 2222 t czyx 题 3 1 图 3 2 设图3 4中车厢上观测者测得前后门距离为2l 试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测 到同一光信号到达前 后门的时间差 解 设光讯号到达前门为事件1 在车厢 S 系时空坐标为 11 c l ltx 在车站 S系 1 2 1 2 11 c u c l l c u c l x c u tt 光信号到达后门为事件2 则在车厢 S 系坐标为 22 c l ltx 在车站 S系 1 2 2 22 c u c l x c u tt 于是 2 12 2 c lu tt 或者lxxxtttt2 0 2121 2 22 l c u x c u tt 3 3 惯性系S 相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动 取两坐标原点重合时刻作为计 时起点 在S系中测得两事件的时空坐标分别为 1 x 6 10 4m 1 t 2 10 4s 以及 2 x 12 10 4m 2 t 1 10 4s 已知在S 系中测得该两事件同时发生 试问 1 S 系相对S系的速度 是多少 2 S 系中测得的两事件的空间间隔是多少 解 设 S 相对S的速度为v 1 1 2 11 x c v tt 2 2 22 x c v tt 由题意0 12 tt 则 12 2 12 xx c v tt 故 8 12 122 105 1 2 c xx tt cv 1 sm 2 由洛仑兹变换 222111 vtxxvtxx 代入数值 m102 5 4 12 xx 3 4 长度 0 l 1 m 的米尺静止于S 系中 与x 轴的夹角 30 S 系相对S系沿x轴 运动 在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为 45 试求 1 S 系和S系的相对运动速 度 2 S系中测得的米尺长度 解 1 米尺相对S 静止 它在yx 轴上的投影分别为 m866 0 cos 0 LLx m5 0sin 0 LLy 米尺相对S沿x方向运动 设速度为v 对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩 而y方 向的长度不变 即 yyxx LL c v LL 1 2 2 故 2 2 1 tan c v L L L L L L x y x y x y 把 45 及 yx LL 代入 则得 866 0 5 0 1 2 2 c v 故cv816 0 2 在S系中测得米尺长度为m707 0 45sin y L L 3 5 一门宽为a 今有一固有长度 0 l 0 l a 的水平细杆 在门外贴近门的平面内沿其长度 方向匀速运动 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门 则该杆相对于门的 运动速率u至少为多少 解 门外观测者测得杆长为运动长度 2 0 1 c u ll 当a 1时 可认为能被拉进门 则 2 0 1 c u la 解得杆的运动速率至少为 2 0 1 l a cu 题 3 6 图 3 6两个惯性系中的观察者O和O 以0 6c c表示真空中光速 的相对速度相互接近 如果O 测得两者的初始距离是20m 则O 测得两者经过多少时间相遇 解 O测得相遇时间为t cv L t 6 0 20 0 O 测得的是固有时t v Lt t 2 0 1 s1089 8 8 6 0 c v 8 0 1 或者 O 测得长度收缩 v L tLLLL 8 06 011 0 2 0 2 0 s1089 8 1036 0 208 0 6 0 8 0 8 8 0 c L t 3 7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S 中 甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为 4s 而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s 求 1 S 相对于S的运动速度 2 乙测得这两个事件发生的地点间的距离 解 甲测得0 s4 xt 乙测得s5 t 坐标差为 12 xxx 1 t c v tx c v tt 2 2 1 1 5 4 1 2 2 t t c v 解出cc t t cv 5 3 5 4 1 1 22 8 108 1 1 sm 2 0 4 5 x t t tvxx m10934 5 3 4 5 8 cctvx 负号表示0 12 d 故该 介子能到达地球 或在 介子静止系中 介子是静止的 地球则以速度v接近介子 在 0 t 时间内 地球接 近的距离为m599 0 tvd m6000 0 d经洛仑兹收缩后的值为 m3791 2 2 00 c v dd 0 dd 故 