（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ学案 文.doc

第二章 函数的概念与基本初等函数第一节函数及其表示1函数的概念(1)定义：设a，b是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合a中的每一个元素x，在集合b中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从a到b的一个函数，记为yf(x)，xa.(2)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xa中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xa叫做函数的值域显然，值域是集合b的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(5)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法2分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数小题体验1(2018常州期末)函数ylg(x2)的定义域为_解析：由题意可得解得2x1，故所求函数的定义域为(2,1答案：(2,12已知f()x1，则f(2)_.解析：令2，则x4，所以f(2)3.答案：33已知f(x)3x32x1，若f(a)2，则f(a)_.解析：因为f(x)3x32x1，所以f(a)f(a)3a32a13(a)32(a)12，所以f(a)2f(a)0.答案：04已知函数f(x)若f(x)2，则x_.解析：依题意得当x1时，3x2，所以xlog32；当x1时，x2，x2(舍去)故xlog32.答案：log321求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域2分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论小题纠偏1设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a_.解析：若a0，则12，得a1；若a0，即x1.则函数的定义域为(，0)(1，)答案：(，0)(1，)2(2018南通中学高三测试)函数y的定义域为_解析：由函数y得解得即1x1且x，所以所求函数的定义域为.答案：3若函数yf(x)的定义域是1,2 019，则函数g(x)的定义域是_解析：令tx1，由已知函数的定义域为1,2 019，可知1t2 019.要使函数f(x1)有意义，则有1x12 019，解得0x2 018，故函数f(x1)的定义域为0，2 018所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x1或1x2 018.故函数g(x)的定义域为0,1)(1，2 018答案：0,1)(1,2 0184(2018南京师范大学附中模拟)函数f(x)的定义域是_解析：由题意得log(2x3)002x310，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x1.(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xr.(4)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得，3f(x)2x12x.即f(x).所以f(x)的解析式是f(x).由题悟法求函数解析式的4种方法配凑法由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如典例引领(1)换元法对于形如yf(g(x)的函数解析式，令tg(x)，从中求出x(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围(如典例引领(2)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数(如典例引领(3)解方程组法已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)(如典例引领(4)即时应用1(2018响水中学月考)若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为_解析：设g(x)ax2bxc(a0)，因为g(1)1，g(1)5，且图象过原点，所以解得所以g(x)3x22x.答案：g(x)3x22x2已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：(换元法)设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：(配凑法)因为x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.锁定考向分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：(1)分段函数的求值问题；(2)求参数或自变量的值与范围；(3)分段函数与不等式问题 题点全练角度一：分段函数的求值问题1(2018无锡模拟)已知函数f(x)则f的值是_解析：由题意可得flog22，所以ff(2)321.答案：角度二：求参数或自变量的值与范围2已知f(x)若f(a)，则a_.解析：若a0，由f(a)得，a，解得a；若a3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a0时，由log3a2，解得a9，所以f(7a)f(2)222.答案：2(2018姜堰中学测试)已知函数f(x)的定义域为实数集r，xr，f(x90)则f(10)f(100)的值为_解析：因为f(10)f(10090)lg 1002，f(100)f(1090)(10)10，所以f(10)f(100)2108.答案：83(2018南通期末)已知函数f(x)则不等式f(x22)f(x)0的解集为_解析：函数f(x)的图象如图所示，所以f(x)是定义域为r的奇函数也是增函数，所以不等式f(x22)f(x)0 f(x22)f(x)x22x，解得2x1，所以原不等式的解集为(2,1)答案：(2,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)log2(6x)的定义域是_解析：要使函数有意义应满足解得3x1，且x2，所以函数的定义域为(1,2)(2，)答案：(1,2)(2，)3已知f2x5，且f(a)6，则a_.解析：令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则4a16，解得a.答案：4已知f(x)是一次函数，且f(f(x)x2，则f(x)_.解析：f(x)是一次函数，设f(x)kxb，f(f(x)x2，可得k(kxb)bx2，即k2xkbbx2，所以k21，kbb2.解得k1，b1.即f(x)x1.答案：x15已知f(x)满足flg x，则f_.解析：令1，得x10，所以flg 101.答案：16设函数f(x)则f(f(2)_，函数f(x)的值域是_解析：f(2)，则f(f(2)f.当x1时，f(x)(0,1)，当x1时，f(x)3，)，所以f(x)3，)答案：3，)二保高考，全练题型做到高考达标1已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0_.解析：当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.当xg(f(x)的x的值是_解析：因为g(1)3，f(3)1，所以f(g(1)1.当x1时，f(g(1)f(3)1，g(f(1)g(1)3，不合题意当x2时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)1，符合题意当x3时，f(g(3)f(1)1，g(f(3)g(1)3，不合题意答案：128已知函数f(x)若f(1)，则f(3)_.