2005·2006年全国高中数学联赛试卷.doc

源头学子小屋 /wxc二五年高中数学联赛试卷一、选择题1. 使关于x的不等式有解的实数k的最大值是A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D，满足、，则的取值A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个3. ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是A. 2B. 4C. 6D. 84. 如图，ABCDABCD为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则A. S是定值，l不是定值B. S不是定值，l是定值C. S、l均是定值D. S、l均不是定值5. 方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线6. 记集合，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A. B. C. D. 二、填空题7. 将多项式表示为关于y的多项式 ，且，则=_。8. f(x)是定义在(0,+)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_。9. 设、满足，若对任意，成立，则=_。10. 如图，四面体DABC的体积为，ACB=45，则CD=_。11. 正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_。12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3，若an=2005，则a5n=_。三、解答题13. 数列an满足a0=1，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。14. 将编号为1、2、3、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，F在线段BC上，且1+2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说 明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知ABC，若对任意 ， ，则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ C ）【解】令 ，过A作 于D。由 ，推出 ,令 ，代入上式，得 ，即 , 也即 。从而有 。由此可得 。 2. 设 ，则 的取值范围为A B C D 【答】（ B ）【解】因为 ，解得 . 由 解得 ；或 解得 ，所以 的取值范围为 . 3. 已知集合 ， , ，且 ，则整数对 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）【解】 ； 。要使 ，则 ，即 。所以数对 共有 。 4. 在直三棱柱 中， ， . 已知与分别为 和 的中点，与分别为线段 和 上的动点（不包括端点）. 若 ，则线段 的长度的取值范围为 A. B. C. D. 【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则 （ ）， ， ， （ ）。所以 ， 。因为 ，所以 ，由此推出 。又 ， ，从而有 。5. 设 ，则对任意实数 ， 是 的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ A ）【解】显然 为奇函数，且单调递增。于是若 ，则 ，有 ，即 ，从而有 .反之，若 ，则 ,推出 ，即 。 6. 数码 中有奇数个9的2007位十进制数 的个数为 A B C D 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有 。又由于 以及 ，从而得 。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设 ，则 的值域是 。【解】 。令 ，则 。因此 。 即得 。8. 若对一切 R，复数 的模不超过2，则实数 的取值范围为 .【解】依题意，得 （ ）（对任意实数 成立） . 故 的取值范围为 。9. 已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ，点P在直线l： 上. 当 取最大值时，比 的值为 .【解】 由平面几何知，要使 最大，则过 ，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A ，则 ，即 ，即 （1）又由圆幂定理， （2）而 ， ，A ，从而有 ， 。代入（1），（2）得 。10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3.【解】设四个实心铁球的球心为 ，其中 为下层两球的球心， 分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为 的正方形。所以注水高为 。故应注水 。11. 方程 的实数解的个数为 1 .【解】 要使等号成立，必须 ，即 。但是 时，不满足原方程。所以 是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 0.0434 .【解】第4次恰好取完所有红球的概率为 =0.0434.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数 ，设 是抛物线 与直线 的一个交点. 试证明对于任意正整数 ，必存在整数 ，使 为抛物线 与直线 的一个交点.【证明】 因为 与 的交点为 .显然有 。 若 为抛物线 与直线 的一个交点，则 . 记 ，则 ， （13.1）由于 是整数， 也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数 ， 是正整数. 现在对于任意正整数 ，取 ，使得 与 的交点为 . 14. 将2006表示成5个正整数 之和. 记 . 问：（1）当 取何值时，S取到最大值；（2）进一步地，对任意 有 ，当 取何值时，S取到最小值. 说明理由.【解】 （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若 , 且使 取到最大值，则必有 (*)事实上，假设（*）不成立，不妨假设 。则令 ， , ( )有 ， 。将S改写成 同时有 。于是有 。这与S在 时取到最大值矛盾。所以必有 . 因此当 取到最大值。 （2）当 且 时，只有（I）402， 402， 402， 400， 400；（II）402， 402， 401， 401， 400；（III）402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求。 而后面两种情形是在第一组情形下作 ， 调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式 变大。 所以在 情形取到最小值。 15. 设 . 记 ， ， . 证明： .【证明】（）如果 ，则 ， 。 （）如果 ，由题意 ， , . 则 当 时， （ ）. 事实上，当 时，