介子能到达地球 3 13 设物体相对S 系沿x 轴正向以0 8c运动 如果S 系相对S系沿x轴正向的速度也是 0 8c 问物体相对S系的速度是多少 解 根据速度合成定理 cu8 0 cvx8 0 c c cc cc c vu uv v x x x 98 0 8 08 0 1 8 08 0 1 22 3 14 飞船A以0 8c的速度相对地球向正东飞行 飞船B以0 6c的速度相对地球向正西方向 飞行 当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹 在B飞船的观 测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少 解 取B为S系 地球为S 系 自西向东为x x 轴正向 则A对S 系的速度cvx8 0 S 系对S系的速度为cu6 0 则A对S系 B船 的速度为 c cc c vu uv v x x x 946 0 48 0 1 6 08 0 1 2 发射弹是从A的同一点发出 其时间间隔为固有时s2 t 题 3 14 图 B中测得的时间间隔为 s17 6 946 0 1 2 1 2 2 2 c v t t x 3 15 1 火箭A和B分别以0 8c和0 6c的速度相对地球向 x和 x方向飞行 试求由火箭 B测得A的速度 2 若火箭A相对地球以0 8c的速度向 y方向运动 火箭B的速度不变 求A相对B的速度 解 1 如图a 取地球为S系 B为S 系 则S 相对S的速度cu6 0 火箭A相对S 的速度cvx8 0 则A相对S B 的速度为 c c cc cc v c u uv v x x x 946 0 8 0 6 0 1 6 0 8 0 1 22 或者取A为S 系 则cu8 0 B相对S系的速度cvx6 0 于是B相对A的速度为 c c cc cc v c u uv v x x x 946 0 6 0 8 0 1 8 06 0 1 22 2 如图b 取地球为S系 火箭B为S 系 S 系相对S系沿x 方向运动 速度 cu6 0 A对S系的速度为 0 x v cvy8 0 由洛仑兹变换式A相对B的速度为 c c v c u uv v x x x 6 0 01 6 0 0 1 2 cc v c u v c u v x y y 64 0 8 0 6 01 1 1 2 2 2 2 A相对B的速度大小为 cvvv yx 88 0 22 速度与x 轴的夹角 为 07 1 tan x y v v 8 46 题 3 15 图 3 16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成 60角的方向飞行 另一观测者静止于S 系 S 系的x 轴与x轴一致 并以0 6c的速度沿x方向运动 试问S 系中的观测者观 测到的光子运动方向如何 解 S系中光子运动速度的分量为 ccvx500 0 60cos ccvy866 0 60sin 由速度变换公式 光子在S 系中的速度分量为 c c cc cc v c u uv v x x x 143 0 5 06 0 1 6 05 0 1 22 c c cc c v c u v c u v x y y 990 0 5 06 0 1 866 0 6 01 1 1 2 2 2 2 2 光子运动方向与x 轴的夹角 满足 692 0 tan x y v v 在第二象限为 2 98 在S 系中 光子的运动速度为 cvvv yx 22 正是光速不变 3 17 1 如果将电子由静止加速到速率为0 1c 须对它作多少功 2 如果将电子由速率为 0 8c加速到0 9c 又须对它作多少功 解 1 对电子作的功 等于电子动能的增量 得 1 1 1 1 2 2 2 0 2 0 2 0 2 c v cmcmcmmcEE kk 1 1 01 1 103 101 9 2 2831 16 1012 4 J eV1057 2 3 2 2 0 2 1 2 0 2 2 12 cmcmcmcmEEE kkk 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 c v c v cmcmcm 8 01 1 9 01 1 103101 9 22 16231 J1014 5 14 eV1021 3 5 3 18 子静止质量是电子静止质量的207倍 静止时的平均寿命 0 2 10 6s 若它在实 验室参考系中的平均寿命 7 10 6s 试问其质量是电子静止质量的多少倍 解 设 子静止质量为 0 m 相对实验室参考系的速度为cv 相应质量为m 电子静 止质量为 e m0 因 2 7 1 1 10 22 0 即 由质速关系 在实验室参考系中质量为 2 0 2 0 1 207 1 e mm m 故725 2 7 207 1 207 2 0 e m m 3 19 一物体的速度使其质量增加了10 试问此物体在运动方向上缩短了百分之几 