河北省唐山一中高二数学上学期开学试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年河北省唐山一中高二（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcosc+ccosb=asina，则abc的形状为（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不确定2abc中，ab=，ac=1，b=30，则abc的面积等于（）abcd3如图，在矩形区域abcd的a，c两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇啊啊形区域ade和扇形区域cbf（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）abcd4若直线x+ay+6=0与直线（a2）x+3y+2a=0平行，则a=（）aa=1ba=3ca=3或a=1da=3且a=15根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）a逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著b2007年我国治理二氧化硫排放显现成效c2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势d2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）a0b2c4d147设直线nx+（n+1）y=与两坐标轴围成的三角形面积为sn，则s1+s2+s3+s2013的值为（）abcd8某企业生产甲、乙两种产品均需用a、b两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（） 甲乙 原料限额 a（吨） 3 212 b（吨） 12 8a12万元b16万元c17万元d18万元9连续抛掷两枚正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6），记所得朝上的面的点数分别为x，y，过坐标原点和点p（x，y）的直线的倾斜角为，则60的概率为（）abcd10如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，边长为4的正三角形的三顶点分别在l1、l2、l3上，则l2与l3间的距离是（）a2bcd211已知点a（2，3），b（3，2）若直线l过点p（1，1）且与线段ab相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）abck2或dk212设an是等比数列，公比q=2，sn为an的前n项和记，nn*，设tn为数列tn最大项，则n=（）a2b3c4d5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为14一条光线经过点p（2，3）射在直线x+y+1=0上，反射后，经过点a（1，1），则光线的反射线所在的直线方程为15已知等差数列an的首项a1=1，公差d=，若直线x+y3an=0和直线2xy+2an1=0的交点m在第四象限，则an=16设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17在abc中，a=，ab=6，ac=3，点d在bc边上，ad=bd，求ad的长18为预防h1n1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如表：a组b组c组疫苗有效673xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到b组疫苗有效的概率是0.33（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在c组抽取多少个？（3）已知y465，z25，求不能通过测试的概率19已知直线l：kxy+1+2k=0（kr）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点a，交y轴正半轴于点b，o为坐标原点，设aob的面积为s，求s的最小值及此时直线l的方程20某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040506070（1）请画出表中数据的散点图；（2）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=x+；（3）要使这种产品的销售额突破一亿元（含一亿元），则广告费支出至少为多少百万元？（精确到0.1）21已知abc的顶点a（5，1），ab边上的中线cm所在直线方程为2xy5=0ac边上的高bh所在直线为x2y5=0求：（1）顶点c的坐标；（2）直线bc的方程22已知函数f（x）=，点pn（an，）（nn*）在函数y=f（x）的图象上，且a1=1，an0（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和sn；（）设cn=an2an+12，数列cn的前n项和为tn，且tnt2t对任意的nn*恒成立，求t的取值范围2015-2016学年河北省唐山一中高二（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcosc+ccosb=asina，则abc的形状为（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不确定【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由条件利用正弦定理可得 sinbcosc+sinccosb=sinasina，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sina=1，可得a=，由此可得abc的形状【解答】解：abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，bcosc+ccosb=asina，则由正弦定理可得 sinbcosc+sinccosb=sinasina，即 sin（b+c）=sinasina，可得sina=1，故a=，故三角形为直角三角形，故选b【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题2abc中，ab=，ac=1，b=30，则abc的面积等于（）abcd【考点】解三角形【专题】计算题【分析】由ab，ac及cosb的值，利用余弦定理即可列出关于bc的方程，求出方程的解即可得到bc的长，然后利用三角形的面积公式，由ab，bc以及sinb的值即可求出abc的面积【解答】解：由ab=，ac=1，cosb=cos30=，根据余弦定理得：ac2=ab2+bc22abbccosb，即1=3+bc23bc，即（bc1）（bc2）=0，解得：bc=1或bc=2，当bc=1时，abc的面积s=abbcsinb=1=；当bc=2时，abc的面积s=abbcsinb=2=，所以abc的面积等于或故选d【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题3如图，在矩形区域abcd的a，c两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）abcd【考点】几何概型【专题】计算题；概率与统计【分析】根据题意，算出扇形区域ade和扇形区域cbf的面积之和为，结合矩形abcd的面积为2，可得在矩形abcd内且没有信号的区域面积为2，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率【解答】解：扇形ade的半径为1，圆心角等于90扇形ade的面积