河北省“五个一名校联盟”高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年河北省“五个一名校联盟”高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上1设集合m=x|x2+2x150，n=x|x2+6x70，则mn=（）a（5，1b1，3）c7，3）d（5，3）2已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni，则=（）aibic1d13设若f（x）=，f（f（1）=8，则a的值是（）a1b2c1d24设为两个非零向量，则“=|”是“与共线”的（）a充分而不必要条件b必要而不充要条件c充要条件d既不充分也不必要条件5如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）a11b10c8d76已知为锐角，且sin（）=，则tan2=（）abcd7|=1，|=， =0，点c在aob内，且aoc=30，设=m+n（m、nr），则等于（）ab3cd8等差数列an的前n项和为sn，且s2=10，s4=36，则过点p（n，an）和q（n+2，an+2）（nn*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）a（1，1）bcd9函数y=loga（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+2=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）a2b4cd10在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）abcd11多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）a28+4b30+4c30+4d28+412若曲线c1：y=ax2（a0）与曲线c2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为（）abc，+）d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填在答题卡上13（x2x+2）5的展开式中x3的系数为14若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为15设点p（x，y）满足条件，点q（a，b）（a0，b0）满足1恒成立，其中o是坐标原点，则q点的轨迹所围成图形的面积是16在abc中，tan=2sinc，若ab=1，则ac+bc的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17已知数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且（）求数列an的通项公式；（）设，求tn18（12分）（2015雅安模拟）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（）求直方图中x的值；（）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为x，求x的分布列和数学期望（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）19已知四棱锥中，pa平面abcd，底面abcd是边长为a的菱形，bad=120，pa=b（）求证：平面pbd平面pac；（）设ac与bd交于点o，m为oc中点，若二面角opmd的正切值为，求a：b的值20已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于a，b两点（）若x轴与以ab为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求aob面积的最大值21已知函数f（x）=ax2ex（ar）（）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），证明：f（x1）1请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分作答时请写清题号选修4-1几何证明选讲22选修41几何证明选讲已知abc中ab=ac，d为abc外接圆劣弧，上的点（不与点a、c重合），延长bd至e，延长ad交bc的延长线于f（i）求证cdf=edf（ii）求证：abacdf=adfcfb选修4-4：极坐标与参数方程选讲23已知曲线c的极坐标方程是=2sin，设直线l的参数方程是（t为参数）（1）将曲线c的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是m，n为曲线c上一动点，求|mn|的最大值选修4-5：不等式选讲24选修45不等式选讲已知a+b=1，对a，b（0，+），使+|2x1|x+1|恒成立，求x的取值范围2015年河北省“五个一名校联盟”高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上1设集合m=x|x2+2x150，n=x|x2+6x70，则mn=（）a（5，1b1，3）c7，3）d（5，3）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】分别求出m与n中不等式的解集，确定出m与n，找出两集合的交集即可【解答】解：由m中不等式变形得：（x3）（x+5）0，解得：5x3，即m=（5，3），由n中不等式变形得：（x1）（x+7）0，解得：x7或x1，即n=（，71，+），则mn=1，3），故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni，则=（）aibic1d1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】利用复数相等的条件求出m和n的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简【解答】解：由m（1+i）=5+ni，得，所以m=n=5则=故选a【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题3设若f（x）=，f（f（1）=8，则a的值是（）a1b2c1d2【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，以及方程求解即可【解答】解：f（x）=，f（f（1）=8，f（1）=lg1=0，f（f（1）=f（0）=0=t3=a3=8，解得a=2故选：b【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及定积分的运算，考查计算能力4设为两个非零向量，则“=|”是“与共线”的（）a充分而不必要条件b必要而不充要条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论【解答】解：若=|，则|cos，=|cos，|，即cos，=|cos，|，则cos，0，则与共线不成立，即充分性不成立若与共线，当，=，cos，=1，此时=|不成立，即必要性不成立，故“=|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：d【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键5如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）a11b10c8d7【考点】选择结构【专题】创新题型【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分根据x1=6，x2=9，不满足|x1x2|2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分因此由8.5=，解出x3=8故选c【点评】本题考查学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题6已知为锐角，且sin（）=，则tan2=（）abcd【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（），可得tan（），解方程求得tan，可得tan2= 