解析：由f(1)，可得a，所以f(3)2.答案：9.(2018无锡一中月考) 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)logf(x)的定义域是_解析：要使函数g(x)有意义，需f(x)0，由f(x)的图象可知，当x(2,8时，f(x)0.答案：(2,810已知函数f(x)2x1与函数yg(x)的图象关于直线x2成轴对称图形，则函数yg(x)的解析式为_解析：设点m(x，y)为函数yg(x)图象上的任意一点，点m(x，y)是点m关于直线x2的对称点，则又y2x1，所以y2(4x)192x，即g(x)92x.答案：g(x)92x11(2018南京金陵中学月考)二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，函数yf(x)的图象恒在直线y2xm的上方，试确定实数m的取值范围解：(1)由f(0)1，可设f(x)ax2bx1(a0)，故f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2axab，由题意得解得故f(x)x2x1.(2)由题意，得x2x12xm，即x23x1m，对x1,1恒成立令g(x)x23x1，则问题可转化为g(x)minm，又因为g(x)在1,1上递减，所以g(x)ming(1)1，故m0时，1a1.由f(1a)f(1a)得22aa1a2a，解得a，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)得1a2a22aa，解得a，所以a的值为.答案：2定义在r上的函数f(x)满足f(x2)2f(x)，若当0x2时，f(x)x(2x)，则当4x2时，f(x)_.解析：由题意知f(x4)2f(x2)4f(x)，当4x2时，0x42，所以f(x)f(x4)(x4)2(x4)(x4)(x2)，所以当4x2时，f(x)(x4)(x2)答案：(x4)(x2)3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图(1)求出y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.因为x0，所以0x70.故行驶的最大速度是70千米/时第二节函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为i：如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是单调增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间d叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足条件对于任意的xi，都有f(x)m；存在xi，使得f(x)m对于任意xi，都有f(x)m；存在xi，使得f(x)m结论m为函数yf(x)的最大值m为函数yf(x)的最小值小题体验1yx26x5的单调减区间为_解析：yx26x5(x3)24，表示开口向上，对称轴为x3的抛物线，其单调减区间为(，3答案：(，32若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a_.解析：由f(x)的图象知，f(x)在(0，)上是减函数，因为2，a(0，)，所以f(x)在2，a上也是减函数，所以f(x)maxf(2)，f(x)minf(a)，所以，所以a4.答案：43函数f(x)是在区间(2,3)上的增函数，则yf(x5)的一个递增区间是_解析：由2x53，得7x2，故yf(x5)的递增区间为(7，2)答案：(7，2)1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x).3两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比小题纠偏1设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_答案：1,1，5,72已知函数f(x)log5(x23x4)，则该函数的单调递增区间为_解析：由题意知x23x40，则x4或x1，令yx23x4，则其图象的对称轴为x，所以yx23x4的单调递增区间为(4，)单调递减区间为(，1)，由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(4，)答案：(4，)题组练透1讨论函数f(x)在x(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2).因为1x1x21，所以x2x10，x1x210，(x1)(x1)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1,1)上为减函数2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解：法一(定义法)：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上递增谨记通法1定义法判断函数单调性的步骤取值2导数法判断函数单调性的步骤典例引领求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog (x23x2)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.所以函数ylog (x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上所以ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，所以ylog (x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)由题悟法确定函数的单调区间的3种方法提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结即时应用1已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为_解析：设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3，所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数tx22x3在(，1上单调递减，在3，)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为3，)答案：3，)2函数y的单调递增区间为_解析：令u2x23x122.因为u22在上单调递减，函数yu在r上单调递减所以y在上单调递增答案：锁定考向高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较数值的大小；(3)利用单调性解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值 题点全练角度一：求函数的值域或最值1如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为_解析：根据f(1x)f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x对称又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，则函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.答案：4 角度二：比较数值的大小2设函数f(x)定义在实数集r上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则f，f，f的大小关系为_(用“”号表示)解析：由题设知，f(x)的图象关于直线x1对称，当x1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，所以ffff，又f，即fff.