江苏省高邮市界首中学高二数学 第8课时 函数的奇偶性与周期性学案.doc

第8课时 函数的奇偶性与周期性【学习目标】1、了解函数奇偶性的概念、图象特征及性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。2、了解函数周期性的概念及图象特征，并能应用它解决一些简单的问题。【学习重点】函数的奇偶性的图象特征及其性质的应用。【必记知识点】1、函数的奇偶性：（1）对于函数，其定义域关于原点对称： 如果对于函数定义域内的任意一个，都有_，那么函数为奇函数； 如果对于函数定义域内的任意一个，都有 ，那么函数为偶函数.（2）奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（4）若奇函数在处有定义，则必有。（5）若函数是偶函数，则，从而的图象关于 对称。（6）若函数是奇函数，则，从而的图象关于 对称。2、函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数t，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，t为这个函数的周期.3、与函数周期有关的结论：设为非零常数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立：；，则函数的周期为 。【基础练习】 1(2013南通三模)对于定义在r上的函数f(x)，给出三个命题：若f(2)f(2)，则f(x)为偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)不是偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)一定不是奇函数其中正确命题的序号为_解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x，若f(x)f(x)，则f(x)是偶函数从而命题错误，命题正确；对于常数函数，命题错误答案：2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是_解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.答案：3. 已知定义在r上的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 014)_.解析：f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 014)f(67131)f(1)2.答案：24、已知函数是定义在上的偶函数，当时，则时， 。答案：。5、已知函数，其中为常数，若，则_。答案：。【典型示例】考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为r，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数考点二函数奇偶性的应用典例(1)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.(2)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解析(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m1.综合可知，1m1m.即m1或m2.由例(2)知10时，由f(a)f(2)可得a2，当a0时，由f(a)f(2)f(2)，可得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案：(，22，)2(2013苏北四市期中)已知定义在r上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f(2)1，若f(xa)1对x1,1恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意得2xa2对x1,1恒成立，即2xa2x对x1,1恒成立当x1,1时，(2x)max2(1)1，(2x)min211，所以实数a的取值范围是1,1答案：1,1例3、函数f（x）的定义域为d=x|x0，且满足对于任意x1、x2d，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=1，有f（1）（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.考点三函数的周期性及其应用典例已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x3)，且当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 014)_.解析对任意xr，都有f(x3)，f(x6)f(x33)f(x)，f(x)是以6为周期的周期函数，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0.f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)12102，f(1)f(2)f(2 014)3352337.答案337 针对训练设f(x)是定义在r上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4例5、设函数是定义在r上的奇函数，对于都有成立。（1）证明是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值。证明：（1）所以，是周期函数，且（2），变式1：设是上的奇函数，当时，则等于 。答案： 变式2：函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。课堂检测1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.解析：f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.答案：2(2010江苏高考)设函数f(x)x(exaex)(xr)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为r，h(0)0，解得a1.答案：13设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案：94若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xr恒成立，|xa|xa|对于xr恒成立，两边平方整理得ax0对于