如何从多重变化因素中解脱出来1.doc

突破相互制约 实现成功解脱 浅谈多参数问题的处理策略江苏省丹阳高级中学 史建军(212300)近几年的高考题不仅重视了对含参数问题的考查，而且似有参变因素多元化的趋势，这些参数之间相互制约，相互影响，“牵一发而动全身”。此类问题分析要求高、思维难度大，学生常陷于盘根错节的参数关系中而无法理清头绪，或者难以确定突破方向而无从下手，或者盲目下手，因繁复不堪而后继乏力。如何引导学生从多重变化因素中解脱出来？应引起人们的思考、探索与关注。笔者对此作了初步的探讨。一、从诸多变化因素中恰当消去参数 解决含有多重变化因素问题的主导思想是善于洞察具体问题的特点，尽量减少参变因素。其途径之一就是恰当消参。例1设，且，求抛物线被x轴截得弦长的取值范围。分析：，且，抛物线与x轴有两个不同交点，即方程有两个不相等的实根，且对多元参数式，我们利用条件消元，把代入得：故为的二次函数，以下确定的范围：由得而在上为减函数，的范围为.二、从诸多变化因素中剔除假变因素 有些问题中变化因素纷繁复杂，但只要静心考察，便可发现有时某些似乎变化的因素只是“凑凑热闹”而已。其中有的是利用题设条件便可剥去变量的“外衣”而转化为可以待定的常数(即为假变数)；有的尽管变化不定，而实质上对问题的研究没有丝毫的影响。如能排除这些“假变因素”，便能减少参变因素，揭开问题的本质，有利于问题的解决。例2已知直线平面M于定点B，是平面M内过定点A而不过点B的任一直线，.在上分别有动线段(为定值)。试问在什么情况下，四面体PQRS取得最大体积？其最大体积是多少？分析：本题中的变化因素有三种：动线段PQ、RS及动直线.随着P、Q位于平面M的异侧或同侧，分别等于与的和或差，因而总有.即与的面积有关，而为定值，故与点B到的距离有关，这又取决于与AB所称角的变化。上述表明动线段PQ、RS的变化均对体积无影响，属“假变因素”。 除去假象后，被掩盖了的本质因素便暴露出来。设与AB所成的角为，则，从而，显然当即AB为的公垂线段时，取得最大值.三、从诸多变化因素中窥探不变因素 动中求静、变中求定是解决数学问题的重要思想方法。这在解决含有多重变化因素的问题中更有其特殊的功效。例3当实数变化时，直线一直线恒有一个相同的公共点。问点应在怎样的曲线上？分析：本题中参变数较多，初看上去难以回答。注意到的方程表示直线系，且可化为，知此与a,b无关，从而：，得.即恒过定点.发现了这一不变因素，问题的答案便显而易见：恒有一个相同的公共点的充要条件是点恒在直线上，即满足，故点在抛物线上。四、从诸多变化因素中挖掘直观因素 对于“含参”问题一般较为抽象，解题中应充分运用函数的图像、善于根据术式构造图形、借助几何知识或抓住某些参数的几何意义等手段，力求使抽象问题具体化、直观化。例4已知是实系数方程的两根，且，求的取值范围。分析：令，则由方程的两根分别在与之间可知：Q(1,2)B(3,1)A(1,0)C(2,0)bOa 如何在条件（*）制约下，求二元函数的取值范围？我们把问题转变为平面内在条件（*）制约下的目标函数的取值范围。的几何意义为条件（*）所给定的区域内的点与定点之间连线的斜率，由图可知，计算得.的取值范围是五、从诸多变化因素中分清主变因素 多参数问题含有两个或两个以上变元，我们在解题进程中，可视其中一个为主元，其余视为参数，便可降低思维难度，化多元问题为一元问题。例5(2004福建高考)已知 在区间上为增函数。求实数a的值所组成的集合A；设关于x的方程的两根为，试问：是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题含有3个参数，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参数，即可化为单参数问题。解：，由题设在上为增函数，故在上恒成立，即在上，即恒成立。令，则问题等价于对，是连续函数，且只有当时以及当时由，得，而由于不等式对任意及恒成立，即恒成立。记，则有对恒成立，或.存在实数m，使得不等式对任意及恒成立，其取值范围是：或.六、从诸多变化因素中寻求制约因素 在诸多变化因素之间，往往满足某种特定的条件或存在某些隐含的制约因素，如能理顺有关变元之间的关系并且充分地加以运用，就可在“多参”、“多变”中穿梭自如，不至于迷失方向。例6(2007高考江苏卷)已知是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和.若是大于的正整数，求证：；若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项； (略)分析：题中涉及的参数较多：等差数列的公差d，等比数列的公比以及，令人眼花缭乱，无从下手。但如果考虑到所要证明的结论都仅与等比数列有关，而在已知首项的前提下，等比数列的关键制约因素是其公比，因此可以认为是众多变化因素中的制约因素，解题思路可紧紧围绕展开。解：设的公差为，由，知，（）因为，所以，所以，由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数；设数列中任意一项为，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中