答案：fff角度三：利用单调性解函数不等式3已知函数f(x)为r上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_解析：由f(x)为r上的减函数且ff(1)，得即所以1x0或0x0的解集解：yf(x)是定义在r上的奇函数，且yf(x)在(0，)上递增yf(x)在(，0)上也是增函数，又f0，知ff0.故原不等式f(logx)0可化为f(logx)f或ff(logx)或logx0，解得0x或1x0，且a1)满足对任意x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)为减函数，所以解得00)在区间2,4上单调递减，则实数a的值是_解析：f(x)x|2xa|(a0)，作出函数图象(图略)，可得该函数的递减区间是，所以解得a8.答案：82已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是_解析：因为当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线因为当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在r上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x0)在上的值域为，则a_，b_.解析：因为f(x)b(a0)在上是增函数，所以f，f(2)2.即解得a1，b.答案：1一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018常州调研)函数yx2x1(xr)的单调递减区间是_解析：yx2x12，其对称轴为x，在对称轴左侧单调递减，所以所求单调递减区间为.答案：2一次函数ykxb在r上是增函数，则k的取值范围为_解析：设x1，x2r且x10，即k(x1x2)20，因为(x1x2)20，所以k0.答案：(0，)3(2018徐州质检)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：因为yx和ylog2(x2)都是1,1上的减函数，所以yxlog2(x2)是在区间1,1上的减函数，所以最大值为f(1)3.答案：34函数yx(x0)的最大值为_解析：令t，则t0，所以ytt22，结合图象知，当t，即x时，ymax.答案：5已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，则满足f(2x1)f(5)的x的取值范围是_解析：因为偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，且f(2x1)5，即x3.答案：(，2)(3，)6若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_解析：因为f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是减函数，所以a1.又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数所以a11，所以a0.综上可知0a1.答案：(0,1二保高考，全练题型做到高考达标1设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.答案：(，14，)2设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)a，因为函数f(x)在区间(2，)上是增函数所以解得a1.答案：1，)3定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_解析：由已知得当2x1时，f(x)x2，当10，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2,2上单调递增，所以所以所以0a1.答案：0,1)6设偶函数f(x)的定义域为r，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系为_(用“”表示)解析：因为f(x)是偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)又因为函数f(x)在0，)上是增函数，所以f()f(3)f(2)，所以f(2)f(3)f()答案：f(2)f(3)0)，当x1,3时，函数f(x)的值域为a，若a8,16，则a的值等于_解析：因为a8,16，所以8f(x)16对任意的x1,3恒成立，所以对任意的x1,3恒成立，当x1,3时，函数y16xx2在1,3上单调递增，所以16xx215,39，函数y8xx2在1,3上也单调递增，所以8xx27,15，所以即a的值等于15.答案：158若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：函数g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m1，则函数f(x)在1,2上的最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)任设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，所以a1.综上所述知a的取值范围是(0,110已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x2x10，f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2).因为1x1x2，所以x1x21，所以20，所以h(x1)1时，f(x)x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，f(x)x2，则f(1)_.答案：22若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.答案：13若函数f(x)(a1)x2(a1)xa21是奇函数，则实数a的值是_解析：由于函数f(x)的定义域为r，又函数f(x)是奇函数，故f(0)0，解得a1或a1(舍去)，经检验a1时符合题意答案：11判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)或f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性小题纠偏1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab_.解析：因为f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，所以a.又f(x)f(x)，所以b0，所以ab.答案：2函数f(x)的奇偶性为_解析：因为x0，故f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，所以f(x)log2xf(x)当x0，f(x)log2(x)f(x)故f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数答案：偶函数题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)(易错题)f(x)解：(1)因为由得x1，所以f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)所以f(x)既是奇函数又是偶函数(2)因为函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)因为f(x)的定义域为r，所以f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)因为由得2x2且x0.所以f(x)的定义域为2,0)(0,2，所以f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)