2013年国考行测重点：同余问题中的剩余定理问题.doc

国考行测重点：同余问题中的剩余定理问题河北华图地址：石家庄市自强路35号庄家金融大厦707(自强路与南小街交叉口即到) 咨询电话89687770省11个地级市均有分部，具体请咨询电话余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，华图公务员考试研究中心推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。剩余定理的原理是在“孙子问题”现代数论中的一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作孙子算经中。孙子算经卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)孙子算经所给答案是N23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是孙子算经并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：N7032131522105。这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，孙子算经给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，孙子算经术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么孙子算经相当于给出公式N70R121R215R3P105（p是整数）。孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的孙子歌中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。孙子算经没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：也就是说，这三个数可以从最小公倍数M357105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k12，K21，K31，那么整数Ki（i1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下，综合以上三式又可得到因为M357可被它的任一因子整除，于是又有：这里P是整数。这就证明了孙子算经的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、an相除得余数R1、R2、Rn，即NRi（modai）（i1、2、n），只需求出一组数Ki，使满足那么适合已给一次同余组的最小正数解是（P是整数，Ma1a2an），这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在孙子算经“物不知数”题的解法之中。不过孙子算经没有明确地表述这个一般的定理。剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练: 【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是多少？ 【解析】题中3、4、5三个数两两互质。 则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。 为了使20被3除余1，用202=40； 使15被4除余1，用153=45； 使12被5除余1，用123=36。 然后，分别乘以他们的余数：401452364=274， 因为，27460，所以，274604=34，就是所求的数。【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是多少？ 在1000内符合这样条件的数有几个？【解析】题中3、7、8三个数两两互质。 则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。 为了使56被3除余1，用562=112； 使24被7除余1，用245=120； 使21被8除余1，用215=105； 然后，112212041055=1229。 因为，1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。 再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个。【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 【解析】题中5、8、11三个数两两互质。 则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。 为了使88被5除余1，用882=176； 使55被8除余1，用557=385； 使40被11除余1，用408=320。 然后，176438533202=2499， 因为，2499440，所以，24994405=299，就是所求的数。【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？ 【解析】题中9、7、5三个数两两互质。 则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。 为了使35被9除余1，用358=280； 使45被7除余1，用455=225； 使63被5除余1，用632=126。 然后，280522511