的值【解答】解：为锐角，且sin（）=，cos（）=，tan（）=，tan=，tan2=，故选：c【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式、二倍角公式的应用，属于中档题7|=1，|=， =0，点c在aob内，且aoc=30，设=m+n（m、nr），则等于（）ab3cd【考点】向量的共线定理；向量的模【专题】计算题；压轴题【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案此题如果没有点c在aob内的限制，应该有两种情况，即也可能为oc在oa顺时针方向30角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错【解答】解：法一：如图所示： =+，设=x，则= =3法二：如图所示，建立直角坐标系则=（1，0），=（0，），=m+n=（m， n），tan30=，=3故选b【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果8等差数列an的前n项和为sn，且s2=10，s4=36，则过点p（n，an）和q（n+2，an+2）（nn*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）a（1，1）bcd【考点】直线的斜率【专题】计算题；直线与圆【分析】由题意求出等差数列的通项公式，得到p，q的坐标，写出向量的坐标，找到与向量共线的坐标即可【解答】解：等差数列an中，设首项为a1，公差为d，由s2=10，s4=36，得，解得a1=3，d=4an=a1+（n1）d=3+4（n1）=4n1则p（n，4n1），q（n+2，4n+7）过点p和q的直线的一个方向向量的坐标可以是（2，8）=4（）即为故选b【点评】本题考查了直线的斜率，考查了等差数列的通项公式，训练了向量的坐标表示，是中档题9函数y=loga（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+2=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）a2b4cd【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由题意可得点a（2，1）；故2mn+2=0；从而得=+=+2+；利用基本不等式求解【解答】解：由题意，点a（2，1）；故2mn+2=0；故2m+n=2；=+=+2+4+=；当且仅当m=n=时，等号成立；故选d【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题10在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间1，5和2，4分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：表示焦点在x轴上且离心率小于，ab0，a2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为p=1=，故选b【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关11多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）a28+4b30+4c30+4d28+4【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥pabc其中平面pab平面abc，pbab，pb=ab=4，d为ab的中点，cdab，cd=4即可得出【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥pabc其中平面pab平面abc，pbab，pb=ab=4，d为ab的中点，cdab，cd=4该多面体的表面积s=+=28+4故选：a【点评】本题考查了三棱锥的三视图的表面积、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12若曲线c1：y=ax2（a0）与曲线c2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为（）abc，+）d【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围【解答】解：由y=ax2（a0），得y=2ax，由y=ex，得y=ex，曲线c1：y=ax2（a0）与曲线c2：y=ex存在公共切线，则设公切线与曲线c1切于点（），与曲线c2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，a=，记，则，当x（0，2）时，f（x）0当x=2时，a的范围是）故选：c【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填在答题卡上13（x2x+2）5的展开式中x3的系数为200【考点】二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r的值，即可求得x3项的系数【解答】解：式子（x2x+2）5 =（x2x）+25的展开式的通项公式为tr+1=（x2x）5r2r，对于（x2x）5r，它的通项公式为tr+1=（1）rx102rr，其中，0r5r，0r5，r、r都是自然数令102rr=3，可得，或，故x3项的系数为22（）+23（）=200，故答案为：200【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到【解答】解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x，则=b=2c，即有c=2b，即有c=2，即有3c2=4a2，即有e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题15设点p（x，y）满足条件，点q（a，b）（a0，b0）满足1恒成立，其中o是坐标原点，则q点的轨迹所围成图形的面积是【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算【分析】由已知中在平面直角坐标系中，点p（x，y），则满足1的点q的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点q的轨迹围成的图形的面积【解答】解： 