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第七章 海浪第五节 海浪的统计特性与海浪谱理论波动可以解释自然界中比较简单的理想规则波动，实际海洋中的海浪并不那样具有规律性，而是具有很大的随机性，海浪可视为一个随机过程。海浪可视为无数随机正弦波动的叠加，且位相也是随机的。各正弦波有各自的振幅和频率，其关系未被讨论。实际观测表明，频率很小和很大的海浪波高都不大，波高显著部分的频率则介于某个范围内。1、随机海浪过程的平稳性和各态历经性某随机过程的数学期望为常值，协方差只是与时间间隔有关，即：则该随机过程为平稳随机过程。平稳随机过程的特点：过程的统计特征不随时间变化。如果当时，该平稳过程具有各态历经性。平稳随机过程各态历经性的特点：一个样本（一次现实）可代替总体。实际海浪可视为无数正弦波动的叠加。在较短的时间内，海浪过程为准平稳过程，同时具有各态历经性。2、波剖面的分布对于随机变量X，最常见的一种概率分布为正态分布实际海浪可视为具有各态历经性的平稳随机过程；同时将海浪视为无数位相不同振幅不等的正弦波的叠加。固定点处波面高度可写成：每个随机波面的期望值和方差为：合成波面的期望值和方差为：由于简单波动的振幅无限小，各组成正弦波动相互独立，且数目极大，则根据李亚普诺夫定理，波面的概率分布为正态分布。经实测资料验证，波剖面服从正态分布，可近似认为实际海浪是由无数随机的正弦波动叠加而成。海浪的内部结构海区测得的波面高度的概率分布（Kinsman，1965）实验测得的波面高度的概率分布（Jacobson和Colonell，1972）3、波高的分布从外观上直接描述波面，固定点的波剖面可写成：和为实随机函数，分别代表波的包络线和位相函数。振幅a的概率分布为：波高H=2a，平均波高，均方根波高波高的概率分布遵从瑞利分布。4、各种波高之间的关系海浪波高是随机出现的，其统计性质可由概率分布描述。实际应用中，常根据使用的目的，采用具有某种代表意义的特征波高（平均波高、均方根波高、最大波高等）。各种波高之间存在一定关系。平均波高：（反映海面波高的平均状态）均方根波高：（反映海浪的平均能量）累积率波高：（在港口工程计算中，该波高反映某种给定波高值出现的可能性）部分大波平均波高：（在航行、港口设计中，该波高反映海浪的显著部分）的值可由振幅比所列值乘以得到。最大波高：（实际应用中非常重要，为随机量，表示最大波高的最可能值）经观测资料验证，上述各波高之间的关系成立。5、周期和波长的分布半经验半理论的波长概率密度为瑞利分布：为平均波长。利用深水中波长和周期的关系，得出周期的概率分布为：其中。6、能谱和方向谱的概念（1）能谱固定点观测到的实际海浪的波剖面可写成：数学期望值和方差为每个组成波的期望和方差之和：上式有两层意思：每个组成正弦波的方差同其波动的平均能量成正比。合成波动的组成方差依频率分布，有的频率对应的方差大，有的对应的方差小，方差的大小取决于频率所对应的波动振幅。如果频率近似连续分布，频率区间总对应一个组成方差的部分和，令：即为能谱，表征频率区间内所有正弦波动能量之和的平均值的大小。当组成的正弦波很多时，合成波动方差和能谱的关系为：波剖面的协方差为：（海浪能谱的基本表达式）能谱描述了不同频率波动所对应的能量分布情形，描述了海浪的内部结构。Pierson建立的海浪谱模型同能谱相似，为。（2）方向谱能谱为由频率表示的一维谱，仅能描述固定地点海浪内部平均能量相对于频率的分布。方向谱则能反映海浪内部平均能量相对于方向的的结构，为二维谱。设xy平面上，用沿着与x轴成角的方向传播的正弦波动叠加表示合成波动：令：反映了频率介于，方向介于之间所有正弦波能量之和的平均值。他们反映了海浪内部的方向结构，称之为方向谱和二维谱。7、谱的具体形式（1）Neumann谱根据能谱的示意图，通过观测资料的分析和理论推导，Neumann于1952年得到了半经验半理论的Neumann谱：（适用于充分成长的海浪）其中U为距海面7.5m高度处的风速。三种不同风速下的Neumann谱Neumann谱的一般特性：谱的显著部分集中在一窄的频带内。随着风速的增大，谱线下面的面积和显著部分的频率范围都变大。（峰频）随着风速的增大，谱峰的频率变小，谱的显著部分向低频方向移动。（2）PM谱Pierson和Moscowitz于1964年，根据大量的观测资料得到了PM谱：（适用于充分成长的海浪）其中U为距海面19.5m高度处的风速。PM谱与Neumann谱的比较（Pierson，1964）PM谱的一般特性：与Neumann谱相比，两者比较接近。风速相同，低风速时：Neumann谱的峰值PM谱的峰值。（3）JONSWAP谱“联合北海波浪计划”于1968年根据该计划的观测资料得到了海浪谱：（只适用于深水海浪）其中为峰频，x为风区，U为10m高处风速。JONSWAP谱相对于风区的成长（Hasselmann等，1973）JONSWAP谱的一般特性：谱峰随风速和风区而变，随着风速的增大，谱频向低频推移；大风区的峰频低与小风区的峰频。8、海浪能谱的估计谱估计不仅是获得经验海浪谱的有效手段，而且是检验理论谱和经验谱的重要手段。海浪谱可以由协方差求得：海浪为具有各态历经性的平稳正态随机过程，协方差可由一个样本（一次现实）求得：其中T为记录时间长度。以取样间隔记录波剖面，得序列：其中，协方差的近似表达式为：式中。海浪能谱可写成：谱估计需要注意的几个问题（1）取样间隔要适当小，以避免将高频振动误认为低频振动。（2）波面记录长度T一般取10-20min，至多30min。（3）延时最大值，一般取。（4）估计谱需要加权平滑，小p对应的方差权重大一些。（5）估计谱的可靠性问题，根据其概率分布用置信区间表示。9、海浪谱在海浪要素计算中的应用波高的计算根据海浪平均振幅与均方差之间的关系，可得平均波高。其中波能量E由海浪谱公式确定，即：均方差波高、累积率波高及部分大波平均波高可以根据其与平均波高的关系得到。周期的计算平均周期可以用相邻两个峰之间的时间间隔平均得到，也可以由相邻上跨零