高考数学一轮复习 第十四章 平面解析几何初步 14.2 圆的方程课件.ppt

14 2圆的方程 高考数学 1 圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合 轨迹 叫做圆 定点就是 圆心 定长就是 半径 2 圆的标准方程 1 方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 表示圆心为 a b 半径为r的圆的标准方程 2 特别地 以原点为圆心 r r 0 为半径的圆的标准方程为x2 y2 r2 3 圆的一般方程方程x2 y2 dx ey f 0可变形为 知识清单 1 当d2 e2 4f 0时 方程表示以 为圆心 为半径的圆 2 当d2 e2 4f 0时 方程表示点 3 当d2 e2 4f 0时 方程不表示任何图形 4 圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径 而一般方程突出了方程形式的特点 i x2和y2系数相等且不为0 ii 没有xy这样的二次项 5 a c 0且b 0是方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的 必要不充分条件 4 p x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆外 2 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆上 3 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆内 拓展延伸1 确定一个圆的方程 需要三个独立条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 同时注意利用几何法求圆的方程时 要充分利用圆的性质 2 解答圆的问题时 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质简化运算 3 求圆的方程时 一般考虑待定系数法 如果能借助圆的一些几何性质进行解题 不仅能使解题思路简化 而且还能减少计算量 如弦长问题 可借助垂径定理构造直角三角形 利用勾股定理解题 求圆的方程的方法1 选择方程形式的原则求圆的方程时 如果由已知条件易求得圆心坐标 半径或需要用圆心坐标列方程 常选用标准方程 如果已知条件与圆心坐标 半径无直接关系 常选用一般方程 2 求圆的方程的方法和步骤求圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤如下 1 根据题意 设出圆的标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 方法技巧 3 在求圆的方程时 常用到的圆的几个性质 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的垂直平分线上 3 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 解析 1 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将p q两点的坐标分别代入得2d 4e f 20 3d e f 10 令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6得d2 4f 36 由 解得d 2 e 4 f 8 或d 6 e 8 f 0 故所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0 或x2 y2 6x 8y 0 2 解法一 设圆心坐标为m x0 4x0 依题意得mp l 所以 1 x0 1 所以圆心坐标为 1 4 半径r 2 故圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 解法二 设所求方程为 x x0 2 y y0 2 r2 根据已知条件得解得因此所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 与圆有关的最值问题的求解方法1 研究与圆有关的最值问题时 可借助圆的性质 利用数形结合求解 2 常见的最值问题有以下几种类型 1 形如 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 例2已知m为圆c x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 且点q 2 3 1 求mq的最大值和最小值 2 若m m n 求的最大值和最小值 解析 1 由圆c x2 y2 4x 14y 45 0 可得 x 2 2 y 7 2 8 所以圆心c的坐标为 2 7 半径r 2 又qc 4 所以mqmax 4 2 6 mqmin 4 2