江苏省苏州市第五中学高中数学 3.1空间向量及其运算学案 苏教版选修21.doc

第3章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议空间向量的概念了解空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解空间向量共线、共面的充分必要条件理解共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同空间向量的加法、减法及数乘运算理解掌握空间向量的加法、减法和数乘运算利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律空间向量的坐标表示理解空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广 空间向量的数量积理解掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式 空间向量的共线与垂直理解能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直二、预习指导1预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题 2预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：平面向量的基本要素是什么? 平面向量是如何表示的?特殊的平面向量有那些? 什么是平行向量(共线向量)?什么是相等向量? 什么是相反向量?平面向量共线定理是什么? 平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：对平面内任意的四点a，b，c，d，则 ；设，则c、d的坐标分别是_；已知，若，则 ；若三点共线，则 _；已知正方形的边长为1，则的模等于_；已知向量，且三点共线，则 ； 等腰中，=；已知，则的值= _；，则与的夹角是_；已知是两个非零向量，且的夹角= _(3)研读教材p71p833典型例题例1 如图，已知四面体，分别是棱的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解： 点评：若变题为已知，求则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组知例2 设空间任意一点和不共线的三点，若点满足向量关系(其中)试问：四点是否共面?解：由可以得到(见教材p75)由三点不共线，可知与不共线，所以，共面且具有公共起点从而四点共面点评：若三点不共线，则空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使得：，或对空间任意一点有：例3 已知空间四边形，为的中点，为中点，求证：证明：(法一)如图，两式相加得：，所以，得证(法二)如图，在平面上任取一点，作、，点评：若表示向量，的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便例4 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值分析：与的夹角即为与的夹角，可根据夹角公式求解解：， ，所以，与的夹角的余弦值为点评：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成 例5 已知三角形的顶点是，试求这个三角形的面积分析：可用公式来求面积解：，例6 已知，求满足，的点的坐标分析：已知条件，也即，可用向量共线的充要条件处理解：设点，又，设，所以，点坐标为点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法4自我检测(1)已知点，则点关于轴的对称点的坐标为_(2)设，则与平行的单位向量的坐标为 (3)已知，则的最小值是 (4)如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=a，=b，=c则= (用a，b，c表示)(5)已知四边形为平行四边形，且，则点的坐标为 (6)设向量，若，则 ， (7)已知，则向量与的夹角是 三、课后巩固练习a组1已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(1)； (2)； (3)2平行六面体中，设=，=，=，e、f分别是ad1、bd中点，试用、表示下列向量：(1)；(2)；(3)；(4)3正方体中，= ，=，=，=，=，=，设=，则= 4设、不共面，判断、是否共面5已知空间四边形，点在上，且，为中点，试用表示b组6已知三点不共线，为空间任意一点，若，试证：点与共面7证明四点在同一平面上8已知，若，且垂直于轴，求9已知、是两两垂直的单位向量，求：(1)； (2)； (3)10已知直角坐标系内的、的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以它们为三邻边所作的平行六面体的表面积： (1)；(2)11已知为夹角，求12已知 (1)求与夹角余弦值的大小； (2)若，且分别与垂直，求13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求的长14已知，求：(1)的面积； (2)的边上的高15空间两个不同的单位向量，都与成角(1)分别求出和的值；(2)若为锐角，求知识点题号注意点空间向量的线性运算1，2，3，5类比平面向量空间向量的数量积8，9，11，12，13类比平面向量空间向量基本定理4，6，7，空间向量基本定理的应用四、学习心得五、拓展视野n维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标“没人确切的知道宇宙是怎么开始的有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗-这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的”宇宙， 是一个空间概念 它包括行星， 星系等实体宇宙同时也是一个时间概念 现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇， 古往来今谓之宙” “四方上下”概括了所有空间， 古往来今则概括了部分的时间为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天 这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来如果我们把时间用一个变量 t 表示那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-， 0，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来对于无限的空间的定义(即，时间 t 从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-， )那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样)，而是生活在一个类似于球体的物体上这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面这样一个3维空间由三个坐标轴 x， y， z 组成在这样一个3维空间中，任何一个位置p都可以用三个数(x， y， z)表示，x为位置p在x轴上的取值(也是投影)，同理，y和z也是同时，这三条坐标轴是正交的何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直在这个3维空间中，我们有两点(可能是伦敦)和(可能是巴黎)，从到之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为d=|-|=sqrt(-)2(-)2(-)2)在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了31=4维的了那么宇宙就可以描述为，有了四条正交的坐标轴比如说事件a为表示，事件a发生在地点，发生在t时间在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”跳出我们仅仅对宇宙作为时间空间的定义如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间空间不能来完整来表示比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西显然，我们需要更多的坐标轴如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy，相反，当e取正值，越远离坐标原点，说明我越happy如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多这也反过来说明了宇宙的包容一切所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n维空间(n=)，其存在n条正交的坐标轴无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)每个元素是一个向量v， v = v1， v2， v3， ， vn， n =，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)无数个向量组成的空间叫做向量空间向量空间的维度就