高二数学求曲线的轨迹方程 教案.doc

高二数学求曲线的轨迹方程刘明华一. 教学内容：求曲线的轨迹方程二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点，也是难点，是解答题取材的源泉。求曲线的轨迹方程的常用方法很重要。三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P=Mp（M）；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）0，此法是求轨迹的最基本的方法。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等）， 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。注：用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x,y）却随着另一动点Q（x1,y1）的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x1,y1 表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状，位置，大小都需说明，讨论清楚。【典型例题】 例1. 已知、是两个定点，且的周长等于16，求顶点 的轨迹方程分析：由的周长等于16，可知，点到、两点的距离的和是常数因此，点 的轨迹是以 、为焦点的椭圆，可适当建立坐标系求出方程解：如图，建立坐标系，使轴经过点、，原点与的中点重合由已知，有即点的轨迹是椭圆，且 ，但当点在直线 上，即时，、三点不能构成三角形，所以点的轨迹方程是点评：（1）求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件（2）在求解时，如果题设条件中未给出坐标系时，要建立适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为坐标原点，使其具有对称性，使曲线方程尽可能地简单。例2. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程：错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解：设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=所以有（x4）2+y2=36（x2+y2）,即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程例3. 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线交于、两点，M为AB中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得， ，为所求点评：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题例4. 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A（a,0）,B（a,0）设M（x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=,坐标代入，得=,化简得（12）x2+（12）y2+2a（1+2）x+（12）a2=0（1）当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）（2）当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以（，0）为圆心，为半径的圆感悟：本题所用的方法是直接法，在所求得的曲线方程中含参数，应通过对参数的讨论来说明轨迹的类型，即是什么曲线，它的位置，形状，大小如何，此题易忽视讨论=1的情况。建立适当的坐标系，用直接法求得轨迹方程，再由值的变化讨论方程所表示的曲线。例5. 设点A和B为抛物线 y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系：解法一：设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。解法二：设M（x,y） （x0），OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0（x0）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0（x0），它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线2. 设A1、A2是椭圆=1的长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 3. 圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是：（ ）A. B. C. D. 4. 中心在原点的双曲线一个焦点为，直线与其