1，ax+by1，作出点p（x，y）满足条件的区域如图，且点q（a，b）满足1恒成立，只须点p（x，y）在可行域内的角点处：a（1，0），b（0，2），ax+by1成立即可，即，它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：故答案为：【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16在abc中，tan=2sinc，若ab=1，则ac+bc的最大值为【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】解三角形【分析】由已知式子化简变形讨论可得c=，再由正弦定理可得ac+bc=sin（a）+sina=cosa+sina，由三角函数的最值可得【解答】解：在abc中，tan=2sinc，tan（）=2sinc， =2sinc，=4sincos，即cos（4sin21）=0，解得cos=0或4sin21=0，c=（舍去），或c=（舍去），或c=，又ab=1， =，ac=sinb，bc=sina，又b=a，ac+bc=sin（a）+sina=cosa+sina，ac+bc的最大值为=故答案为：【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和同角三角函数的基本关系，以及三角函数的化简求最值，属中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17已知数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且（）求数列an的通项公式；（）设，求tn【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（）由，知，所以（an+an1）（anan11）=0，由此能求出an=n（）由，知，由此能求出tn【解答】解：（），由得：，（2分） （an+an1）（anan11）=0，an0，又，a1=1，（5分）当n=1时，a1=1，符合题意故an=n（6分）（），（10分）故（12分）【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法的合理运用18（12分）（2015雅安模拟）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（）求直方图中x的值；（）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为x，求x的分布列和数学期望（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（i）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值（ii）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可（）求出随机变量x可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望【解答】解：（）由直方图可得：20x+0.02520+0.006520+0.003220=1所以 x=0.0125（）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12，因为6000.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿（）x的可能取值为0，1，2，3，4由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，所以x的分布列为：x01234p（或）所以x的数学期望为1【点评】本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力19已知四棱锥中，pa平面abcd，底面abcd是边长为a的菱形，bad=120，pa=b（）求证：平面pbd平面pac；（）设ac与bd交于点o，m为oc中点，若二面角opmd的正切值为，求a：b的值【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【专题】综合题；空间向量及应用【分析】（i）根据线面垂直的判定，证明bd平面pac，利用面面垂直的判定，证明平面pbd平面pac（ii）过o作ohpm交pm于h，连hd，则ohd为apmd的平面角，利用二面角opmd的正切值为，即可求a：b的值【解答】解：（i）证明：因为pa平面abcd，所以pabd，又abcd为菱形，所以acbd，因为paac=a，所以bd平面pac，因为bd平面pbd，所以平面pbd平面pac（ii）解：过o作ohpm交pm于h，连hd，因为do平面pac，由三垂线定理可得dhpm，所以ohd为apmd的平面角又，且从而所以9a2=16b2，即【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角20已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于a，b两点（）若x轴与以ab为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求aob面积的最大值【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）联立得y2+8y8b=0由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程（）由直线l与y轴负半轴相交，得1b0，由点o到直线l的距离d=，得saob=|ab|d=4由此利用导数性质能求出aob的面积的最大值【解答】解：（）联立得：y2+8y8b=0依题意应有=64+32b0，解得b2设a（x1，y1），b（x2，y2），设圆心q（x0，y0），则应有x0=，y0=4因为以ab为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，又|ab|=所以|ab|=2r，即=8，解得b=所以x0=2b+8=，所以圆心为（，4）故所求圆的方程为（x）2+（y+4）2=16（）因为直线l与y轴负半轴相交，b0，又l与抛物线交于两点，由（）知b2，2b0，直线l：y=x+b整理得x+2y2b=0，点o到直线l的距离d=，所以saob=|ab|d=4b=4 令g（b）=b3+2b2，2b0，g（b）=3b2+4b=3b（b+），g（b）在（2，）增函数，在（，0）是减函数，g（b）的最大值为g（）=当b=时，aob的面积取得最大值【点评】本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力21已知函数f（x）=ax2ex（ar）（）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），证明：f（x1）1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】导数的综合应用【分析】（）a=1时，f（x）=x2ex，f（x）=2xex，f（x）=2ex，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f（x）取得最大值，f（ln2）=2ln220，即可得出（ii）f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），可得f（x）=2axex=0有两个实根x1，x2（x1x2），由f（x）=2aex=0，得x=ln2af（ln2a）=2aln2a2a0，得ln2a1，解得2ae又f（0）=10，f（1）=2ae0，可得0x11ln2a，进而得出【解答】（）解：a=1时，f（x）=x2ex，f（x）=2xex，f（x）=2ex，令f（x）0，解得xln2，此时函数f（x）单调递增；令f（x）0，解得xln2，此时函数f（x）单调递减当x=ln2时，函数f（x）取得最大值，f（ln2）=2ln220，函数f（x）在r上单调递减（）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），f（x）=2axex=0有两个实根x1，x2（x1x2），由f（x）=2aex=0，得x=ln2af（ln2a）=2aln2a2a0，得ln2a1，解得2ae又f（0）=10，f（1）=2ae0，0x11ln2a，由f（x1）=0，可得，f（x1）=（0x11）可知：x1是f（x）的极小值点，f（x1）f（0）=1f（x1）=2ax1【点评】本题考查了利用导数（两次求导）研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分作答时请写清题号选修4-1几何证明选讲22选修41几何证明选讲已知abc中ab=ac，d为abc外接圆劣弧，上的点（不与点a、c重合），延长bd至e，延长ad交bc的延长线于f（i）求证cdf=edf（ii）求证：abacdf=adfcfb【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理【专题】综合题【分析】（i）根据a，b，c，d 四点