高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线 3.3.2 双曲线的简单性质课件 北师大版选修21.ppt

3 3 2双曲线的简单性质 知识拓展1 等轴双曲线 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线 其方程为x2 y2 a2 等轴双曲线有两个非常明显的特征 1 离心率e 2 两条渐近线互相垂直 这两个特征可用来作为判断双曲线是不是等轴双曲线的充要条件 2 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 互为共轭的双曲线具有如下性质 1 它们具有相同的渐近线 2 它们的四个焦点共圆 记忆方法 将中的1改为0即为渐近线 1改为 1即为共轭双曲线 做一做1 设双曲线的焦点在x轴上 两条渐近线为y x 则该双曲线的离心率e等于 答案 c 解析 由题意知a2 16 即a 4 又e 2 所以c 2a 8 则m c2 a2 48 答案 48 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上 2 若两条双曲线的焦点相同 则其渐近线也一定相同 3 焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 双曲线的简单性质 例1 求双曲线4x2 y2 4的顶点坐标 焦点坐标 实半轴长 虚半轴长 离心率和渐近线方程 并作出草图 思维点拨 先将所给双曲线方程化为标准方程 再根据标准方程求出各有关量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟已知双曲线的方程讨论其几何性质时 需先看所给方程是不是标准方程 若不是 需先把方程化为标准方程 再由标准方程确定焦点所在的坐标轴 找准a和b 才能正确地写出焦点坐标 顶点坐标等 注意与椭圆的相关几何性质进行比较 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 1 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 答案 1 d 2 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由双曲线的性质求双曲线方程 思维点拨 双曲线焦点不确定 可分情况讨论 也可由共渐近线的双曲线系方程求解 这样可避免讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 当所求双曲线的焦点在x轴上时 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线与双曲线的位置关系 例3 已知直线y kx与双曲线4x2 y2 16 当k为何值时 直线与双曲线 1 有两个公共点 2 有一个公共点 3 没有公共点 当4 k2 0 即k 2时 方程 无解 当4 k2 0时 4 4 k2 16 64 4 k2 当 0 即 22时 方程 无解 当 0 且4 k2 0时 不存在这样的k值 综上所述 1 当 2 k 2时 直线与双曲线有两个公共点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值 3 当k 2或k 2时 直线与双曲线没有公共点 反思感悟直线与双曲线的位置关系的判断思路 利用方程组法解决直线与双曲线的公共点问题 要注意讨论转化以后的方程的二次项系数 即若二次项系数为0 则直线与双曲线的渐近线平行或重合 若二次项系数不为0 则进一步研究二次方程的根的判别式 得到直线与双曲线的公共点个数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1相交于a b两点 1 求线段ab的长 2 当a为何值时 以ab为直径的圆经过坐标原点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 x1x2 ax1 1 ax2 1 0 即 1 a2 x1x2 a x1 x2 1 0 经检验a 1时 以ab为直径的圆经过坐标原点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视二次项系数是否为零而致误 典例 已知直线y kx 1与双曲线x2 y2 1有且仅有一个公共点 则k的值为 易错分析 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线也只有一个交点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当1 k2 0 即k 1时 上述方程为二次方程 直线和双曲线有且仅有一个公共点 当k 1时 直线和双曲线的渐近线平行 此时有且仅有一个公共点 纠错心得将直线与双曲线方程联立 当二次项系数为0时 所得直线与双曲线的渐近线平行 此时交点个数为一个 当二次项系数不为0时 由 0 得此时直线与双曲线相切 交点个数为一个 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练直线l ax y 1 0与双曲线c x2 2y2 1相交于p q两点 1 当实数a为何值时 pq 2 2 是否存在实数a 使得以pq为直径的圆经过坐标原点 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解 1 设点p q的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由弦长公式 得 与已知联立 得a2 1 故所求的实数a 1 2 假设存在实数a 使得以pq为直径的圆经过坐标原点o 则由op oq 得x1x2 y1y2 0 从而得a2 2 这与实数的性质矛盾 故不存在实数a 使得以pq为直径的圆过坐标原点 12345 1 双曲线mx2 y2 1的虚轴长是实轴长的2倍 则m等于 解析 曲线mx2 y2 1是双曲线 m 0 排除选项c d 满足题意 故选a 答案 a 12345 2 双曲线 a 0 b 0 的两焦点分别为f1 f