静力学第三章.doc

第三章 力矩与平面力偶系教学内容及基本要求：力对点之矩，合力矩定理。力偶，力偶矩，平面力偶的等效条件。平面力偶系的合成和平衡条件。正确理解并熟练计算力对点的矩，理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和等效条件，掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。重点：力对点的矩的计算，力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。学时分配：23-1 力偶与力偶矩 l dAO B一、力对点的矩举例：用扳手转动螺母拧动螺母的作用不仅与力的大小有关，而且与点到力的作用线的垂直距离有关。因此可用两者的乘积来度量，同时，力使扳手绕点转动的方向不同，作用效果也不同。由此可见，力使物体绕点转动的效果，完全由下列两个因素决定：（1） 力的大小与力臂的乘积；（2） 力使物体绕点转动的方向。 B A O d这两个因素用一个代数量包括无遗，称为力对点的矩(Moment of force about a point)，简称力矩(Moment)。推广到普遍情形。如图所示，平面上作用一力，在同平面内任取一点，称为矩心(Center of moment)。点到力的作用线的垂直距离称为力臂，则在平面问题中力对点的矩的定义如下：力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积。它的正负按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向为正，反之为负。力对点的矩以符号表示，即力对点的矩的大小也可由三角形面积的两倍来表示，即力矩的单位是或。综上所述可知：（1） 力对点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；（2） 力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变。因为此时力和力臂的大小均未改变；（3） 力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4） 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。例-1、正平行六面体，重为，边长，今将其斜放，使它的底面与水平面成角。试求其重力对棱的力矩。 C D O B A解：时当与地面垂直时，力经过点，此时 二、力偶与力偶矩实例：作用一对等值反向的平行力，合力虽然等于零，但由于不共线而不能相互平衡，能使物体改变转动状态。 D x d OB A DA B C d由两个大小相等、作用线不重合的反向平行力组成的力系，称为力偶(Couple)。记为。力偶中两力所在的平面叫做力偶作用面，两力作用线间的垂直距离叫力偶臂，用表示。如何度量力偶对物体的作用效应呢？显然可用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。如图，在力偶平面内任取一点为矩心，设点与力作用线的距离为，则力偶的两个力对于点之矩的和为由此可见，力偶对矩心点的力矩只与力和力偶臂的大小有关，而与矩心的位置无关。即力偶对物体的转动效应只取决于力的大小和二力之间的垂直距离（力偶臂）。因此，在力学上以乘积作为度量力偶对物体的转动效应的物理量，称为力偶矩(Moment of a couple)，以符号或表示，即式中的正负号表示力偶的转动方向，即逆时针方向转动时为正；顺时针转动时为负。由此可见，在平面内，力偶矩是代数量。 d = d = 力偶矩也可用三角形面积表示力偶矩的单位也是或。综上所述，力偶对物体的作用效应，取决于下列三要素：（1） 力偶矩的大小；（2） 力偶的转向；（3） 力偶的作用面。以上三要素称为力偶的三要素(Three elements of a couple)。三、力偶的等效力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。力偶只能跟力偶所平衡。即力偶不能与力平衡，只能与另一个力偶等效。而力偶以物体的转动效应又完全取决于力偶矩，且与矩心的位置无关。故在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等，转动方向相同，则两力偶必等效。称为平面力偶的等效定理。综上所述，可得下列两个重要推论：（1） 力偶可在其作用面内任意移转，而不影响它对物体的效应。（2） 在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶矩的大小和力的大小而不影晌它对物体的效应。 注意：以上结论不适用于变形效应的研究，如下图的力偶，如变换为力偶矩相等的力偶，尽管对梁的平衡无影晌，但对梁的变形效应肯定有影晌。3-2平面力偶系的合成与平衡作用在物体上同平面内的许多力偶称为平面力偶系(Coplanar couple system)，如多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件被加工的平面上就是受到平面力偶系的作用。设有同一平面内的两个力偶和，它们的力偶臂各为和，其力 d1 A A d2 d B d B 偶矩分别为和。在力偶的作用面内任取一线段，在不改变力偶矩的条件下，将各力偶的臂都化为，于是得到与原力偶等效的两个力偶和，和的大小可由下式算出：然后移转各力偶使其力偶臂都与重合（如图）。再将作用于点的各力合成，这些力沿同一直线作用，可得合力，其大小为同样，可将作用于点的各力合成为一个合力，它与力大小相等，方向相反，且不在同一条直线上。因此力和组成一个力偶。此即为两个力偶的合力偶，其力偶矩为若作用在同一平面内有个力偶，则其合力偶矩应为由上可知，平面力偶系的合成结果是一个合力偶，合力偶矩等于各已知力偶矩的代数和。若平面力偶系平衡，则合力偶矩必须等于零，即 A 200mm C D 200mm 反之，若力偶矩为零，则平面力偶系平衡。 由此可见，平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 a A A a B B 例3-2、刚架上作用一力偶，力偶矩的大小为，转向如图所示。若刚架重量不计，试求支座的约束反力。解：以刚架为研究对象，受力如图解得例3-3、图示一曲棒，其上作用两个力偶，试求其合力偶。若令此合力偶的两力分别作用在两点，问这两力的方向应该怎样选取，能使力的大小为最小。设棒的直径大小忽略不计。解：与；与分别构成力偶。设其力偶矩分别为，合力偶为则即合力偶矩大小为，转向为顺时针方向。要使组成合力偶的的大小最小，力偶臂应为最长，即为连线在中故与铅直线的夹角为，指向分别为斜向上和斜向下。 C A O O 例3-4、圆盘上有一销钉，套在摇杆