为s1=12=同理可得，扇形cbf的在，面积s2=又长方形abcd的面积s=21=2在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是p=1故答案为：1【点评】本题给出矩形abcd内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题4若直线x+ay+6=0与直线（a2）x+3y+2a=0平行，则a=（）aa=1ba=3ca=3或a=1da=3且a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】直线与圆【分析】由直线平行可得13a（a2）=0，解方程排除重合即可【解答】解：直线x+ay+6=0与直线（a2）x+3y+2a=0平行，13a（a2）=0，解得a=3或a=1，经验证当a=3时，两直线重合，应舍去故选：a【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题5根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）a逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著b2007年我国治理二氧化硫排放显现成效c2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势d2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】a从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故a正确；b从2007年开始二氧化硫排放量变少，故b正确；c从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故c正确；d2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故d错误【解答】解：a从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故a正确；b20042006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故b正确；c从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故c正确；d2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故d错误故选：d【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题6程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）a0b2c4d14【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=14，b=18，ab，则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选：b【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题7设直线nx+（n+1）y=与两坐标轴围成的三角形面积为sn，则s1+s2+s3+s2013的值为（）abcd【考点】直线的截距式方程【专题】直线与圆【分析】直线nx+（n+1）y=，可得与坐标轴的交点分别为：，于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为sn=利用“裂项求和”即可得出【解答】解：直线nx+（n+1）y=，与坐标轴的交点分别为：，直线与两坐标轴围成的三角形面积为sn=则s1+s2+s3+s2013的值=+=1=故选：d【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8某企业生产甲、乙两种产品均需用a、b两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（） 甲乙 原料限额 a（吨） 3 212 b（吨） 12 8a12万元b16万元c17万元d18万元【考点】简单线性规划的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=x+，平移直线y=x+由图象可知当直线y=x+经过点b时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即b的坐标为x=2，y=3，zmax=3x+4y=6+12=18即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：d【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键9连续抛掷两枚正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6），记所得朝上的面的点数分别为x，y，过坐标原点和点p（x，y）的直线的倾斜角为，则60的概率为（）abcd【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】求出过坐标原点和点p（x，y）的直线的倾斜角为60的等价条件，利用古典概型的概率公式即可得到结论【解答】解：过坐标原点和点p（x，y）的直线的倾斜角为，则60，即tan，即，即y若x=1，则y，此时y=2，3，4，5，6，若x=2，则y2，此时y=4，5，6，若x=3，则y3，此时y=6，若x=4，则y4，此时y不存在若x=5，则y5，此时y不存在，共有9种，过坐标原点和点p（x，y）的直线的倾斜角为，则60的概率为，故选：a【点评】本题主要考查概率的计算，利用数量积求出过坐标原点和点p（x，y）的直线的倾斜角为60的等价条件是解决本题的关键10如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，边长为4的正三角形的三顶点分别在l1、l2、l3上，则l2与l3间的距离是（）a2bcd2【考点】两条平行直线间的距离【专题】计算题【分析】设abe=，则cbe=60，sin =，cos=，利用sin（60 ）=，求出d 值【解答】解：如图：设abe=，则cbe=60，设l2、l3 的距离等于 d，由题意得 sin =，cos=，sin（60 ）=，d=，故选b 【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，两角差的正弦公式的应用，以及求两平行线间的距离的方法11已知点a（2，3），b（3，2）若直线l过点p（1，1）且与线段ab相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）abck2或dk2【考点】直线的斜率【分析】首先求出直线pa、pb的斜率，然后结合图象即可写出答案【解答】解：直线pa的斜率k=2，直线pb的斜率k=，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k2或k故选c【点评】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况12设an是等比数列，公比q=2，sn为an的前n项和记，nn*，设tn为数列tn最大项，则n=（）a2b3c4d5【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前n项和公式可得： =17，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：sn=，s2n=，=17178=9，当且仅当n=2时取等号，数列tn最大项为t2，则n=2故选：a【