解 设静止质量为 0 m 运动质量为m 由题设10 0 0 0 m mm 2 0 1 m m 由此二式得10 0 1 1 1 2 10 1 1 1 2 在运动方向上的长度和静长分别为l和 0 l 则相对收缩量为 1 9091 0 10 1 1 111 2 0 0 0 l ll l l 3 20 一电子在电场中从静止开始加速 试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0 4 此时电子速度是多少 已知电子的静止质量为9 1 10 31kg 解 由质能关系 100 4 0 2 00 cm E m m 100 103 101 94 0 100 4 0 2831 2 0 cm E J1028 3 16 eV 106 1 1028 3 19 16 eV100 2 3 所需电势差为 3 100 2 伏特 由质速公式有 004 1 1 100 4 0 1 1 1 1 1 0 0 002 m m mm m m m 3222 1095 7 004 1 1 1 c v 故电子速度为 17 sm107 2 cv 3 21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能 K E 2 8 10 9eV 这种电子速率比光速差多 少 这样的一个电子动量是多大 与电子静止质量相应的能量为 0 E 0 511 10 6eV 解 2 0 2 2 2 0 1 cm c v cm Ek 所以 2 0 2 0 2 0 2 2 1 1 1 cmE cm cmEc v kk 由上式 29626 2 2 0 2 0 108 210511 0 1051 0 1 1 c Ecm cm cv k 8 109979245 2 1 sm 8 10997924580 2 vc 1 sm 8109979245 2 8 1 sm 由动量能量关系 42 0 222 cmcpE 可得 c cmEE c cmcmE c cmE p kkk 2 0 242 0 22 0 42 0 2 2 118 8 2 1 38269182 smkg1049 1 103 106 1 10511 0 108 22108 2 3 22 氢原子的同位素氘 2 1H 和氚 3 1H 在高温条件下发生聚变反应 产生氦 4 2He 原子核和 一个中子 1 0n 并释放出大量能量 其反应方程为 2 1H 3 1H 4 2He 1 0n 已知氘核的静 止质量为2 0135原子质量单位 1原子质量单位 1 600 10 27kg 氚核和氦核及中子的质量 分别为3 0155 4 0015 1 00865原子质量单位 求上述聚变反应释放出来的能量 解 反应前总质量为0290 5 0155 3 0135 2 amu 反应后总质量为0102 50087 10015 4 amu 质量亏损 0188 00102 50290 5 mamu kg1012 3 29 由质能关系得 2 8292 1031012 3 mcE J1081 2 21 7 1075 1 eV 3 23 一静止质量为 0 m的粒子 裂变成两个粒子 速度分别为0 6c和0 8c 求裂变过程的静 质量亏损和释放出的动能 解 孤立系统在裂变过程中释放出动能 引起静能减少 相应的静止质量减少 即静质量亏 损 设裂变产生两个粒子的静质量分别为 10 m和 20 m 其相应的速度cv6 0 1 cv8 0 2 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能 质 量守恒定律 所以有 0 11 2 2 2 2 20 1 2 2 1 10 2211 v c v m v c v m vmvm 0 2 2 2 20 2 2 1 10 21 11 m c v m c v m mm 注意 1 m和 2 m必沿相反方向运动 动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程 再以 6 0 1 vc 8 0 2 vc 代入 将上二方程化为 2010 6 8 8 6 mm 0 2010 6 08 0 m mm 上二式联立求解可得 010 459 0 mm 020 257 0 mm 故静质量亏损 020100 284 0 mmmmm 由静质量亏损引起静能减少 即转化为动 能 故放出的动能为 2 0 2 284 0 cmmcEk 3 24 有A B两个静止质量都是 0 m的粒子 分别以 1 v v 2 v v的速度相向运动 在发 生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子 求碰撞后粒子的速度和静止质量 解 在实验室参考系中 设碰撞前两粒子的质量分别 1 m和 2 m 碰撞后粒子的质量为M 速度为V 于是 根据动量守恒和质量守恒定律可得 MVvmvm 2211 Mmm 21