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为x2y=0或x+y3=0【考点】直线的截距式方程【专题】计算题【分析】当直线过原点（0，0）可设方程为y=kx，当直线不过原点，可设方程为，分别代入点的坐标可求【解答】解：当直线过原点（0，0）可设方程为y=kx，代入（2，1）可得k=，故直线方程为y=x，即2x+5y=0；当直线不过原点，可设方程为，代入（2，1）可得a=3，故直线方程为，即x+y3=0，故答案为：x2y=0或x+y3=0【点评】本题考查直线的截距式方程，和化为一般式方程的能力，体现了分类讨论的思想14一条光线经过点p（2，3）射在直线x+y+1=0上，反射后，经过点a（1，1），则光线的反射线所在的直线方程为4x5y+1=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】直线与圆【分析】依题意，设点p关于直线x+y+1=0的对称点q（x0，y0），pq的中点在直线x+y+1=0上，且pq所在直线与直线x+y+1=0垂直，据此列列方程组，解之即可求得q（4，3），从而可求得光线的反射线所在的直线方程【解答】解：设点p关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为q（x0，y0），则pq的中点m（，），直线x+y+1=0的斜率k=1，依题意，pq的中点在直线x+y+1=0上，且pq所在直线与直线x+y+1=0垂直，所以，解得q（4，3），反射光线经过a、q两点，反射光线所在直线的方程为4x5y+1=0【点评】本题考查点关于线的对称与直线关于直线对称的直线方程，考查方程组思想与运算能力，属于中档题15已知等差数列an的首项a1=1，公差d=，若直线x+y3an=0和直线2xy+2an1=0的交点m在第四象限，则an=【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列；直线与圆【分析】联立直线方程求得m的坐标，再由m在第四象限求出an的范围，由已知写出等差数列的通项公式，然后求出n的值，则答案可求【解答】解：联立，解得，m在第四象限，则，解得由等差数列an的首项a1=1，公差d=，得，解得，又nn*，n=3，4故答案为：【点评】本题考查了两直线的交点问题，考查等差数列的通项公式，是基础题16设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值【解答】解：4x2+y2+xy=1（2x+y）23xy=1令t=2x+y则y=t2xt23（t2x）x=1即6x23tx+t21=0=9t224（t21）=15t2+240解得2x+y的最大值是 故答案为【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17在abc中，a=，ab=6，ac=3，点d在bc边上，ad=bd，求ad的长【考点】正弦定理；三角形中的几何计算【专题】解三角形【分析】由已知及余弦定理可解得bc的值，由正弦定理可求得sinb，从而可求cosb，过点d作ab的垂线de，垂足为e，由ad=bd得：cosdae=cosb，即可求得ad的长【解答】解：a=，ab=6，ac=3，在abc中，由余弦定理可得：bc2=ab2+ac22abaccosbac=90bc=34分在abc中，由正弦定理可得：，sinb=，cosb=8分过点d作ab的垂线de，垂足为e，由ad=bd得：cosdae=cosb，rtade中，ad=12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查18为预防h1n1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如表：a组b组c组疫苗有效673xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到b组疫苗有效的概率是0.33（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在c组抽取多少个？（3）已知y465，z25，求不能通过测试的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（1）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，得到要求的数字与样本容量之间的比值等于0.33，做出结果（2）做出每个个体被抽到的概率，利用这一组的总体个数，乘以每个个体被抽到的概率，得到要求的结果数（3）本题是一个等可能事件的概率，c组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个，得到概率【解答】解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到b组疫苗有效的概率是0.33=0.33，x=660，（2）c组样本个数是y+z=2000（673+77+660+90）=500用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果，应在c组抽取的个数为360=90（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设测试不能通过事件为m，c组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个根据等可能事件的概率知p=【点评】本题考查分层抽样方法，考查在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目19已知直线l：kxy+1+2k=0（kr）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点a，交y轴正半轴于点b，o为坐标原点，设aob的面积为s，求s的最小值及此时直线l的方程【考点】恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题【分析】（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（2，1）（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（2，1）（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k0（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1+2k，a（，0），b（0，1+2k），又0且1+2k0，k0，故s=|oa|ob|=（1+2k）=（4k+4）（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故s的最小值为4，此时直线l的方程为x2y+4=0【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）20某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040506070（1）请画出表中数据的散点图；（2）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=x+；（3）要使这种产品的销售额突破一亿元（含一亿元），则广告费支出至少为多少百万元？（精确到0.1）【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（3）根据这种产品的销售额突破一亿元（含一亿元），列出不等式，解不等式，求出对应的x的范围，得到广告费支出【解答】解：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图（2）=5， =50，=7， =15，线性回归方程为y=7